1、2.1.2 数列的递推公式( 选学)自主学习知识梳理1通项公式与递推公式的区别与联系定义 不同点 相同点通项公式如果数列a n的第 n 项 an与项数 n 之间的关系可用一个函数式 anf(n) 来表示，则这个公式称为a n的通项公式给出 n 的值，可求出 an的第 n 项 an递推公式如果已知数列a n的第一项(或前几项) ，且从第二项(或某一项)开始的任一项 an与前一项an1 (或前几项)之间的关系可用一个公式来表示，则这个公式叫做a n的递推公式由第一项(或前几项)的值，经过一次(或多次)运算，逐项地求出 an可确定一个数列；可求出数列中任意一项2.由数列的递推公式求通项公式的常用方法
2、(1)累加法：a n1 a nf (n) (f(n)可求和)ana 1(a 2a 1)( a3a 2)(a na n1 )a 1f(1)f(2)f(n1)(2)累乘法：a n1 a nf(n) (f(n)为含 n 的代数式)ana 1 a 1f(1)f(2)f(n1)a2a1a3a2 anan 13数列a n的通项 an与其前 n 项和 Sn之间的关系是：当 n1 时，a 1S 1，当 n2 时，anS nS n1 .4S n与 an的混合关系式有两个思路(1)消去 Sn，转化为 an的递推关系式，再求 an；(2)消去 an，转化为 Sn的递推关系式，求出 Sn后，再求 an.自主探究1已知
3、数列a n，a 12，a n1 a n2，试用累加法推导 an的通项公式2已知数列a n，a 12，a n1 2a n，试用累乘法推导a n的通项公式对点讲练知识点一 利用累加法求通项公式例 1 已知：a 11，a n1 a n(2 n1)，求 an.总结 形如 an1 a nf(n)的递推数列，常用累加法求其通项公式，关键是不断变换递推公式中的“下标” 变式训练 1 已知数列a n，a 11，以后各项由 an1 a n 给出，试用累加法1nn 1求通项公式 an.(提示： )1nn 1 1n 1n 1知识点二 利用累乘法求通项公式例 2 已知：a 11，a n1 2 nan，求 an.总结
4、形如 an1 a nf(n)的递推数列，常用累乘法求其通项公式变式训练 2 已知数列a n的前 n 项和 Sn满足：S nn 2an，且 a11，求a n的通项公式知识点三 由实际问题提炼出递推公式例 3 某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到 2010 年底全县的绿化率已达 30%.从 2011 年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的 16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的 4%又被沙化设全县面积为 1,2010 年底绿化面积为 a1 ，经过 n 年绿化总面积为 an1 .求证：a n1 an.310 425 45总结 在实际问题中，若题目条件给出的是相邻
5、年份的数量关系时，可以考虑构建递推数列模型变式训练 3 在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是 1 颗珠宝，第二件首饰是由 6 颗珠宝( 图中圆圈表示珠宝) 构成如图 1 所示的正六边形，第三件首饰如图 2，第四件首饰如图 3，第五件首饰如图 4，以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，设第 n 件首饰所用珠宝数为 f(n)，求f(n1)f( n)的值1数列的递推公式是给出数列的另一重要形式，一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项2由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一
6、，是高考考查的热点，累加法、累乘法是解决这类问题的常用技巧. 课时作业一、选择题1数列a n满足 an1 a nn，且 a11，则 a5 的值为( )A9 B10 C11 D122已知数列a n的首项为 a11，且满足 an1 an ，则此数列的第 4 项是( )12 12nA. B. C. D.516 12 34 583已知数列a n满足 a1 ，a nan1 a na n1 ，则这个数列的第 5 项是( )12A1 B. C. D. .12 34 584已知数列a n对任意的 p，qN *满足 apq a pa q，且 a26，那么 a10 等于( )A165 B33 C 30 D215在
