1、课题：2.1.2 指数函数及其性质（3）精讲部分学 习 目 标 展 示（1）熟练掌握指数函数概念、图象、性质（2）掌握指数型复合函数的单调性；（3）会解决有关指数函数的综合问题衔 接 性 知 识1. 判 断 函 数 与 的 单 调 性 并 用 定 义 加 以 证 明21()xf21()xg2. 判 断 函 数 与 的 单 调 性 并 用 定 义 加 以 证 明3.由 来 1 与 2 的 结 论 ， 你 可 以 猜 到 到 更 一 般 的 结 论 吗 ？基 础 知 识 工 具 箱函 数 ， 且 的 单 调 性 结 论()0fxya1)a当 时1a的 单 调 性 与 相 同()fxy()yfx当
2、时0的 单 调 性 与 相 反()f典 例 精 讲 剖 析例 1. 已知函数 的图象经过点 ，其中 且 .1()(0)xfa1(2,)0a1(1)求 的值；a(2)求函数 的值域()yfx分析 由函数 的图象 经过点 知， 可求得 的值，由 的单调性1(2,)1()2fa()fx可求 的值域()fx解析 (1)函数 图象过点 ， ，则 .(,)21a(2) ，设 ，则 ，得1()0xfux01u 是 的减函数，且 ，所以 ，即12uy 1()2u2y所以函数 的值域为 ()0fx(,例 2.（1）求函数 的单调区间（2 ）求函数 的单调区间1xy2xy（3）已 知 ，且 ，讨 论 函 数 的单
3、调性0a2xya解：（1） ， 的单调性与 相反0122()xy2yx而 ， 在 单调递 增，在 单调递减(yx1,)(,1所以 在 单调递减，在 单调递 增2)x,)(故 的递增区间为 ，递增区间为21(xy(,11,)（2） ， 的单调 性与 相同2xy2yx而 ， 在 单调递 增，在 单调递减()yx ,)(,1所以 在 单调递增，在 单调递 减21)x,(1故 的递增区间为 ，递增区间为2(xy1,),（3） ， 2()在 单调递增，在 单调递减2x,(,1当 时， 在 单调递增，在 单调递 减；1a2xy1,),当 时， 在 单调递减，在 单调递增；02a(例 3. 若函数 是 R
4、上的增函数，则实数 a 的取值范围为( )1()4)xxfA(1，) B(1,8) C(4,8) D4,8)分析 在 R 上是增函数，故在 (，1上和(1， )上都单调增，即 和(fx (1)xy都是增函数，且在 ( ，1上的最大值不大于在(1， )上的最y42)1)a小值解析 因为 f(x)在 R 上是增函数，故在(，1上和(1 ， )上都单调增，即和 都是增函数，且在( ，1上的最大值不大于在1xyay42)1)ax(1，)上的最小值故结合图象知，解得 ，故 选 D.140824aa8a例 4. 已知函数 1()()xaf（1）判断函数 的奇偶性；f（2）求 的值域；()x（3）证明 在
5、上是增函数f)，解：(1) 的定义域为()xR，11() ()xxxxaaf f所以 是奇函数；()fx(2)由已知，得 1()2()1xxxaf a， ， ， ，0xax0x0x211xa所以 的值域为()f(1,)(3)设 ，12x则 =1)()2121 xxaff )1()()(21221 xxxxa ， ， . 又 ， ，a12x12 0x20 ，即 .()0ff12()fxf函数 在 上是增函数x，精 练 部 分A 类试题（普通班用）1. 在下列关于函数的单调性判断正确的个数是（ ） 在 上为减函数； 在 上为增函数； 在21()xy(,0)2xy(0,)12()3xy上为增函数；
