1、文章编号 :1004 - 2539 (2002) 03 - 0011 - 04平面高副机构的运动分析(西安理工大学 , 陕西 西安 710048) 雷淑存 阮忠唐(上海应用技术学院 , 上海 210093) 杨征瑞摘要 根据高副元素接触点处的径矢和幺法矢必须相等 ,且接触点处的幺法矢和相对运动速度矢量相互垂直的约束条件 ,提出了一个 3 自由度 5 杆平面高副机构的通用分析模型 ,给出其高副约束方程 ,据此可以求解 RHR、 RHP 及 PHP 型三类单自由度平面高副机构的传动比函数及其导数。关键词 平面高副机构 类速度 类加速度 运动分析1 概述由一个以上高副和若干个低副组成的机构 ,若各构
2、件均在相互平行的平面内作相对运动 ,称为平面高副机构。恰当地给出高副元素的曲面 ,即可准确地实现预期的运动规律 ,而绝大多数低副机构只能近似实现预期的运动规律 ,因而高副机构的应用甚为广泛。高副机构分为二类 :一类是共轭曲面机构 ,构成高副的两轮廓之间的相对运动是滑滚运动 ,即接触点处的相对运动速度 v12必垂直于接触点处两高副元素的(幺 ) 法矢 n ,即 n v12 = 0 ,如齿轮、凸轮机构即属之 ;另一类是瞬心 (轴 ) 面机构 ,构成高副的两轮廓之间的相对运动是纯滚动 ,即接触点处的相对运动速度 v12 =0 ,如摩擦轮机构即属之。高副机构的研究在齿轮啮合原理 1. 2. 3 中研究
3、的较深入 ,在机械原理书籍 4. 5 中则研究得不如低副机构深入 ,而二者在运动分析方面均显不足。图 1本文根据两高副元素(轮廓 ) 接触点处在固定坐标系中的径矢和 (幺 ) 法矢必须相等所得方程 ,求出高副构件之间的位移关系 ,再由共轭曲面机构的约束条件n v12 = 0 ,瞬心面机构的约束条件 v12 = 0 ,分别求出二类机构中各构件的速度关系 ,然后再对约束方程求导 ,便可求得机构的加速度函数等。本文仅就平面高副机构的运动分析作探讨。由于平面高副机构可以用转动副或移动副与机架连接 ,形成转动副 高副 转动副(RHR) 、转动副 高副 移动副 ( RHP) 和移动副 高副 移动副 (PH
4、P)三种类型 , (瞬心面机构无第三类 ) ,本文将最基本的三构件单自由度高副机构扩展成只有一个高副的 5 杆 3 自由度平面高副机构 (图 1) ,如果当1、 4 与机架 5 固联 ,便获得转动型 (RHR)单自由度高副机构 ;如杆 1、 3 分别与机架 5、滑块 4 固联 ,就获得转动移动型 (RHP) 单自由度高副机构 ;而杆 2、 3 分别与滑块 1、 4 固联 ,就获得移动型 ( PHP) 单自由度高副机构。利用图 1 的模型可以求解 1 3 自由度的平面高副机构的运动规律 。2 坐标系的设置 、法矢及坐标变换本文采用图 2 所示的坐标系 ,其中 (0 , x , y) 及 p (
5、op , xp , yp) 为固定坐标系 , xp 轴线与 x 轴线之间的夹角为 , 1、 2 与 重合 , 3、 4 与 p 重合 , (但 x3 与xp 呈 角 ) 。杆 2、 3 分别以角速度 、 绕 z 轴(垂直于纸面 ) 转动 ,并分别随同杆 1、 4 以速度 vo 、vo 分别沿 x 轴和 xp 轴移动。本文规定 、 的正方向分别与 z 及 zp 的正向相同 ,而 vo 、 vo 的正方向分别与 x 及 xp 的正向相同。由起始位置经过一段时间 , 1、 2 及 3、 4 运动到图 2 中的位置 , OO1 = OO2 =l1 , OpO4 = OpO3 = l4 ,杆 2、 3
6、分别绕 z2/ / z、 z3/ / z 转过 2、 3 角。图 2坐标变换 : 参考文献 3 由图 2 可以直接写出xyz=cos i - sin i licos 6 i + Eisin 6 isin i cos i lisin 6 i - Eicos 6 i0 0 1=xiyizi( i = 1 ,2 ,3 ,4 ; t = ti = 1) (1)11第 26 卷 第 3 期 平面高副机构的运动分析 式中 , ( x , y) 及 ( xi , yi) 为点 M 分别在坐标系 与 1 中的坐标值。对杆 1、 4 ,令 i = 0 ;对杆 2、 3 分别以其铰接的滑块 1、 4 的 ( E1
7、 , (1 , 1 = 0) 、 ( E4 , l4 , 4) 代入。当 Op 在第 2、 3 象限时 , E 以负值代入。如滑块固定不动 ,则 li= 0。法矢 n 和幺法矢 e :平面高副的轮廓 ,一般为平面曲线的柱面 ,其径矢 r 可表达为r = r ( u) = x ( u) i + y ( u) j (2)式中 , i、 j 为 x , y 轴的单位矢量 , u 为参数。则其法矢和幺法矢可表达为n = 9y9u i - 9x9u j (3)e =9y9u i -9x9u j( 9x9u ) 2 + ( 9y9u ) 2(3a)而各坐标系间法矢 n (或幺法矢 e) 的变换式为nxny
