1、2.1.2 指数函数及其性质1指数函数的概念(1)定义：一般地，函数 ya x(a0，且 a1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R(2)指数函数的特征：特征Error!例如函数 y34 x和 yx 4 均不符合指数函数的特征，故不是指数函数其中函数yka x(k R，且 k0，a0 ，且 a1) 称为指数型函数释疑点 指数函数的概念中为什么要规定 a0，且 a1?(1)若 a0，则当 x0 时，a x0；当 x0 时，a x无意义(2)若 a0，则对于 x的某些数值，可使 ax无意义如( 2)x，这时对于x ，x ，在实数 范围内函数值不存在142(3)若 a1，则对于任何
2、x R，a x1，是一个常量，没有研究的必要性为了避免上述各种情况，所以规定 a0，且 a1在规定以后，对于任何 x R，a x都有意义，且 ax0【例 11】函数 y( a2) 2ax是指数函数，则( )Aa1 或 a3Ba1Ca3Da0 且 a1解析：由指数函数定义知 所以解得 a32()1,0a且答案：C【例 12】下列函数中是指数函数的是_( 填序号) y2( )x；y 2 x1 ；y ；y x x；y ；y 213x13解析：序号 是否 理由 否 ( )x的系数不是 1 否 2x1 的指数不是自变量 x 是 满足指数函数的概念 否 底数是 x，不是常数 否 指数不是自变量 x来源:否
3、 底数不是常数且指数不是自变量 x答案：2指数函数的图象与性质(1)指数函数的图象与性质对应关系如下：图象特征 函数 y ax(a0，且 a1)的性质图象都位于 x 轴上方 自变量 x 取任何实数时，都有 ax0函数图象都过定点(0,1) 无论底数 a 取任何正数，都有 a01当 a1 时，图象在第一象限 a1 时，内纵坐标都大于 1；在第二象限内纵坐标都大于 0 小于 1而当0a1 时图象正好相反01,.xa若 ， 则若 ， 则当 0a1 时， ,.xx若 ， 则若 ， 则自左向右看，a1 时图象呈上升趋势；当 0a1 时，图象呈下降趋势当 a1 时，ya x是增函数；当 0a1时，ya x
4、是减函数(2)指数函数 ya x(a0，且 a1)的图象和性质a1 0a1图象定义域 R，值域(0，)图象都过点(0,1)当 x0 时，y 1；当 x0 时，0y1当 x0 时，0y 1；当x0 时，y1性来源:来源:来源:质来源: 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数对称性指数函数 y ax和 y x(a0，且 a1)的图象关于 y 轴对称(1a)点技巧 指数函数性质记忆口诀指数增减要看清，抓住底数不放松；反正底数大于 0，不等于 1 已表明；底数若是大于 1，图象从下往上增；底数 0 到 1 之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0,1)点【例 21】函数 y( 1) x在 R
5、 上是( )3A增函数 B奇函数C偶函数 D减函数解析：由于 0 11，所以函数 y( 1) x在 R上是减函数3因为 f(1) ( 1) 1 ， f(1) 1，则 f(1)f(1)，且 f(1) f (1)，32所以函数 y( 1) x不具有奇偶性答案：D【例 22】如图是指数函数ya x，yb x，yc x，yd x的图象，则a，b，c，d 与 1 的大小关系是( )Aab1cdBba1dcC1abc dDab1dc解析：(方法一)在中底数小于 1 且大于零，在 y轴右边，底数越小，图象越靠近x轴，故有 b a在中底数大于 1，底数越大，图象越靠近 y轴，故有 dc故选B(方法二) 设 x
6、1 与的图象分别交于点 A，B，C，D，如图，则其坐标依次为(1，a)，(1 ，b) ，(1，c )，(1， d)，由图象观察可得 cd 1ab故选 B答案：B析规律 底数的变化对函数图象的影响 当指数函数底数大于 1 时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于 y轴，当底数大于 0 小于 1 时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近于 x轴，简称 x 0 时，底大图象高3指数型函数模型(1)指数增长模型设原有值为 N，平均增长率为 p，则经过 x 次增长，该量增长到 y，则 yN(1 p) x(x N)(2)指数减少模型设原有值为 N，平均减少率为 p，则经过 x 次减少，该量减少到 y，则
