1、22 函数例题解析【例 1】判断下列各式，哪个能确定 y 是 x 的函数？为什么？(1)x2y1(2)xy 21(3) x解 (1)由 x2y1 得 y1x 2，它能确定 y 是 x 的函数()由 得 它 不 能 确 定 是 的 函 数 ， 因 为 对于任意的 xx|x1，其函数值不是唯一的(3)y yx 的 定 义 域 是 ， 所 以 它 不 能 确 定 是 的 函 数 1【例 2】下列各组式是否表示同一个函数，为什么？()fx|(t)gx)2 ， ， 2(3)f(4x) ， ， x112解 (1)中两式的定义域部是 R，对应法则相同，故两式为相同函数(2)、(3)中两式子的定义域不同，故两
2、式表示的是不同函数(4)中两式的定义域都是1x1，对应法则也相同，故两式子是相同函数【例 3】求下列函数的定义域：()f22x(3)f x45102|(4)fx(4x5)10 1x|14(2)3xx| 由 得 定 义 域 是 由 ， 得 ， 定 义 域 是 82323|解()100 |57x5x|32由 得 且 ， 定 义 域 是 ， 且 (4)10 |x58x0x8)()()由 解 得 或 或 定 义 域 是 ， ， ，854548【例 4】已知函数 f(x)的定义域是 0，1，求下列函数的定义域：(1)yf2x(3)yf )()232a解 101x1f()|x由 ， 得 或 ， 的 定 义
3、 域 是 或 2x(2)0x1 0xf()|301由 得 的 定 义 域 是 2313xa当 时 ， 得 ， 定 义 域 为 ，当 时 ， 得 ， 的 定 义 域 为 ，若 函 数 的 定 义 域 是 一 切 实 数 af(x)0aa00y【 例 5】 ax21求实数 a 的取值范围解 x00a4a222 ， R为所求 a 的取值范围【例 6】求下列函数的值域：(1)y5x 21()y3 x4(3)yx 25x6，x1， 1)(4)yx 25x6，x1， 3(5)y 6 32x(7)y 83 415(9)y|x2| |x 1|解 (1)xR ，5x 21 1，值域 y1(2)4333y562
4、， ， 值 域 x452() ， ， 在 区 间 ， 上 为 减 函 数 ， 如 图 值 域 ， ，5214()y1214)yx ， ， 如 图 ， 当 时 ， 当 时 ， 值 域 ， 5214143.2xyyminmax(5)y5(x+)y|y 故 值 域 且 211251x()R(6)定义域为 R ， 由 ， 解 得 ，又 ， 解 得 ， 值 域 ，y3xx00y33)22112112xy(7)解：定义域 x1 且 x2由 去 分 母 整 理 得 ：452(y4)x 23(y 4)x(2y5)0 当 y40 时，方程有实根，0，即 9(y4) 24(y4)(2y 5)0化简得 y220y6
5、40，得y4 或 y16当 y4 时，式不成立故值域为 y4 或 y16(8)x130xtt0解 法 一 由 ， 得 ， 设 ， 则 13413x 那 么 xy23t(t1)(0)2t24函数 y 在 t0 时为增函数(见图 223) 故 所 求 函 数 值 域 为 解 法 二 1272413(t)3y()x2 ， 即 2y46213)(xy272(9)解：去掉绝对值符号，f(x)3() 21x 其图像如图 224 所示由图 224 可得值域 y 3，3 说明 求函数值域的方法：1观察法：常利用非负数：平方数、算术根、绝对值等(如例 1，2)2求二次函数在指定区间的值域(最值) 问题，常用配方