6、在 上是增函数0,32xyRA1 B2 C3 D4、答案 B解析 与 的单调性相反，所以 在 上为增函数，21()xy2y 21()xy(,0)错误； 与 的单调性相同，所以 在 上为增函数，正,确； 与 的单调性相反，所以在 在 上为增函数，正确；12()3xy 12()3xy0,) 与 的单调性相同，所以 在 上是减函数，错误。选 Bx xR2. 当 时，函数 是( )1a2()1xfaA奇函数 B偶函数 C既奇又偶函数 D非奇非偶函数答案 A解析 由 得 ，此函数定义域为 ，10xa(,0)(,)又 ，2()xxf1()1()xxxxaaf f )为奇函数(y3列函数中，值域为 的是(
7、)RA B C D134x124xy1()4xy14xy答案 B解析 的值域为 y|y0 且 y1， 的值域为 y|y0，13xy ()x的值域为 y|0 y0 且 y1， 的值域为 y|y0，13xy ()x的值域为 y|0y1，故选 B.4x4函数 的单调递减区 间是_；单调递增区 间是_|12()3y答案 1，)解析法 1： ，1|12()3()xxy因此它的减区间为 ,)法 2： 与 的单调性相反，由 的图象可知， 在|1()3xy|y|1|yx|1|yx递减，在 递增，所以因此它的减区间为1,)(,11,)5若 ,则21()xf(125)f答案 0解析令 ，得 ，将其代入 ，得3x2
8、1()xf(125)0f6设函数 ，若 ，则 的取值范围是 21(0)()f00A(1,1) B(1，) C(， 2)(0， ) D( ，1)(1，)答案 D解析 当 时， ， ， ，0x0()21xf02x010x当 时， ，f所以， 或 ，即 的取值范围是0100x(,)(,)7对于函数 ，(1)求函数的定义域、值域；(2)确定函数的单调性2617()xy解析 (1)设 ，u函数 及 的定义域是 R，()2y2617x函数 的定义域是 R. ，22617(3)8ux ，8()5又 ，函数的值域为 02u1(0,256(2)函数 在 上是增函数，在 上是减函数267x3)(,3，所以 的单调
9、性与 相反12617()xy2617ux所以 在3， )上是减函数，在（，3上是增函数2617()xy8已知函数 .2431()axf(1)若 ，求 的单调 区间；(2)若 有最大值 3，求 的值a()fxa解析 （1）当 ，则1243()xf由 ，得 的单调性与 的单调性相反03243xf243yx而 24()1yx在 上递增，在 上递减,(,所以 在 上递增，在 上递 减2431()xf(22)从而 的单调递增区间为 ，单调递减区间为, ,)（2）设 ，则2()43hxa()1()3hxf若 有最大值 3，则 的最小值为 ，fhx从而有 ， 解得01264a1a9设 ， 是 R 上的偶函数
10、0()2xf(1)求 的值；(2)证明 在 上是增函数；(3)解方程 .af(0,)()2fx解析 （1） 是偶函数， 恒成立，即 ，()x()fxfxa整理得 对于任意的实数 恒成立，2(10a所以 ，又 ，所以1a（2）由（1）知 ()2xf任取 ，且 ，2,0,x122112121 ()() ()xxxxff 12121212()xxx，且 ， ， ，12,(0,)12x12x120x即)ff12()ff所以 在 上是增函数()fx0,)（3）由 ，得 ， ，212x2()10xx2()0x所以 ，即 ，方程 的根为1x ()f10已知函数 （其中 ， 为常量， ，且 ）的图象经过点()xfbaba1， (1)求 ；(2)若不等式 在 x 时恒(,6)A3,24B()f1()0xmb( ，成立，求实数 的取值范围 m解析 （1）将 ， 代入 ，得(1,6)(3,24)()xfa，而已知 ，且 ，解得 ，所以3624ab0a123b()32xf（2）若不等式 在 x 时恒成立，则()xb( ，在 x 时恒成立13xm(1 ，所以 在 x 即可min()2x ，在 x 是减函数13xy(1 ，当 时， 取得最小值)2xy56所以 ，即实数 的取值范围为56m(,
