1、剖析演绎推理证明的几种常见错误1.偷换论题例 1 求证四边形的内角和等于 。036证明：设四边形 是矩形，则它的四个角都是直角，有ABCD，0003699所以，四边形的内角和等于 。36剖析：上述推理过程是错误的。犯了偷换论题的错误。在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形。正证：对于任意四边形 ，连结对角线 ，则得 。ABCDACCDAB和因为三角形内角和等于 ，018， ，CAB 018D，CA36AC又 ， ，DBB，036AB四边形的内角和等于 。0362.虚假论据例 2 已知 和 是无理数，试证 也是无理数。32错证：依题设 和 是无理数，23而无理数与无理数的和是无理数，所以 也是无
2、理数。剖析：上述推理过程是错误的。犯了虚假论据的错误。使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数” ，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数。因此，原题的真假性仍无法断定。正证：假设 不是无理数，那么它就是有理数，32于是，存在互质的正整数 ，使得 ，从而有nm， 32nm，nm)32(因此， ，2)65(即 ，2，4)(nm即 ，0124，28)(。mn因为 为互质的正整数，为有理数，n2而 为无理数，矛盾，故假设不成立，22mn也是无理数。33.循环论证例 3 在 中， 求证： 。ABCRt0922cba错证：因为 ，Acbaos,sin= 。cb222 222)cos(inA剖
3、析：上述推理过程是错误的。犯了循环论证的错误。本题的论证就是人们熟知的勾股定理。上述证明中用了“ ”这个公式，按照现1ssi22行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误。正证：分别以 的三边ABCBCA、为边向外作正方形 。连FGDEHK、ACBD ELMFGHK结 ，作 。显然，以 为旋转中CDBK、 ELA心，将 逆时针旋转 ，则 与A09CDKB重合，于是 。KB因为正方形 同底等高，AH与且矩形 同底等高，DCALM与，ACHKS即 。cb2同理， ，MLEBEFGC即 。ca2，2)(cBAcAb即 。22c4.不能推出例 4 设 。81tan5t21tan20，） ， 且，（、求证： 。4错证：因为 = tantanta1t)tan( ，81512。4剖析：上述推理过程是错误的。犯了不能推出的错误。因为只能推出 。至于关系式1)tan( )(,4Zn是否唯一地成立，却无法断定。因此，只有进一步推出4，即 ，原题才能得证。,030正证：因为函数 在区间 上是增函数，xytan)2,0(又 ，且 ，），（、 2018tan15tan1，4,4。3又因为 =tantanta1tn)tan( ，8512。4