8、z=cos i - sin i 0sin i cos i 00 0 1=nxinyi1(4)式中 , nx 、 ny 为在固定坐标系 中的法矢分量 , nxi 、 nyi为在动坐标系 1 中的法矢分量。 i 为 1 相对于 的旋转角度 ,对杆 1、 4 而言 ,以 1、 4 取代 i 。3 相对运动速度及平面高副的约束方程在图 2 的机构坐标系中 ,杆 2、 3 的角速度和杆 1、 4的移动速度可表示为 = 2 k = 3 kv = v01 i v = v04cos 6 i + sin 6 j式中 , 2、 3 分别为角速度 、 的模。设在空间一点 M (图 3) 为高副构件 2、 3 的接触
9、点 ,它在定系 中的坐标值为 ( x , y) ,而图 3OOp = E(sin 6 i + cos 6 j) ,则有OM = r = xi + yj = ( x2cos 2 - y2sin 2 + l1cos0 ) i +( x2sin 2 + y2cos 2 + l1sin0 ) j (5)OpM = r = ( x + Esin 6 ) i + ( y + Ecos 6 ) j (6)点 M 随杆 2、 3 运动时的速度 V 、 V 分别为V = r + V0 = 2 k ( xi + yj) + v01 i =( v01 - 2 y) i + 2 xj (7)V = r + V0 =
10、v04cos 6 - 3 ( y + Ecos 6 ) i + v04sin 6 - 3 ( x + Esin 6 ) j (8)构件 2、 3 上接触点 M 的相对运动速度 V . 为V . = v01 - 2 y + ( y + Ecos 6 ) - v04cos 6 i + 2 x - v04sin 6 - 3 ( x + Esin 6 ) j (9)于是高副的约束方程 (即啮合方程 ) 为e V . = ex v01 - 2 y + ( y + Ecos 6 ) - v04cos 6 +ey 2 x - v04sin 6 - 3 ( x + Esin 6 ) = 0(10)式中 , x
11、、 y、 ex 、 ey 已由位置解析求得 ,通常 v01 , 2 , 3 ,v04中给定 3 个 ,便可求得第 4 个量 ,从而求得 3 自由度高副机构的运动。本文仅讨论常用的单自由度高副机构。对于转动副 高副 转动副机构 ,因 v01 = v04 =0 ,故式 (10) 变为 2 ex i32 ( y + Ecos 6 ) - y +ey x - i32 ( x + Ecos 6 ) - y = 0 (10a)因 2 0 ,故可得传动比 (类速度 ) 公式为i32 = 32= exy - eyxex ( y + Ecos 6 ) - ey ( x + Ecos 6 )= 1i23(11)同
12、理 ,对于转动副 高副 移动副机构 ,因 v01 = 3 = 0 ,可得传动比 (类速度 ) 公式为v04 2 =exy - eyxexcos 6 - eysin 6 (12)对移动副 高副 转动副机构 ,因 2 = v04 = 0 ,故有 3v01 =exey ( x + Esin 6 ) - ex ( y + Ecos 6 ) (12a)对双移动型高副机构 ,因 2 = 3 = 0 ,故式 (10) 变为ex ( v01 - v04cos 6 ) - eyv04sin 6 = 0 (10c)传动比 (类速度 ) 为v04v01 =exexcos 6 + eysin 6 (13)4 传动比的
13、导数 (类加速度 )将式 (11) 、式 (12) 和式 (13) 对 2 (或 l1) 求导 ,可得到 RHR、 RHP 和 PHP 型机构的类加速度 ,略推导 ,对RHR 有21 机械传动 2002 年i32 = d i32d2= E ex2 y cos 6 - exey ( x cos 6 + y sin 6 ) +ey2 x sin 6 + ( xcos 6 - ysin 6 ) ( e xey - exe y) / ex ( y + Ecos 6 ) - ey ( x + Ecos 6 ) 2 (14)式中 , x = 5 x52; y = 5 y52e x = 5 ex5 u 5
14、u52; e y = 5 ey5 u 5 u52当 = 0 ,即 与 p 之原点均在 y 轴上时有i32 = E ex2 y - exeyx + x ( exey - exey) ex ( y + E) - eyx 2 (14a)当 = 90 ,即 与 p 之原点均在 x 轴上时有i32 = E ex2 x - exeyy - y ( exey - exey) exy - ey ( x + E) 2 (14b)对 RHP 型 ,将式 (12) 对 2 求导得( v042) =d ( v042)d 2 = ey2 x sin 6 + exey ( x cos 6 - y sin 6 ) -ex2
15、 y cos 6 + ( xcos 6 + ysin 6 ) - ( e xey -exe y) / ( excos 6 + eysin 6 ) 2 (15)将式 (12a) 对 l1 求导得( 3v01) =d ( 3v01)d l1 =( x + Esin 6 ) ( e xey - exe y) + ex ( exy - eyx ) ey ( x + Esin 6 ) - ex ( y + Ecos 6 ) 2 (16)式 (16) 中 , x = 5 x5 l1; y = 5 y5 l1; e x = 5 ex5 u 5 u5 l ; e y = 5 ey5 u 5 u5 l1对 PH