7、 yN(1 p) x(x N)(3)指数型函数形如 yka x(k R，且 k0；a0，且 a1)的函数称为 指数型函数【例 3】某乡镇现在人均一年占有粮食 360 kg，如果该乡镇人口 平均每年增长 1.2%，粮食总产量平均每年增长 4%，那么 x 年后若人均一年占有 y kg 粮食，求 y 关于 x 的函数解析式分析：在此增长模型中，基数是 360，人口的平均增长率为 1.2%，粮食总产量的平均增长率为 4%，由此可列出 1,2,3，年后的人均一年占有量，观察得到所求的函数解析式解：设该乡镇现在人口数量为 M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为 360M kg1 年后，该乡镇粮食总产量为 36
8、0M(14%) kg，人口数量为 M(11.2%)，则人均一年占有粮食为 kg，360(14%).22 年后，人均一年占有粮食为 kg，2(.)x年后，人均一年占有粮食为 y kg，360(14%).2xM即所求函数解析式为 (x N*).点技巧 指数增长模型的计算公式 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为 N，平均增长率为 p，则对于经过时间 x后的总量 y可以用 yN(1 p)x来表示这是非常有用的函数模型4利用待定系数法求指数函数的解析式已知函数模型求函数的解析式，一般采用待定系数法，即设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的未知参数，从而得出函数的解析式在指数函数的
9、概念中，只有形如 ya x(a0，且 a1)的函数才是指数函数，除此之外的函数都不是指数函数，所以设指数函数的解析式时，只能设成 ya x(a0，且 a1) 的形式，而不是其他形式同时，指数函数的解析式中只含有一个常数 a，由此只需一个条件就可确定指数函数的解析式例如：若指数函数 f(x)的图象经过点(2,9)，求 f(x)解：设 f(x)a x(a0，且 a1)，因为函数 f(x)的图象经过点(2,9)，代入可得 a29，解得 a3 或 a3(舍去)故 f(x)3 x【例 41】指数函数 yf( x)的图象经过点(，e)，则 f( )_解析：设 f(x)a x(a0，且 a1)，yf(x)
10、的图象过点( ，e)，a ea f (x)( )xeef() ( ) e 1 答案：【例 42】已知指数函数 f(x)的图象经过点 ，试求 f(1)和 f(3)12,6分析：设出函数 f(x)的解析式，利用待定系数法求出解：设 f(x)a x(a0，且 a1)，函数 f(x)的图象经过点 ，a 2 ，解得 a41,616又 a0，则 a4，f(x )4 xf(1) 4 1 ，f (3)4 364点技巧 关于 a 的方程 am n 的解法 方法一：可以先把 n化为以 m为指数的指数幂的形式 nk m，即 amk m，则可得 ak方法二：由 am n得到 ，即 ，1()1man再利用指数幂的运算性
11、质化简 15与指数函数有关的定义域、值域问题指数函数常与一次函数、反比例函数、二次函数结合构成指数型复合函数与指数函数有关的复合函数的定义域和值域的求法如下：(1)求定义域的方法函数 ya f(x)(a0，且 a1)的定义域与函数 yf(x)的定义域相同函数 yf(a x)的定义域与函数 yf(x)的定义域不一定相同例如 ，函数 f(x) 的定义域为0 ，)，而函数 f(x) 的定义域则为 R求函数 yf( ax)的定义域时，可由a函数 f(x)的定义域与 g(x)a x的等价性，建立关于 x 的不等式，利用指数函数的相关性质求解(2)求值域的方法求函数 ya f(x)(a0，且 a1)的值域
12、时，先求函数 yf( x)的值域，再根据指数函数的单调性确定函数 ya f(x)的值域求函数 yf(a x)的值域时，可用换元法求解，但换元后应注意引入的新变量的取值范围【例 51】求下列函数的定义域和值域：(1) ；(2) 2x231x解：(1)由 12 x0 可得 2x1，x0函数 的定义域 为 x (，0y由 02 x1 可得 12 x 0，012 x1函数 的值域为 y 0,1)x(2)定义域为 Rx 22x3(x 1) 244， 1623x4又 0，函数 的值域为(0,16231231xy【例 52】求下列函数的值域 ：(1) ；(2) 15x21xy解：(1) 0， 11x5x函数
