1、第 2 讲 排列与组合A 级 基础演练 (时间：30 分钟 满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1(2012全国 )将字母 a，a，b，b，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 ( )A12 种 B18 种 C24 种 D36 种解析 先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有 A 种不同的排3法再排第二列，其中第二列第一行的字母共有 A 种不同的排法，第二列12第二、三行的字母只有 1 种排法因此共有 A A 112(种)不同的排列方3 12法答案 A2A、B 、C、D、E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A
2、 的右边(A、B 可以不相邻) ，那么不同的排法共有 ( )A.24 种 B.60 种 C.90 种 D.120 种解析 可先排 C、D、E 三人，共 A 种排法，剩余 A、B 两人只有一种排法，35由分步计数原理满足条件的排法共 A 60(种)35答案 B3如果 n 是正偶数，则 C C C C ( 0n 2n n 2n n)A2 n B2 n1 C2 n 2 D(n1)2 n1解析 (特例法) 当 n2 时，代入得 C C 2，排除答案 A、C ；02 2当 n4 时，代入得 C C C 8，排除答案 D.故选 B.04 24 4答案 B4某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演
3、前又增加了两个新节目如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 ( )A.42 B.30 C.20 D.12解析 可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有 A A 12 种排法；若两个节目不相邻，则有 A 30 种排法由分类计数2 16 26原理共有 123042 种排法(或 A 42)27答案 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5(2013汕头调研 )如图，电路中共有 7 个电阻与一个电灯 A，若灯 A 不亮，因电阻断路的可能性共有_种情况解析 每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线 a、b、c ，支线 a，b 中至少有
4、一个电阻断路情况都有 2213 种；支线 c 中至少有一个电阻断路的情况有 2317 种，每条支线至少有一个电阻断路，灯 A 就不亮，因此灯 A 不亮的情况共有 33763 种情况答案 636(2013西安模拟 )从3，2，1,0,1,2,3,4 八个数字中任取 3 个不同的数字作为二次函数 yax 2bxc 的系数 a，b，c 的取值，问共能组成_个不同的二次函数解析 a，b，c 中不含 0 时，有 A 个；a，b，c 中含有 0 时，有 2A 个故37 27共有 A 2A 294 个不同的二次函数37 27答案 294三、解答题(共 25 分)7(12 分)7 名男生 5 名女生中选取 5
5、 人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种(1)A，B 必须当选；(2)A，B 必不当选；(3)A，B 不全当选；(4)至少有 2 名女生当选；(5)选取 3 名男生和 2 名女生分别担任班长、体育委员等 5 种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任解 (1)由于 A，B 必须当选，那么从剩下的 10 人中选取 3 人即可，故有C 120 种选法310(2)从除去的 A，B 两人的 10 人中选 5 人即可，故有 C 252 种选法510(3)全部选法有 C 种，A，B 全当选有 C 种，故 A，B 不全当选有 C C512 310 512672 种选法310(4)注意到“至
6、少有 2 名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行所以有 C C C C 596 种选法512 15 47 57(5)分三步进行；第 1 步，选 1 男 1 女分别担任两个职务有 C C 种选法17 15第 2 步，选 2 男 1 女补足 5 人有 C C 种选法26 14第 3 步，为这 3 人安排工作有 A 方法由分步乘法计数原理，共有 C C C3 17 15C A 12 600 种选法26 14 38(13 分) 直线 x1，yx，将圆 x2y 24 分成 A，B ，C，D 四个区域，如图用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多
7、少种不同的涂色方法？解 法一 第 1 步，涂 A 区域有 C 种方法；第 2 步，15涂 B 区域有 C 种方法；第 3 步，涂 C 区域和 D 区14域：若 C 区域涂 A 区域已填过颜色，则 D 区域有 4 种涂法；若 C 区域涂A、B 剩余 3 种颜色之一，即有 C 种涂法，则 D 区域有 C 种涂法故共有13 13C C (4C C )260 种不同的涂色方法15 14 13 13法二 共可分为三类：第 1 类，用五色中两种色，共有 C A 种涂法；25 2第 2 类，用五色中三种色，共有 C C C A 种涂法；35 13 12 2第 3 类，用五色中四种色，共有 C A 种涂法由分