16、P 型高副机构 (瞬心面机构无此型 ) , 将式(13) 对 l1 求导得( v04v01) =d ( v04v01)d l1 =( e xey - exe y) sin 6( excos 6 + eysin 6 ) 2 (17)式中 , e x = 5 ex5 u 5 u5 l4; e y = 5 ey5 u 5 u5 l而( v01v04) =d ( v04v01)d l4 =( e y - e x) sin 6ex2 (18)式中 , e x = 5 ex5 u 5 u5 l4; e y = 5 ey5 u 5 u5 l4。构件的真实速度与加速度 :由式 (11 13) 及式 (14 1
17、8) 求得的是构件之间的类速度 (传动比 ) 及类加速度 (传动比的导数 ) 。欲求构件的真实速度及加速度 ,对单自由度平面高副机构可按表 1 公式计算 。表 1 各类机构真实速度及加速度计算公式RHR i21 = d 2d1= 21; 2 = i21 1 ; i21 = d i21d1; 2 = i21 12 + i21 1RHP i21 = d l2d1= v21; v2 = i21 1 ; i21 = d i21d1; a2 = i21 12 + i21 1PHR i21 = d 2d l1= 2v1; 2 = i21 v1 ; i21 = d i21d l1; 2 = i21 v12
18、+ i21 a1PHP i21 = d l2d l1= v2v1; v2 = i21 v1 ; i21 = d i21d l1; a2 = i21 v12 + i21 a15 算例齿廓分别为外摆线和圆的齿轮 1 和 2 ,各自绕固定轴心 O1、 O2 转动 ,中心距为 a ,在初始位置 ,齿廓相切于点 P(图 4) 。已知主动轮 1 的角速度 1 和角加速度 1 ,试求轮 2 的 2 和 2。图 4解 :1) 写出轮廓线方程及幺法矢 :令 u、 rb、 r1 表示轮廓 1 的变量参数 、基圆半径和滚圆半径 ,且有 r =r0 + r1 ; b = (2 r1 + rb) / 2 r1 ; i1
19、. j1 为动坐标系 x1 o1 y1 的单位矢量 , R ( u) 、 e1 ( u) 分别为轮廓 1 的点在自身坐标系中的径矢和幺法矢 ,则廓线 C1 方程为R1 ( u) = x1 i1 + y1 j1 = ( rsin u - r1sin rr1u) i1 +( rcos u - r1cos rr1u) j1 (19)e1 ( u) = cos bui1 + sin buj1 (20)令 v、 r2、 Oc2为轮廓 2 的变量 、参数圆半径及圆心 ,( Oc2 O2 = ( a - rb) 2 + r22 ) , i2、 j2 为动坐标系 x2 o2 y2的单位矢量 , R2 ( v)
20、 、 e2 ( v) 分别为轮廓 2 的点在自身坐标系中的径矢和幺法矢 ,则有轮廓 C2 方程为R2 ( v) = x2 i2 + y2 j2 = ( rcos v - 1) i2 + r2sin v - ( a -rb) j2 e2 ( v) = cos vi2 + sin vj2 (21)本例为通用模型中的 RHR 机构 ,但 E = a , =31第 26 卷 第 3 期 平面高副机构的运动分析 0 , l1 = l4 = 0 时 ,由于滑块 1、 4 静止 ,故本例中之轮 1、2 相应于通用模型中的 2、 3。将 C1、 C2 及幺法矢用坐标变换式 (1) 变换到固定坐标系 xoy 中
21、 ,由于 C1、 C2 的接触点 M 在 xoy 中具有相同的径矢和幺法矢 ,因此有径矢及幺法矢的 x、 y 分量为x = ( rsin u - r1sin rr1u) cos 1 - ( rcos u -r1cos rr1u) sin 1 = ( r2cos v - 1) cos 2 - r2sin v - ( a - rb) sin 2 + asin0 (23)y = ( rsin u - r1sin rr1u) sin 1 + ( rcos u -r1cos rr1u) cos 1 = ( r2cosv - 1) sin 2 - r2sin v - ( a - rb) cos 2 + a
22、sin0 (24)幺法矢e = exi + eyj (25)式中 , ex = cos busin 1 = cosvcos 2 ;ey = sin busin 1 = - sin vsin 2 (25a)2) 位置解析 :由式 (25) 可得v = - ( 2 - 1) - bu = - 3 - bu (26)将式 (26) 代入式 (23) 、式 (24) 后 ,再将坐标系旋转- 2 后可得rsin u - r1sin rr1u + r2 (cos 3 - cos bu) - ( a - rb) sin 3= - asin 1 (23a)rcos u - r1sin rr1u + r2 (s