13、 y 的值域为 y|y0，且 y1 (2) ，2211xxx2 x0 ，2 x 110 1，2 021x11 1故函数 的值域为 y|1y 1xxy6指数函数的图象及定点问题(1 )与指数函数有关的函数图象过定点的问题指数函数 ya x(a0，且 a1)过定点(0,1 )，即对任意的 a0，且 a1，都有a01这是解决与指数函数有关的函数图象恒过定点问题的关键一般地，对于函数 yka f(x)b( k0) ，可令 f(x)0，解方程得 xm，则该函数的图象恒过定点( m，k b)方程 f(x)0 解的个数就是该函数的图象恒过定点的个数(2)指数函数的图象变换的问题根据函数图象的变换规律，有以下
14、结论：函数 ya xb (a0，且 a1)的图象，可由指数函数 y ax(a0，且 a1)的图象向左(b0)或向右 (b0)平移|b| 个单位长度而得到；函数 ya xb 的图象，可由指数函数 ya x(a0，且 a1)的图象向上( b0)或向下(b0)平移|b|个单位长度而得到；函数 ya x 的图象与函数 ya x的图象关于 y 轴对称；函数 ya x的图象与函数ya x的图象关于 x 轴对称；函数 ya x 的图象与函数 ya x的图象关于原点轴对称；函数 ya |x|的图象，关于 y 轴对称，当 x0 时，其图象与指数函数 ya x(a0，且 a1) 图象相同；当 x0 时，其图象与
15、x0 时的图象关于 y 轴对称【 例 61】若函数 f(x)2a x1 3(a0，且 a1) 的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是_解析：令 x10，解得 x1，所以 f(1)5所以函数 f(x)2a x1 3 的图象恒过定点 (1,5)答案：(1,5)【例 62】(1)为了得到函数 y3 的图象，可以把函数 y 的图象( )x13xA向左平移 3 个单位长度 B向右平移 3 个单位长度C向左平移 1 个单位长度 D向右平移 1 个单位长度(2 )若函数 ya xb1( a0，且 a1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A0a1，且 b0 Ba1，且 b0C0a1，且 b0 Da1，
16、且 b0(3)方程 2|x|x2 的实根的个数为_解析：(1)本题考查函数图象的平移y3 ，则只需把函数 y 的3x1x13x图象向右平移 1 个单位长度故选 D(2)本题考查函数图象的性质函数 ya xb1( a0，且 a1)的图象是由函数 ya x的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以 a (0,1)若经过第二、三、四象限，则需将函数 ya x(0a1)的图象向下平移至少大于 1 个单位长度，即 b11 b0故选 C(3)由 2|x|x2，得 2|x|2x在同一坐标系中作出函数 y2| x|与 y2x 的图象(如图)，可观察到两个函数图象有且仅有 2 个交点，故方程
17、有 2 个实数根，应填 2答案：(1)D (2)C (3)27幂的大小比较问题两个指数幂的大小的比较有以下几种情况：(1)底数相同，指数不同比较同底数( 是具体的数值)幂大小，构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与 1 的大小关系；最后根据指数函数的单调性判断大小当底数中含有字母时要注意分底数大于 0 小于 1 和底数大于 1 两种情况讨论(2)底数不同，指数相同若幂式的底数不同而指数相同时，可以利用指数函数的图象解决在同一平面直角坐标系内画出各个函数的图象，依据指数函数的图象随底数的变化规律，观察指数所取值对应的函数
