1、宜用反证法证明的几类命题反证法是证明数学命题的一种重要方法，当直接证明思路受阻，难以成功时，反证法常使人茅塞顿开，柳暗花明它通常用来证明下列几类命题一、否定性命题问题的结论是以否定形式出现（例如“没有” ， “不是” ， “不存在”等）的命题，宜用反证法例 1 求证： 是无理数3lg2分析：在实数集内，证它是无理数，即证它不是有理数证明：假设 不是无理数，即为有理数，则设 ，l2 3lg2mn(,+N互质）从而 得， nm, 3mnmn32上式表明：偶数等于奇数，这与偶数不等于奇数矛盾，于是假设不成立故 是无理数lg2例 2 证明：一个三角形中不可能有两个直角分析：用三角形内角和为 证一个三角
2、形中不存在两个直角018证明：假设一个三角形中有两个直角不妨设 ， 0909 0901818这与三角形内角和定理矛盾 假设不成立，即原命题成立二、 “至少”或“至多”类命题若一个命题的结论是“至少”或“至多” ， “不都”则可考虑用反证法例 3 已知 、 、 、 ，且 2（ ）1p21q21p1q2求证：方程 和 中，至少有一个方程有xx实根分析：“至少有一个”是“有一个” 、 “有两个” ，它的反面是“一个都没有” 证明：假设这两个一元二次方程都没有实根，那么他们的判别式都小于A BP，即：212211 404qpqp （ ）代入上式得)(1111q2，即 这与“任何实数的平方为非22.0)(2负数”相矛盾，所以假设不成立故这两方程中，至少有一个方程有实根三、唯一性命题若一个命题的结论是“唯一”的形式出现，则可考虑用反证法例 4 求证：在一个平面内，过直线 外一点 P 只能作出一条直线垂直于 l l证明：假设过点可以作两条直线垂直于直线 如图，那么 PAB PBAl09于是 APB PAB PBA 018即 PAB 的内角和大于 ，0这与定理“三角形内角和等于 ”相矛盾，0故假设不成立l
