1、第 5课时 两条直线的交点坐标1.了解二元一次方程组的解与两条直线的交点坐标之间的关系,体会数形结合思想,并能通过解方程组求交点坐标 .2.通过一般形式的直线方程解的讨论,加深对解析法的理解,培养转化能力 .已知四条直线相交于 A、 B、 C、 D四点构成四边形,对于四边形 ABCD是否为平行四边形,我们除了用斜率来判定两对边平行的办法外,还可以通过一条对边平行且相等来判别,那么如何求此四边形各边的边长呢?问题 1:要求四边形的边长,先得求交点 .两条直线的交点坐标的求法:将两直线方程联立组成方程组,此方程组的 解 就是这两条直线的交点坐标,因此,求两条直线的交点只需解方程组即可 . 问题 2
2、:已知 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将方程联立,得 对于这1+1+1=0,2+2+2=0,个方程组解的情况可分三种情况讨论:(1)若方程组有 唯一 解,则 l1、 l2相交,有唯一的公共点; (2)若方程组 无 解,则 l1、 l2没有公共点,即平行; (3)若方程组有 无穷 多个解,则 l1、 l2有无数多个公共点,即重合 . 问题 3:怎么表示经过两条直线交点的所有直线?过两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程是 A1x+B1y+C1+ (A2x+B2y+C2)=0( R) ,但此方程中不含 l2 ;若变
3、为一般形式m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m2+n20),则表示过 l1与 l2 交点 的所有直线方程 . 问题 4:用坐标法解决几何问题的基本步骤是什么? 建立 平面直角坐标系 ,用坐标表示有关的量 几何问题代数化 ; 对点的坐标进行有关的 代数运算 ; 对代数运算结果进行 几何解释 研究几何图形性质 . 1.点 M(1,2)与直线 l:2x-4y+3=0的位置关系是( ).A.M l B.Ml C.重合 D.不确定2.在下列直线中,与直线 x+3y-4=0相交的直线为( ).A.x+3y=0 B.y=- x-1213C. + =1 D.y=- x+423 133
4、.已知直线 l1:3x+4y-5=0与 l2:3x+5y-6=0相交,则它们的交点是 . 4.求直线 l1:3x-y+12=0和 l2:3x+2y-6=0及 y轴所围成的三角形的面积 .两条直线的交点及两条直线的位置关系求经过两条直线 x-2y+4=0和 x+y-2=0的交点,且和直线 2x-y+6=0平行的直线 l的方程 .对称问题求点 P(-4,2)关于直线 l:2x-y+1=0的对称点 P的坐标 .与交点有关的问题求经过两直线 7x+8y-38=0和 3x-2y=0的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程 .求经过两直线 2x-3y-3=0和 x+y+2=0的交点且与直线 3x+y-1=0
5、平行的直线方程 .一束平行光线从原点 O(0,0)出发,经过直线 l:8x+6y=25反射后通过点 P(-4,3),求反射光线所在直线的方程 .当 k为何值时,直线 y=x+3k-2与直线 y=- x+1的交点在第一象限 .141.若两直线 x+my+12=0和 2x+3y+m=0的交点在 y轴上,则 m的值为( ).A.6 B.-24 C.6 D.以上都不对2.若直线 l与两直线 y=1和 x-y-7=0分别交于 M、 N两点,且 MN的中点是 P(1,-1),则直线l的斜率等于( ).A.- B. C.- D.23 23 32 323.过原点且经过两条直线 l1:x-2y+2=0,l2:2
