1、江苏省响水中学高中数学 第 2 章圆锥曲线与方程定点定值导学案 苏教版选修 1-1 椭圆 C的方程为:21xy (2)由(1)知: (,0)F,设 (,)Mt, 则圆 D的方程:222(1)()14ttxy, 直线 PQ的方程: 20xty, 6PQ,22(1)()64ttt, 24t, t 圆 D的方程:22(1)()xy或22(1)()xy解法(一) :设 0,P, 由知:22200(1)()14ttxyt,即:200xyxtt, 消去 t得:20xy=2,点 P在定圆2=2 上. 解法(二): 设 0(,)Pxy,则直线 FP 的斜率为01FPykx, FPOM,直线 OM 的斜率为0O
2、My, 直线 OM 的方程为:01xy, 点 M 的坐标为02(),y. MPOP, 0OPM, 000(1)(2)xxy,20xy=2,点 在定圆2xy=2 上. 错误！未指定书签。1. （江苏省扬州中学 2014 届高三开学检测数学试题）如图，已知椭圆14:2yxC的上、下顶点分别为 BA、 ，点 P在椭圆上，且异于点 BA、 ，直线BPA、与直线 :l分别交于点 NM、 ，（）设直线 、 的 斜率分别为 1k、 2，求证： 21k为定值；（）求线段 MN的长的最小值；（）当点 运动时，以 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论P【答案】解（） )1,0(A， ),(B，令 ),(0yx
3、，则由题设可知 0x，直线 P的斜率 01xyk， P的斜率 021k，又点 P在椭圆上，所以420yx， （ 0） ，从而有 4200021 xyxy。（）由题设可以得到直线 A的方程为 )(1k，直线 BP的方程为 )0()1(2xky，由3211yxyk， 由2112ykxyk，直线 AP与直线 l的交点,31kN，直线 BP与直线 l的交点2,1kM。又 412k， 21|M 34|32|4|31111 k，等号当且仅当|31k时取到，即 21k，故线段 N长的最小值是 。错误！未指定书签。2. （江苏省淮安市车桥中学 2014 届高三 9 月期初测试数学试题）已知圆 M的方程为22(
4、)1xy,直线 l的方程为 20xy,点 P在直线 l上,过 P点作圆的切线 ,PAB,切点为 ,. (1)若 60,试求点 P的坐标;(2)若 点的坐标为 (21),过 作直线与圆 M交于 ,CD两点 ,当 2时,求直线 CD的方程; (3)经过 ,APM三点的圆是否经过异于点 M 的定点,若经过 ,请求出此定点的坐标;若不经过,请说明理由.【答案】,解:(1)设 (2,)m,由题可知 2P,所以22()4m,解之得:40,5m, 故所求点 P的坐标为 (0,)或84(,)5P.( ) (2)设直线 CD的方程为: 12ykx,易知 k存在,由题知圆心 M到直线 CD的距离为2,所以 2,(
5、 ) 解得, 1或 7,ks.5u 故所求直线 的方程为: 30xy或 90xy.( ) (3)设 (2,)Pm, M的中点(,1)2mQ,因为 PA是圆 M的切线 所以经过 A三点的圆是以 为圆心,以 为半径的圆, 故其方程为:222()(1)(1)xy化 简得: 02xm,此式是关于 m的恒等式,故 解得 2xy或 54所以经过 ,APM三点的圆必过异于点 M 的定点),4(错误！未指定书签。3. （江苏省宿迁市 2014 届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆21(0)xyCab ：与直线 ()lxmR:.四点 (31)， ， ， ， (20)(3)，
6、， ， 中有三个点在椭圆 C上,剩余一个点在直线 l上.(1)求椭圆 C的方程;(2)若动点 P 在直线 l上,过 P 作直线交椭圆 C于 MN， 两点,使得 PN,再过 P 作 直线lMN.证明 :直线 恒过定点,并求出该定点的坐标.【答案】解:(1)由题意有 3 个点在椭圆 上, 根据椭圆的对称性,则点 (1)， ， ， 一定在椭圆 上, 即 291ab, 若点 (20)， 在椭圆 C上,则点 (20)， 必为 C的左顶点, 而 3 ,则点 (2)， 一定不在椭圆 上, 故点 ()， 在椭圆 上,点 (20)， 在直线 l上, 所以 231ab, 联立可解得2， 24b, 所以椭圆 C的方
7、程为1xy; (2)由(1)可得直线 l的方程为 2x,设 023(2)()Py， ， ，, 当 0y时,设 1()()MyNy， ， ， ， 显然 12x, 联立2124xy， ，则221104xy,即12123yxxy, 又 PMN,即 为线段 的中点, 故直线 的斜率为 0023y, 又 lN,所以直线 l的方程为003(2)yx, 即0342()yx, 显然 l恒过定点(0)3，; 当 0y时,直线 MN即 2x,此时 l为 x 轴亦过点42(0)3，; 综上所述, l恒过定点4(0)3，错误！未指定书签。4. （江 苏省诚贤中学 2014 届高三 上学期摸底考试数学试题）在平面直角坐
8、标系 xOy 中,已知椭圆21xyab(ab0)的离心率为2,其焦点在圆 x2+y2=1 上.(1)求椭圆的方程;(2)设 A,B,M 是椭圆上的三点 (异于椭圆顶点), 且存 在锐角 ,使cosinOMAOB.(i)求证:直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值 ;(ii)求 OA2+OB2.【答案】解:(1)依题意,得 c=1.于是,a= 2,b=1 所以所求椭圆的方程为21xy(2) (i)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则21,21xy. 又设 M(x,y),因 cosinOMAOB,故12cosin,.xyy因 M 在椭圆上,故2211()(cosin)x. 整理得2221 12()cos()sin()csi1xyyy. 将代 入上式,并注意 si0,得 120. 所以,12OABykx为定值 (ii)22 222111 111()()()()xyyyy,故21. 又221()()xy,故21x. 所以,OA2+OB2=221xy=3 错误！未指定书签。5. （江苏省梁丰高级中学 2014 届第一学期阶段性检测一）过直线 x=-2 上的动点 P 作抛物线 y2=4x 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点.