7、数列a n中，a 11，a n1 a n2n1，求出 a2，a 3，a 4 后，归纳猜想 an的表达式为( )A3n2Bn 22n2C3 n1D4n3二、填空题6数列a n中，a 11，a n1 ana (1) n1 (nN *)，则 _.2na4a27数列a n中，a 13，a 27，当 n1 时，a n2 等于 anan1 的个位数，则该数列的第2 010 项是_三、解答题8函数 f(n) Error!.数列a n的通项 anf(1) f(2)f(3)f(2 n) (nN *)(1)求 a1，a 2，a 4 的值；(2)写出 an与 an1 的一个递推关系式( 注：135(2 n1)4 n
8、1 )9某餐厅供应 1 000 名学生用餐，每星期一有 A、B 两种菜可供选择，调查资料显示星期一选 A 菜的学生中有 20%在下周一选 B 菜，而选 B 菜的学生中有 30%在下周一选 A菜，用 An、B n分别表示在第 n 个星期一选 A 菜、B 菜的学生数，试写出 An与 An1 的关系及 Bn与 Bn1 的关系21.2 数列的递推公式 (选学)自主探究1解 a n1 a n2Error! (n1)个式子相加得：ana 12(n1)，a na 12(n1)2n 或ana 1(a 2a 1)( a3a 2)(a na n1 )22(n1) 2n.2解 2an 1anError! (n1)个
9、式子相乘得： 2 n1 ，ana1a na 12n1 2 n或 ana 1 a 12n1 2 n.a2a1a3a2 anan 1对点讲练例 1 解 a n1 a n2n1，a na 1(a 2a 1)( a3a 2)(a na n1 )135(2n1)1(2 n1) n 2.n2变式训练 1 解 a n1 a n ，1nn 1a na 1(a 2a 1)( a3a 2)(a na n1 )1 1 2 .112 123 1n 1n (1 12) (12 13) ( 1n 1 1n) 1n例 2 解 2 n，an 1ana na 1 12 1222n1a2a1a3a2 anan 12 123(n1
10、) 21 (n1) (n 12 )2 .n2 n2变式训练 2 解 S nn 2an，S n1 (n1) 2an1S n1 S n(n1) 2an1 n 2ana n1 (n1) 2an1 n 2an(n 22n) an1 n 2an(n2)a n1 na n. .an 1an nn 2a na 1 a2a1a3a2 an 2an 3an 1an 2 anan 11 .132435 n 3n 1n 2n n 1n 1 2nn 1例 3 证明 由已知可得 an确定后，a n1 表示如下：an1 a n(14%)(1a n)16%，即 an1 80%a n16% an .45 425变式训练 3
11、解 珠宝的数目依次是：f(1)1，f(2)15，f(3) 1 59，f(4)15913，f(5) 1591317，f(2)f(1)5，f(3) f(2)9，f(4)f (3)13，f(5)f(4)17，f(n1)f (n)4n1.课时作业1C a 5a 44a 334a 2234a 1123411.2B a 11，a n1 an ，a 2 a1 1，12 12n 12 12a3 a2 ，a 4 a3 .12 122 34 12 123 38 18 123B a nan1 a na n1 ，a 1 a n ，a 2 1，a 3 12 an 1an 1 1 a1a1 1 a2a2 1，a 41，a
12、 5 .12 124C a 2a 1a 16，a 13，a3a 1a 29，a 4a 2a 212，a5a 1a 415，a 102a 530.5B 由 an1 a n2n1a2a 11，a3a 23，a4a 35ana n1 2n3.相加得 ana 1135(2n3) (n1) 2，a n(n1) 2a 1n 22n2.6.1312解析 a 22，a 3 ， .32 a4a2 a4a3a2a3 a23 1a2 1 131279解析 列举出数列的前 9 项，依次是 3、7、1、7、7、9、3、7、1、7，观察发现数列具有周期性且周期为 6，所以 a2 010a 69.8解 (1)a 1f (1
13、)f(2)f(1)f (1)2.a2f(1)f(2)f(3) f(4)f(1)f(3)f(1) f(2)13a 16.a4f(1)f(2)f(3) f(16)86.(2)an1 f(1)f(2)f(2 n1 )anf(1)f(2)f(2 n)f(1)f(3)f(5) f(2 n1) f (2)f(4)f(6)f (2n)135(2 n1)f(1)f (2)f(3)f(2 n1 )a na n1 4 n1 (n2)9解 由题意知：Error!由 An1 B n1 1 000，得 Bn1 1 000A n1 .所以 An0.8A n1 0.3(1 000A n1 )0.5A n1 300.同理，B n0.2(1 000B n1 ) 0.7Bn1 0.5B n1 200.