8、类加法计数原理，共有45 4C A C C C A C A 260 种不同的涂色方法25 2 35 13 12 2 45 4B 级 能力突破(时间：30 分钟 满分：45 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1在 1,2,3,4,5,6,7 的任一排列 a1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7 中，使相邻两数都互质的排列方式共有 ( )A576 种 B720 种C864 种 D1 152 种解析 由题意，先排 1,3,5,7，有 A 种排法；再排 6，由于 6 不能和 3 相邻，4故 6 有 3 种排法；最后排 2 和 4，在不与 6 相邻的 4 个空中排上 2 和 4，
9、有A 种排法，所以共有 A 3A 864 种排法24 4 24答案 C2(2012山东 )现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4张从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1张，不同取法的种数为( )A232 B252 C472 D484解析 若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选 3 张，若都不同色则有 C C C 64 种，若 2 张同色，则有 C C C C 144 种；若14 14 14 23 12 24 14红色卡片有 1 张，剩余 2 张不同色，则有 C C C C 192 种，乘余 214 23 14 14张同色，则有 C
10、 C C 72 种，所以共有 6414419272472 种不14 13 24同的取法故选 C.答案 C二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3(2013深圳模拟 )某人手中有 5 张扑克牌，其中 2 张为不同花色的 2,3 张为不同花色的 A，有 5 次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人不同的出牌方法共有_种解析 出牌的方法可分为以下几类：(1)5 张牌全部分开出，有 A 种方法；(2)25张 2 一起出，3 张 A 一起出，有 A 种方法；(3)2 张 2 一起出，3 张 A 分 3 次25出，有 A 种方法；(4)2 张 2 一起出，3 张 A 分两次出，有 C A 种
11、方法；(5)45 23 352 张 2 分开出，3 张 A 一起出，有 A 种方法；(6)2 张 2 分开出，3 张 A 分两35次出，有 C A 种方法因此，共有不同的出牌方法23 45A A A C A A C A 860(种)5 25 45 23 35 35 23 45答案 8604小王在练习电脑编程，其中有一道程序题的要求如下：它由A，B ，C，D，E，F 六个子程序构成，且程序 B 必须在程序 A 之后，程序 C必须在程序 B 之后，执行程序 C 后须立即执行程序 D，按此要求，小王的编程方法有_种解析 对于位置有特殊要求的元素可采用插空法排列，把 CD 看成整体，A，B，C，D 产
12、生四个空，所以 E 有 4 种不同编程方法，然后四个程序又产生 5 个空，所以 F 有 5 种不同编程方法，所以小王有 20 种不同编程方法答案 20三、解答题(共 25 分)5(12 分) 某医院有内科医生 12 名，外科医生 8 名，现选派 5 名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解 (1)只需从其他 18 人中选 3 人即可，共有 C 816(种)；318(2)只需从其他 18 人中选 5 人即可，共
13、有 C 8 568(种)；518(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 C C C 6 936(种)；12 418 318(4)方法一 (直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有 C C C C C C C C 14 656( 种) 12 48 21 38 312 28 412 18方法二 (间接法) ：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C (C C )14 656(种)520 512 586(13 分) 在 m(m2)个不同数的排列 p1p2pm中，若 1ij m 时 pip j(即前面
14、某数大于后面某数)，则称 pi与 pj构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数记排列(n1)n(n1)321 的逆序数为 an.如排列21 的逆序数 a11，排列 321 的逆序数 a23，排列 4 321 的逆序数 a36.(1)求 a4、a 5，并写出 an的表达式；(2)令 bn ，证明：2nb 1b 2b n2n3，n1,2，.anan 1 an 1an(1)解 由已知条件 a4C 10，a 5C 15，25 26则 anC .2n 1nn 12(2)证明 b n 22anan 1 an 1an nn 2 n 2n (1n 1n 2)b 1b 2b n2n2 (1 13 12 14 13 15 1n 1 1n 1 1n 1n 2)2n2 ，(32 1n 1 1n 2)2nb 1b 2b n2n3.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