18、值即可(3)底数不同，指数也不同幂式的底数不同且指数也不同时，则需要引入中间量这个中间量可以是 1，其中一个大于 1，另一个小于 1；也可以是一个幂式，这个幂式可以以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数，比如 ac与 bd，可以取 ad为中介，前者比较用单调性，后者用图象【例 71】比较下列各题中两个值的大小：(1) ， ；(2) ， ；(3)0.7 0.8,0.80.7.852.50.530.54分析：(1)中两个指数式的底数同、指数不同，可直接应用指数函数的单调性判断；(2)中两个指数式的底数不同、指数同，可构造函数，根据函数的图象观察；(3)中两个指数式的底数、指数均不同，因而要引入中
19、间数进行比较，并结合函数的图象观察解：(1)因为 0 1，所以函数 y 在定义域内单调递减5757x又1.82.5，所以 1.82.(2)作出指数函数 与 的图象，如图所示23xy4x当 x0.5 时，由图象观察可得 0.5230.54(3)因为 00.70.81，所以指数函数 y0.7x 与 y0.8 x在定义域 R上是减函数，且在区间(0 ， )上函数 y0.7 x的图象在函数 y0.8x 的图象的下方，所以0.70.70.8 0.7根据指数函数的性质可得 0.70.80.7 0.7，所以 0.70.80.8 0.7【例 72】试比较 a1.3 与 a2.5(a0，且 a1) 的大小解：(
20、1)a1 时，ya x为 R上的增函数，故有 a1.3a 2.5；(2)当 0a1 时，ya x为 R上的减函数，故有 a1.3a 2.5因此，当 a1 时，a 2.5a 1.3；当 0a1 时，a 2.5a 1.38指数方程、指数不等式的求解问题根据指数函数的单调性，当 a0，且 a1 时，有：a f(x)a g(x) f(x)g(x)；当 a1 时，a f(x)a g(x) f(x)g(x)；当 0a1 时，a f(x)a g(x) f(x)g(x)注意：利用指数函数的单调性是解题的关键，根据所给的已知信息，构造合适的指数函数，为了便于解题，通常要尽可能地将含指数幂的式子进行统一底数例如，
21、(1)已知 3x3 0.5，求实数 x 的取值范围；(2)已知 0.2x25，求实数 x 的取值范围解：(1)因为 31，所以指数函数 f(x)3 x在 R上是增函数由 3x3 0.5，可得 x0.5，即 x的取值范围为0.5，) (2)因为 00.21，所以指数函数 f(x)0.2 x在 R上是减函数因为 25 0.2 2 ，5所以 0.2x0.2 2由此可得 x2，即 x的取值范围为(2，)【例 81】设 232x 0.5 3x4 ，则 x 的取值范围是_解析：原不等式可变形为 232x 2 43x ，函数 y2 x为 R上的增函数，原不等式等价于 32x43x，解得 x1答案：(，1)【
22、例 82】设 y1a 3x1 ，y 2a 2x ，其中 a0，且 a1，试确定 x 为何值时，有：(1)y1y 2；(2)y1y 2分析：指数函数的单调性取决于底数 a，当底数 a不确定时，要注意分情况讨论解：(1)由 a3x1 a 2x ，得 3x12x 解得 ，所以当 时，y 1y 255(2)当 a1 时，ya x(a0，且 a1)为增函数由 a3x1 a 2x ，得 3x12x，解得 x 5当 0a1 时，ya x(a0，且 a1)为减函数，由 a3x1 a 2x ，得 3x12x，解得 x 1所以，若 a1，则当 x 时，y 1y 2；5若 0a1，则当 x 时，y 1y 2点技巧
23、指数不等式的求解技巧 (1)形如 af(x)a g(x)的不等式，借助于函数 ya x的单调性求解，如果 a的取值不确定，需分 a1 与 0a1 两种情况讨论；(2)形如 af(x)b 的不等式，注意将 b转化为以 a为底数的指数幂的形式，再借助于函数 ya x的单调性求解9指数函数与二次函数的综合问题指数函数与二次函数的综合问题是常见题型，这类问题的处理方法是利用换元法令ta x，然后利用定义域和指数函数 ya x的单调性求出 t 的范围，这就转化为纯粹的二次函数问题了例如：求函数 y 32 x5，x 0,2的值域124x解：y 32 x5 (2x)232 x5，令 t2 x，12xx 0,
24、2，1t4y t23t5 (t3) 2 11当 t3 时，函数 y 取得最小值 ，当 t1 时，函数 y 取得最大值 ，即函数的值52域是 ,2【例 9】如果函数 ya 2x2a x1( a0，且 a1)在区间1,1上有最大值 14，试求 a的值解：设 ta x，则 t0，原函数可化为 y( t1) 22，其图象的对称轴为 t1(1)若 a1，x 1,1，t ，则函数 y(t1) 22 在区间 上单调1, ,递增，当 ta 时，函数 y取得最大值( a1) 22，即(a1) 2214，解得 a3 或a5( 舍去) (1)若 0a1，x 1,1，t ，则函数 y(t1) 22 在区间 上单1,