6、x-y-2=0的交点的直线方程为 . 4.分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点 .(1)l1:2x-y=7和 l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0和 l2:4x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0和 l2:y=-2x+3.平面直角坐标系中直线 y=2x+1关于点(1,1)对称的直线方程是( ).A.y=2x-1 B.y=-2x+1C.y=-2x+3 D.y=2x-3考题变式(我来改编):第 5课时 两条直线的交点坐标知识体系梳理问题 1:解问题 2:(1)唯一 (2)无 (3)无穷问题 3:A1x+B1y+C1+ (A2x+B2y+C2)=0( R)
7、 l2 交点问题 4: 平面直角坐标系 几何问题代数化 代数运算 几何解释基础学习交流1.B 将点 M的坐标代入直线方程,即 12-42+30,所以点 M不在直线 l上 .故选 B.2.C + =1可化为 3x+2y-6=0.故选 C.233.( ,1) 由 得 x= ,y=1.故直线 l1与 l2的交点是( ,1).13 3+45=0,3+56=0, 13 134.解:三角形的三个顶点坐标分别为 A(-2,6)、 B(0,12)、 C(0,3),S ABC= 92=9.12重点难点探究探究一:【解析】(法一) 直线 2x-y+6=0的斜率为 2,且直线 l与直线 2x-y+6=0平行, 直线
8、 l的斜率为 kl=2.由 2+4=0,+2=0,得 =0,=2 直线 x-2y+4=0和 x+y-2=0的交点坐标为 M(0,2). 直线 l的方程为 y-2=2(x-0),即 2 x-y+2=0.(法二)设与直线 2x-y+6=0平行的直线 l的方程为 2x-y+C=0(C6) .解方程组 得2+4=0,+2=0, =0,=2. 直线 x-2y+4=0和 x+y-2=0的交点坐标为 M(0,2). 直线 l经过两条直线 x-2y+4=0和 x+y-2=0的交点 M(0,2), 20-2+C=0,即 C=2. 直线 l的方程为 2x-y+2=0.【小结】法一是求直线方程的通法,需掌握 .法二
9、中利用了平行直线系的设法:与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程可设为 Ax+By+= 0( C).探究二:【解析】(法一)设点 P(x,y),由 PP l及 PP的中点在 l上,得即2+42=1,242 +22 +1=0, +2=0,28=0,解得=165,=85,P ( ,- ).165 85(法二)设点 P(x,y),PP 的方程为 y-2=- (x+4),即 x+2y=0,12 解方程组 得 PP与 l的交点 M(- , ),由中点坐标公式得+2=0,2+1=0 2515得4+2 =25,2+2 =15 =165,=85,故 P( ,- ).165 85【小结】(1)上述两种方法的基
10、本思想一样,都是用直线 l是线段 PP的垂直平分线这一思想,但具体用的视角不同,因而解法不同,比较两种解法,第一种较简便 . (2)点关于点的对称问题是最基本的对称问题,用中点坐标公式求解,它是解答其他对称问题的基础 .点 M(a,b)关于点( x0,y0)的对称点为 M(2x0-a,2y0-b);点 M(a,b)关于原点 O的对称点是 M(-a,-b).探究三:【解析】(法一)由 得交点为(2,3) .7+838=0,32=0 因为所求直线在两坐标轴上截距相等,所以可设 + =1.又此直线经过交点(2,3),所以 + =1,即 a=5,23故所求直线方程为 x+y-5=0.(法二)设所求直线
11、方程为 7x+8y-38+ (3x-2y)=0( 为常数),则(7 +3 )x+(8-2 )y-38=0,令 x=0,得 y= ;令 y=0,x= .3882 387+3依题意,解得 = .15所以直线方程为 x+y-5=0.问题截距能不能为 0?直线系方程为 7x+8y-38+ (3x-2y)=0( 为常数)包括 3x-2y=0吗?结论(法一)中直线的截距式方程 + =1,只适用于截距不为 0的情形 .因而上述解法忽略了截距为 0的情形,解法不完整 .(法二)中 7x+8y-38+ (3x-2y)=0表示过直线 7x+8y-38=0与直线 3x-2y=0的交点(除3x-2y=0以外)的所有直
