1、课时训练 16 数学归纳法1.若 k 棱柱有 f(k)个对角面,则 k+1 棱柱的对角面的个数为( )A.f(k)+k-1 B.f(k)+kC.f(k)+k+1 D.f(k)+k-2解析:由 k 棱柱到 k+1 棱柱,底面对角线增加 k-2+1=k-1 条,增加了( k-1)个对角面.答案:A2.一个关于自然数 n 的命题,如 果 验证 n=1 时命题成立,并在假设 n=k(k1)时命题成立的基础上,证明了 n=k+2 时命题成立,那么综合上述说法,可以证明对于( )A.一切自然数命题成立 B.一切正奇数命题成立C.一 切正偶数命题成立 D.以上都不对答案:B3.已知在数列a n中,a 1=2
2、,an+1=(nN *).依次计算出 a2,a 3,a4后,归纳、猜想,得出 an=( )A.(nN *) B.(nN *)C.6n-5(nN *) D.6n+5(nN *)解析:a 1=2,a2=,a3=,a4=,来源:分母规律为等差数列, 公差为 6,则 an=.答案:A4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)( n+n)=2n13(2n-1)时,由 k 增加到 k+1 时,可两边同乘一个代数式,它是( )A.2k+2 B.(2k+1)(2k+2)C. D.2(2k+1)解析:当 n= k(kN *)时,左边为(k+1)( k+2)(k+k);当 n=k+1 时,左边为(k+ 1+1)(k
3、+1+2)(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1),则左边应增乘的式子是=2(2k+1).答案:D5.某个命题与自然数 n 有关,若 n=k(kN) 时该命题成立,那么可推得 n=k+1 时该命题也成立.现已知当 n=5 时该命题不成立 ,那么可推得( )A.当 n=6 时该命题不成立 B.当 n=6 时该命题成立C.当 n=4 时该命题不成立 D.当 n=4 时该命题成立解析:由反证法可知当 n=4 时该命题不成立,因为若 n=4 时该命题成立,必将推得 n=5 时该命题成立,这与已知矛盾.答案:C6.设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足:“当 f(k)k2成立时
4、,总可推出 f(k+1)(k+1)2成立”,那么,下列命题总 成立的是 ( )A.若 f(3)9 成立,则当 k1 时,均有 f(k)k2成立B.若 f(5)25 成立 ,则当 k5 时,均有 f(k)k2成立来源:C.若 f(7)1),用数学归纳法证明1+ (n N*,n1).证明:(1)当 n=2 时,左边=S 4=1+,右边=1+= 2,左边右边,不等式成立.(2)假设当 n=k(k2)时,不等式成立,即=1+1+,则当 n=k+1 时,左边=1+1+ 1+=1+=1+=右边,即 n=k+1 时,不等式也成立.综合(1)(2)可知,不等式成立.10.某地区原森林木材存量为 a,且每年增长
5、率为 25%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木 材量为 b,设 an 为 n 年后该地区森林木材存量.(1)求 an 的表达式.(2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材存量应不少于 a,如果 b=a,那么该地区今后会发生水土流失吗?若会,需要经过几年?(取 lg 20.30)解:(1) 设第一年后的森林木材存量为 a1,第 n 年后的森林木材存量为 an,a 1=a-b=a-b,a2=a1-b=-b=a-b,a3=a2-b=a-b.由上面的 a1,a2,a3,推测 an=a-b=a-4b(nN *).证明如下:当 n=1 时,a 1=a-b,已证推测成立.假设当 n=k 时,a k=a-4b(k N*)成立,则当 n=k+1 时,a k+1=ak-b=-b=a-4b.故当 n=k+1 时,推测也成立.由可知,对 nN *推测成立 .(2)当 b=a 时,若该地区今后发生水土流失,则森林木材存量必须小于 a, a-4a5.两边取对数得 nlglg 5,n7.经过 8 年后该地区就开始水土流失.