6、，借助二次函数的图像性质结合对称轴的位置处理假如求函数 f(x)ax 2bxc(a 0) ，在给定区间m ，n的值域( 或最值 )，分三种情况考虑：i)xn5()fx(m)f(xni)m2()f()ami in当 对 称 轴 时 ， 如 图 甲 ， ， 当 对 称 轴 ， 时 ， 如 图 乙 ， ，ba ba2 2f(x)f(m)nix25()fxf(n)f()a main是 ， 两 值 较 大 者 当 对 称 轴 时 ， 如 图 丙 ， ， ba23y(c0)y分 离 常 数 法 ： 型 如 既 约 分 式 ， 的 值 域 为 ，axbcdac(如例 5)可做公式用4 (a)y x12判 别
7、 式 法 ： 型 如 、 不 同 为 零 ， 不 能 约 为型 如 可 将 函 数 解 析 式 转 化 为 关 于 的 二 次 方 程 ， 用 判 别 式axbcaxbcd122法求 y 的范围(如例 67)5型 如 ， 可 利 用 换 元 法 或 配 方 法 将 原 函 数 化c为二次函数求值域但要注意中间量 t 的范围(如例 68)6分离有界变量法：从已知函数式中把有界变量解出来利用有界变量的范围，求函数 y 的值域(如例 6 6)7图像法(如例 69)：由于求函数值域不像求函数定义域那样有一定的法则和程序可寻，它要根据函数解析式的不同特点灵活用各种方法求解 【 例 】 (1)fx)24x
8、f(1)(2)f0( 7已 知 ， 求 已 知 求 2解 1xxf()2()4()42由 得 ， 2解 (2)f(7)10，ff(7) f(10) 100说明 本例较简单，但主要用意是深刻理解函数符号 f(x)的意义求分段函数值时，要注意在定义域内进行【例 8】根据已知条件，求函数表达式(1)已知 f(x)3x 21，求f(x1) ，f(x 2)(2)已知 f(x)3x 21，g(x)2x1，求 fg(x)(3)fx)6x7已 知 求 f(x)(4)已知 f(x)是二次函数且 f(0)2，f(x1)f(x)x1，求 f(x)(5)设周长为 a(a0)的等腰三角形，其腰长为 x，底边长为 y，试
9、将 y 表示为 x 的函数，并求它的定义域和值域(1)分析：本题相当于 xx1 时的函数值，用代入法可求得函数表达式解 f(x) 3x 21f(x1) 3(x1) 213x 26x2f(x2)3(x 2)213x 41(2)分析：函数 fg(x)表示将函数 f(x)中的 x 用 g(x)来代替而得到的解析式，仍用代入法求解解 由已知得 fg(x)3(2x 1)2112x 212x4(3)f()67x1xf(x)分 析 ： 已 知 ， 可 将 右 端 化 为 关 于 的 表 达 式 ， 然 后 用 代 替 ， 就 可 求 得 表 达 式 这 种 方 法 叫 凑 配法(或观察法) 解 法 一 f(
10、1)4(1)2(1)xx2 解 法 二() tt令 ， 则 ，x(t1) 2 代入原式有 f(t)(t1) 26(t1)7t 24t12 (t1)即 f(x) x24x 12 (x1)说明 解法二是用的换元法注意两种方法都涉及到中间量的问题，必须要确定中间量的范围，要熟练掌握换元法(4)分析：本题已给出函数的基本特征，即二次函数，可采用待定系数法求解解 设 f(x)ax 2bxc(a 0)由 f(0) 2，得 c2由 f(x1)f(x)x1，得恒等式 2ax(ab)x1abf2 ， 比 较 等 式 两 边 的 同 次 幂 的 系 数 得 ， ， 故 所求 函 数 1233说明 待定系数是重要的数学方法，应熟练掌握(5)解：2xya，ya2x 为所求函数式三角形任意两边之和大于第三边，得 2x2xa，又y0， ， 由 得 函 数 的 定 义 域 为 ，2x4a 2x0x()a42由 ， 得 ，即 得 函 数 的 值 域 为 ， aa422x0xy()说明 求实际问题函数表达式，重点是分析实际问题中数量关系并建立函数解析式，其定义域与值域，要考虑实际问题的意义
