1、例谈反证法在解题中的应用反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.一、证明“至多”或“至少”问题例 1 已知函数 对其定义域内的任意两个实数 ，当 时，都有()fx ab且求证：至多有一个实数 使得 ()fabx()0f证明：假设存在两个不等实数 ，使得 12且12()0xf()不妨设 ，由条件可知 ，与 式矛盾1
2、2x()ff)故至多有一个实数 使得 x0二、证明“不可能”问题例 2 给定实数 ，且 ，设函数 ，求证：0a且1a11()xyxaaR且经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于 轴证明：假设函数图象上存在两点 ，使得直线 平行于 轴12M且12Mx设 且 由 ，12()()Mxyxy且12x120k得 ，121221()aaxxx解得 与已知 矛盾故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于 x 轴.例 3 双曲线 的两支为 ，正三角形 的三顶点位于此双曲线1xy12C且PQR上求证： 不可能在双曲线的同一支上PQR且证明：假设正三角形的三顶点 位于双曲线同一支如 上，其坐标P
3、QR且 1C分别为 ，不妨设 ，则一定有 123()()xyxy且 1230x230y于是 2PQR2 222213131313()()()()()()xxyyy22220y因此， 这说明 是钝角三角形，与 为正三角形PQRPQR PQR矛盾故 不可能在双曲线的同一支上且三、证明“存在性”或“唯一性”问题例 4 已知函数 的图象过点 问是否存在常数 ，2()fxabc(10)且 abc且使不等式 对一切实数 都成立？若存在，求出 的值；1xf x且若不存在，说明理由解：假设存在符合条件的 abc且的图象过 ，()fx (10)且，即 1 c又 对一切实数都成立，2()fx 令 ，则 1x21()abc ， ， abc 21()fxa由 得2()1)fx且且 210xaax， 据题意，对于任意实数 ， 与 都成立x 对于 ，若 ，则 ，不合题意；若 ，欲使 的解集为 ，则 0a1 0a R需 即 解得 0a且 1402a且且 14a对于 ，再考虑 ，把 代入 ，得 ，其解集为 210x R所以，存在满足条件的 ，其中 abc且 4acb且