23、in 3 - sin bu) - ( a - rb) cos 3= acos 1 (24a)给定 1 ,由式 (23a) 、式 (24a) 可求得 3 和 u , 则 2 = 3 + 1 , v = - 3 - bu 。至此 ,未知参数 2、u、 v 均已求出。3) 速度解析 : 由 1) 之说明 ,式 (11) 变为i21 = 21= exy - eyxex ( y + a) - eyx将式 (23) 、式 (24) 、式 (25) 中的第一个等式代入上式并化简后得i21 = 21= cos( rbu/ 2 r1)cos( rbu/ 2 r1) - acos( 1 - bu) / rb(27
24、)将式 (23) 、式 (26) 对 1 求导 ,可求得变量参数 u、v 对转角的变化率为u = d ud1=( i21 - 1) ( a - rb) sin 3 - r2cos 3 - asin 1cos bu2 rsin rbu2 r1+ br2 (28)v = d vd2= d vd1 d 1d2= i21 (1 - bu ) - 1 (29)4) 加速度解析 :由式 (25a) 、式 (23) 、式 (24) 可有e x = 5 ex5 u 5 u51= - bu sin bucos 1e y = 5 ey5 u 5 u51= bu cos busin 1x = 5 x51= y +
25、rcos 1 - u) - cos( 1 - ru/ r1) uy = 5 y51= x + rcos 1 - u) - sin ( 1 - ru/ r1) u将 ex 、 ey 、 e x 、 e y 、 x、 y、 x 、 y 代入式 (14 a) 得传动比导数为i21 = a ( ex2 y - exeyx + x ( exey - ex ey)ex2 ( y + a) 2 - 2 exey x ( y + a) + ey2 x =arb rb2 r1 u sin (1 - bu) + ( bu - 1) cos rbu2 r1 sin ( 1 - bu) cos rbu2 r1- ar
26、bcos( 1 - bu) 2而轮 2 的角速度 2 及角加速度 2 分别为 2 = i21 1 ; 2 = i21 12 + i21 1限于篇幅 ,对 RHP 及 PHP 型平面高副机构不再举例。6 结语本文提出了一个 3 自由度 5 杆平面高副机构的通用模型 ,根据两高副元素接触点处的径矢和幺法矢必须相等 ,且该处的幺法矢和相对运动速度相互垂直的约束条件 ,用运动学法建立了数学模型 ,经简化后 ,给出了可以求解 RHR、 RHP 和 PHP 型 三类单自由度平面高副机构的传动比函数及其导数 (类加速度 ) 的具体公式 ,为平面高副机构的运动分析提供了明确的分析方法和思路。参 考 文 献1
27、前苏联 . . TB H著 ,卢贤占 ,高业田 ,王树人译 . 齿轮啮合原理 (第二版 ) . 上海 :上海科学技术出版社 ,19842 陈惟荣 . 齿轮啮合理论 . 北京 :煤炭工业出版社 ,19863 吴序堂 . 齿轮啮合原理 . 北京 :机械工业出版社 ,19824 K. B. PO OB 主编 , 刘作毅等译 . 机械原理 . 北京 :高等教育出版社 ,19975 楼鸿棣 ,邹慧君主编 . 高等机械原理 . 北京 : 高等教育出版社 ,1990收稿日期 :20020108作者简介 :雷淑存 (1963 - ) ,女 ,陕西蒲城县人 ,讲师41 机械传动 2002 年ABSTRACTS
28、& KEY WORDSJOURNAL OF MECHANICAL TRANSMISSION Vol. 26. No. 3 , 2002Study on Tooth Surface Temperature of Orthogonal Face - GearDrive Jin Guanghu , et al. (1)Abstract This paper presents the theoretical model of calculating theTST(the tooth surface temperature) of face - gear drives based on thetheor
29、y of heat exchange , and the maximum TST is formulated. The rel2ative speeds on tooth surface and the contact ellipse , which are two im2portant parameters , are calculated too. What s more , the effects ofother main parameters on TST are studied by the analysis of cases.Key words : Gear drives Face
30、 gears Scuffing TemperatureThe Mechanics Model on Rings for Metal V- Belt DriveLiu Junpu , et al. (6)Abstract The steel rings is a key part of metal V - belt , forces actingon it affects the driving capacity and working life of metal V - belt. Inthis paper , forces acting on it are analyzed in the s