25、1,调递增，当 时，函数 y取得最大值 ，即 214，解得 或ta2a1a3a(舍去)15综上可知，a 的值为 3 或 1辨误区 换元时易出现的错误 指数函数 ya x(a0，且 a1) 的值域是(0，)，利用换元法解题时，要注意新元的取值范围，即换元要换限，否则极易出错10与指数函数有关的函数的奇偶性综合问题判断与指数函数有关的函数的奇偶性步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断 f(x)与 f(x)或f(x) 是否相等；(2)当 f( x)f(x)时，此函数是偶函数；当 f(x)f(x)时，此函数是奇函数；(3)
26、当 f( x)f(x)且 f(x)f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当 f( x)f(x)且 f(x)f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数【例 10】已知函数 12(1)求 f(x)的定义域；(2)讨论 f(x)的奇偶性分析：(1)根据求函数定义域的方法求解；(2)利用函数奇偶性的定义来判断解：(1)由 2x10，得 2x1，即 x0，因此函数 f(x)的定义域为(，0) (0，) (2)由(1)知，函数 f(x)的定义域为(，0) (0，)，关于坐标原点对称，又 f(x ) f(x)，1211112222xxx xx 所以 f(x)为奇函数11与指数函数有关的函数的单调性问
27、题(1)指数函数的单调性与底数的大小有关系，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与 1 的大小与指数函数有关的函数的单调性往往也与底数有关系，其解决手段就是利用指数函数单调性判断或证明函数的单调性，其步骤是：(在第一章已经学习)在所给的区间上任取两个自变量 x1 和 x2，通常令 x1x 2；比较 f(x1)和 f(x2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号常见的变形手段是：通分、分解因式、配方、有理化等，常见的变形结果有：常数、一个完全平方加上一个常数、因式的积或商等掌握比较法要做适当的练习，还要注意经验的积累；归纳结论(2)对于形如 ya f
28、(x)(a0，且 a1)型的函数的单调性，通常要依据底数 a 的取值进行分类讨论：当 a1 时，函数 ya f(x)的单调性与函数 yf(x)的单调性相同当 0a1 时，函数 ya f(x)的单调性与函数 yf(x)的单调性相反_【例 111】设 a 是实数，f(x)a (x R)，试证明对于任意 a，f( x)为增函数21证明：设 x1，x 2 R，且 x1x 2，则 f(x1)f(x 2) 12x 2112()xxx由于指数函数 y2 x在 R 上是增函数，且 x1x 2，所以 2x12x 2，即 2x12x 20又由 2x 0 得 2x110,2x 210所以 f(x1 )f( x2)0
29、，即 f(x1)f (x2)所以对于任意实数 a，f(x )为增函数【例 112】已知 a0，且 a1，讨论 的单调性23xfa 分析：本题考查与指数函数有关的复合函数的单调性问题指数x 23x2，当 x 时是减函数，当 x 时是增函数，而 f(x)的单调性又与 a的317432两种范围有关，应分类讨论解：设 ux 23x 2 ，2174则当 x 时，u 是减函数，当 x 时，u 是增函数3又当 a1 时，ya u是增函数，当 0a1 时，ya u是减函数，因此当 a1 时，原函数 在 上是减函数，在 上是23xf ,3,2增函数；当 0a1 时，原函数 在 上是增函数，在 上23xfa ,3,2是减函数析规律 复合函数的单调性 一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数是一增一减，则其复合函数是减函数但一定要注意考虑复合函数的定义域