12、线,因此,要检验直线 3x-2y=0是否适合 .于是,正确解答如下:(法一)当直线过原点时,设方程为 y=kx.因为直线过点(2,3),所以 3=2k,k= .32此时方程为 3x-2y=0.当直线在两坐标轴上的截距相等且不为 0时,解法同错解法一,故所求方程为 x+y-5=0.综上,所求方程为 3x-2y=0或 x+y-5=0.(法二)(1)显然直线 3x-2y=0符合题意 .(2)设所求直线方程为 7x+8y-38+ (3x-2y)=0,解法同错解法二,求得方程为 x+y-5=0,故所求方程为 3x-2y=0或 x+y-5=0.【小结】考查熟练求解直线方程的方法,注意应用直线系简洁快速地解
13、决问题 .思维拓展应用应用一:(法一)由方程组 得233=0,+2=0, =35,=75. 直线 l与直线 3x+y-1=0平行, 直线 l的斜率 k=-3, 由点斜式有 y-(- )=-3x-(- ),75 35即所求直线方程为 15x+5y+16=0.(法二) 直线 l过两直线 2x-3y-3=0和 x+y+2=0的交点, 设直线 l的方程为 2x-3y-3+ (x+y+2)=0,即( + 2)x+(- 3)y+2- 3=0. 直线 l与直线 3x+y-1=0平行, = .解得 = .+23 31 231 112从而所求直线方程为 15x+5y+16=0.应用二:如图所示,设原点关于直线
14、l的对称点 A的坐标为( a,b),由直线 OA与 l垂直和线段 AO的中点在 l上得43=1,82+62=25,解得 =4,=3, 点 A的坐标为(4,3) . 反射光线的反向延长线过 A(4,3),又由反射光线过 P(-4,3), 两点纵坐标相等,故反射光线所在直线的方程为 y=3.应用三:(法一)解方程组 得=+32,=14+1, =12(1)5 ,=3+25 . 所以直线 y=x+3k-2与直线 y=- x+1的交点坐标为( , ).14 12(1)5 3+25要使交点在第一象限,则12(1)5 0,3+25 0, 解得 - k1.23(法二)如图所示 .直线 y=- x+1与 x轴、
15、 y轴的交点分别是 A(4,0),B(0,1),直线14y=x+3k-2表示斜率为 1的直线,当且仅当两条直线的交点在线段 AB上(不包括 A、 B两点)时,交点才在第一象限,可见直线 y=x+3k-2应位于 l1、 l2之间 .由于 l1过点 A(4,0),且斜率为 1,则其方程为 y=x-4,在 y轴上的截距为 -4.l2过点 B(0,1),即 l2在 y轴上的截距为 1.直线 y=x+3k-2在 y轴上的截距为 3k-2,所以当 -43k-21时两直线的交点在第一象限,解得 - k1,即 k的取值范围是 k|- k1.23 23基础智能检测1.C 两直线与 y轴的交点分别为(0, - )
16、,(0,- ),12 3由 - =- ,解得 m=6,故选 C.1232.A 设 l与 y=1交于点 M(m,1),与 x-y-7=0交于点 N(n+7,n).由中点坐标公式得 即 M(-2,1),=2,=3,k PM=kl=- .故选 A.233.x-y=0 解方程组 得 所以 l1与 l2的交点是(2,2) .2+2=0,22=0 =2,=2,由两点式方程有 = ,所以所求直线方程为 x-y=0.224.解:(1)方程组 的解为27=0,3+27=0 =3,=1,因此直线 l1和 l2相交,交点坐标为(3, -1).(2)方程组 有无数组解,这表明直线 l1和 l2重合 .26+4=0,412+8=0(3)方程组 无解,这表明直线 l1和 l2没有公共点,故 l1 l2.4+2+4=0,2+3=0全新视角拓展D 在直线 y=2x+1上任取两个点 A(0,1),B(1,3),则点 A关于点(1,1)对称的点为 M(2,1),点 B关于点(1,1)对称的点为 N(1,-1).由两点式求出对称直线 MN的方程 = ,即+11+1121y=2x-3,故选 D.思维导图构建相交 重合 平行