31、tatic state and dy2namic state respectively , mechanics model of steel rings is established.The stress computational formula is derived , and changing rule of stressis analyzed. The paper provides theoretics basis for metal V - belt typeCVT s research and design.Key words : VCT Metal V - belt Steel
32、rings ModelStudy on the Best Virtual Number of TeethPeng Yunke , et al. (9)Abstract In this paper , according to the theory of the best approxima2tion , the virtual numbers of teeth are given when the principal curva2tures of virtual gears and their corresponding gears are equal or best ap2proximate
33、. Therefore the tooth form of virtual gears is most approachingto its corresponding gears , based on differential geometry. And thesetooth numbers are called the best virtual number of teeth. The best vir2tual number of teeth of involutes helical gear is zv = z / cos3 b and thatof spur bevel gear is
34、 zv = z/ cos a.Key words : Gear Best Virtual number of teethKinematic analysis of planar higher - pair mechanismLei Shucun , et al. (11)Abstract According to the radius vector and unit normal vector incontact point of higher - pair must be equal each other , and unit normalvector must be perpendicul
35、ar to the relative velocity , This paper sug2gests a set of general model and formulae to analysis three freedom fivebar planer higher - pair mechanism , the transmission ratio function andits derivative of RHR、 RHP、 PHP planar higher - pair mechanisms canbe calculated by this model.Key words : Plan
36、er higher - pair Mechanism Similar Velocity Similar acceleration Kinematic analysisDeterming the Follower Motion of Indexing Cam by Fuzzy DecisionZhong Xiandong , et al. (15)Abstract According to the theory of fuzzy decision , the fuzzy sytheti2cal evaluating model was established in this paper. It
37、was used tochoose the follower motion law of indexing cam , and an example wasgiven.Key words : Fuzzy decision Indexing cam Follower motion law3D Modeling for Globodial Indexing CamZhang Hui , et al. (18)Abstract Baed on the analysis of movement principle of globoidal in2dexing cam , the authors com
