1、学案 7 函数图像的对称变换一、课前准备：【自主梳理】1、 （1）函数 与 的图像关于 对称；()yfx()yfx（2）函数 与 的图像关于 对称；（3）函数 与 的图像关于 对称()yfx()yfx2、奇函数的图像关于 对称，偶函数图像关于 对称3、 （1）若对于函数 定义域内的任意 都有 ，则()f ()()faxfb的图像关于直线 对称()yfx（2）若对于函数 定义域内的任意 都有 ，则()yfxx()2()fxfax的图像关于点 对称()yfx4、对 且 ，函数 和函数 的图象关于直线 对称0a1xyalogayx5、要得到 的图像，可将 的图像在 轴下方的部分以 为轴()yfx()
2、f翻折到 轴上方，其余部分不变6、要得到 的图像，可将 ， 的部分作出，再利用偶函数的()f ()yfx0,图像关于 的对称性，作出 时的图像【自我检测】1、函数 的图象关于 对称3()2fx2、在同一坐标系中，函数 与 的图象关于 对称3logyx13lyx3、函数 的图象与函数 的图象关于坐标原点对称xye4、将函数 的图象向右平移一个单位得曲线 ，曲线 与曲线 关于直线1()2fCC对称，则 的解析式为 xC5、设函数 的定义域为 ，则函数 与 的图像的关系为()yfR(1)yfx()yfx关于 对称6、若函数 对一切实数 都有 ，且方程 恰好有四个不同()fxx(2)()ff()0f实
3、根，求这些实根之和为 二、课堂活动：【例 1】填空题：（1）对于函数 ， ， “ 的图象关于 轴对称”是“ 是()yfxR()yfxy()yfx奇函数”的 （2）对于定义在 上的函数 ，有下列命题，其中正确的序号为 ()fx若函数 是奇函数，则 的图象关于点 对称；若对 ，有()fx1(1,0)AxR，则 的图象关于直线 对称；若函数 的图象1f()yfxx(1)f关于直线 对称，则函数 是偶函数；函数 与函数 的x ()yfyx图象关于直线 对称（3）将曲线 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到曲线 如果曲线lgyx C与 关于原点对称，则曲线 所对应的函数式是 C C（4）当
4、时，已知 ， 分别是方程 和 解，则 的1a1x21xalog1ax12x值为 【例 2】作出下列函数的图象：（1） ；（2） ；1log()yx2xy（3） ；（4） 2logyx2x【例 3】 （1）将函数 的图象沿 轴向右平移 1 个单位，得图象 ，图象 与12logyx C关于原点对称，图象 与 关于直线 对称，求 对应的函数解析式；CCyx（2）已知函数 的定义域为 ，并且满足 ()yfxR(2)()ffx证明函数 的图象关于直线 对称；x若 又是偶函数，且 时， ,求 时 的表达()fx0,2()1f4,0x()fx式三、课后作业1、函数 的对称中心是 3(1)yx2、如果函数 的
5、图象与函数 的图象关于坐标原点对称，则 f32yx()fx3、设 ，若要使 的图象关于 轴对称，则 ()xaf()fxa4、已知函数 图象的一条对称轴方程为 ，则sin2cos )aR12xa5、已知函数 ， ，且 ，则 与2()fxb(0)3f(1)()fxf()xfb的大小关系为 ()xfc6、函数 在 上单调递减，则实数 的范围为 31y,aa7、若函数 的图象过点 ，则 的图象一定过点 ()fx1(4)fx8、定义在 上的函数 的图象关于点 成中心对称，对任意实数 都有Rf3,0x且 ， ，则3()02fx(1)f(0)2f01(29f9、设函数 2()sin)cos1468xxf（1
6、）求 x的最小正周期；（2）若函数 ()yg与 ()fx的图像关于直线 x对称，求当 40,3x时()yx的最大值10、设曲线 的方程是 ，将 沿 轴、 轴正方向分别平移 、 个单C3yxCxyts(0)位长度后得到曲线 1（1）写出曲线 的方程；（2）证明曲线 与 关于点 对称；1(,)2tsA（3）如果曲线 与 有且仅有一个公共点，证明： C34ts4、纠错分析题 号 错 题 原 因 分 析错题卡学案 7 函数图像的对称变换参考答案【自我检测】1原点 2 轴 3 4 5直线 xxye2logyx1x68【例 1】 （1）必要不充分条件 （2） （3） （4）l(1)【例 2】 （1）作 的
7、图象关于 轴的对称图形12logyxy（2）作 的图象关于 轴的对称图形（3）作 的图象及它关于 轴的对称图形2logyxy（4）作 的图形，并将 轴下方的部分翻折到 轴上方 （图略）1xx【例 3】 （1） xy（2）证明：设 是函数 的图象上任意一点，则 0,P()yfx0()yfx点 关于直线 的对称点 的坐标应为 2x04, 00 0(4)()2()()fffxfy点 也在函数 的图象上Pyx函数 的图象关于直线 对称()f解析：由 ， 及 为偶函数，得 ，21x0,2x()fx()21fxfx；当 时，由 图象关于 对称，用 代入 ，,0x,424(得 ， ，再由 为偶函数，(4)(
8、2127ffxx,()fx得 ， 故 7f4, 4,2()1,0f课后作业：1 2 30 4 ,3x 35 6 7 80()()xxfbfc ,13,19解：（1） =sincosincos4464xx= 3i2x= sin()4 故 )fx的最小正周期为 T = 24 =8(2)在 ()yg的图象上任取一点 (,)xg，它关于 1x的对称点 (2,)xg 由题设条件，点 2,()x在 yf的图象上，从而 ()3sin43xf x= 2= cos()x当 304x时， 3，因此 ()ygx在区间 40,3上的最大值为maxcos2g10解：（1）曲线 的方程为 ；1C3()()yxtts（2）证明：在曲线 上任意取一点 ，设 是 关于点 的对称点，1,By2(,)xy1BA则有 ， 代入曲线 的方程，1212,xts1212,xtsC得 的方程：,y32()()yt即 ，可知点 在曲线 上322()txs2,By1反过来，同样证明，在曲线 上的点 的对称点在曲线 上1CA因此，曲线 与 关于点 对称1（3）证明：因为曲线 与 有且仅有一个公共点，方程组 有且仅有一组解，3()()yxtts消去 ，整理得 ，这个关于 的一元二次方程有且仅有一230x个根， ，即得 ，4391()tts3(4)ts因为 ，所以 0t34ts