38、puted the space coordinate of cam by usingthe mathematical model of globoidal indexing cam , set up the 3D geom2etry model through OpenGL ,and established the base of motion simula2tion.Key words : Globodial indexing cam Mathematical model MotionsimulationThe Research on Gear Tooth Correction Using
39、CBN Honing WheelWang Changlu , et al. (20)Abstract In this paper , some basic aspects about the conjugation ofthe honing wheel surface and the gear tooth surface , such as the princi2pal curvature , the principal normal vector and the osculationparaboloid , were analyzed in first. Based on the elast
40、ic contact defor2mation of the honing wheel and the gear tooth , the cutting depth wascalculated and the micro - mechanism of the honing process was evalu2ated. It was found that the middle sinking of the gear tooth profile is un2avoidable if the honing wheel has the theoretical involute profile.Key
41、 words : Contact deformation Cutting depth Abradant Mid2dle sinking magnitudeSynthesis of Planar Stephenson six - link Mechanism for Func2tion Generation by Using Chaos - Genetic Optimization MethodLuo Songrong(24)Abstract At the first , the author systematically analyzed the existingstates of the p
42、lanar Stephenson III synthesis and features of various opti2mization methods. After the hybrid problem of genetic algorithm and thechaotic optimization algorithm were discussed in detail , a chaos geneticoptimization algorithm was proposed by the use of the properties of er2godicity , inherent stoch
43、astic property ,” regularity” of chaos and stronglysensitivity to initial value. The programming was compiled with Mat2lab6. 1 programming language. The problem of function generation forPlanar Stephenson six - link Mechanism was solved by this optimiza2tion method , and thus meaningful solutions fo
44、r this problem with maxi2mum precision positions were obtained for the first time.Key words : Synthesis of mechanism Chaos optimization algorithmGenetic optimization algorithm Matlab programming languageOn the Principle and Design of a Mechanical Pendulum with Ran2domly Synchronous Following up OrganizationLai Yalin , et al. (28)Abstract In some mechanical equipments , the receiving freight posi2tion moves following pitching part. The mechanical pendulum should英文摘要 2002 年
