1、第一章 解斜角三角形（必修 5 人 B 版）建议用时 实际用时 满分 实际得分120 分钟 150 分一、选择题（每小题 5 分，共 30 分）1.有一山坡，坡角为 30，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成 30角的小路前进一段路后，升高了 100 米，则此人行走的路程 为（ ）A.200 米 B.300 米 C.400 米 D.500 米2.线段 AB 外有一点 C， ABC 60，AB200 km，汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶，同 时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶，则 行驶( )h 后，两车的距离最小A. B. C. D.3. 已知 a，b
2、，c为 ABC 三个内角 A，B，C 的对边，向量 m( ， 1)，n(cos A，sin A)，若 mn，且 a 3cos B b cos A c sin C，则 角 B=( )A. B. C. D.4.在 ABC 中， B60，最大边与最小边的比为，则三角形的最大内角为( )3 12A.45 B.60 C.70 D.755.若 ABC 的周长是 20，面积是 10 ，A60，则 BC3边的长是( )A.5 B.6 C.7 D.86.在 ABC 中，面积 S a2 (b c)2，则cos A( )A. B. C. D.二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）7.在锐角ABC 中， 1,2,
3、BCA则 cosC的值等于 ， 的取值范为 .8.在 ABC 中， 2sin Acos Bsin C，那么 ABC 一定是 .9.在 ABC 中，cos 2 (a，b，c 分别为角 A，B，CB2 a c2c的对边)，则 ABC 的形状为 .10.在 ABC 中， A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若a c ，且 A75，则 b .6 211.某人在 C 点测得塔顶 A为南偏西 80，仰角为45，此人沿南偏东 40方向前 进 10 米到 D，测得塔顶 A 的仰角为 30，则塔高为 。12.轮船 A 和轮船 B 在中午 12时同时离开海港 O，两船航行方向的夹角为 120，两船的航行速度分
4、别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午 2时两船之间的距离是 n mile.三、解答题（共 90 分）13.（15 分）在ABC 中， 所对的CBA、边长分别为 ，设 满足条件cba、 cba、和 ，求 和22cb31A的值Btn14.（15 分）在 中，角 所对的边分ABC,别为 ，已知 ， ， ,abc23c1os4B（1）求 的值；（2）求 的值sin15.（15 分）在ABC 中，角 ,ABC所对的边分别为 ,abc，且满足 25os， 3 （1）求ABC 的面积；（2）若 6，求 a的值来源:16.（15 分）在 ABC 中， a、b、c 分别是 A、B、C 的对
5、边，已知 ，且 a2 c2=ac bc，求 A 的大小及2b的值.cBsin17.（15 分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75,30，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60，AC = 0.1 km.试探究图中 B， D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B， D 的距离（计算结果精确到 0.01 km， 21.414， 62.449） 18.（15 分）为了测量两山顶 M， N 间的距离，飞机沿水平方向在 A， B 两点进行测量， A， B， M， N 在同一个
6、铅垂平面内（如示意图） ，飞机能够测量的数据有俯角和 A， B 间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算 M， N 间的距离的步骤.第一章 解三角形答题纸得分： 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6来源:答案二、填空题7 8 9 10 11 12 三、解答题13.来源: 数理化网14.15.来源:16.来源:17.18第一章 解三角形参考答案1.C 解析：如图，AD 为山坡底 线， AB为行走路线，BC 垂直水平面,则 BC=100 米，BDC=30，BAD=30， BD=200 米，AB=2BD=400 米故选 C.2.A 解析：
7、如 图所示，设行驶 t h 后，汽车由 A 行驶到 D，摩托车由 B 行驶到 E，则 AD =80t，BE =50t.因为 AB =200，所以 BD =200-80t，问题就转化为求 DE 最小时 t 的值由余弦定理得 DE2=BD2+BE2-2BDBEcos60=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)50t=12 900t2-42 000t+40 000.当 t =时 DE 最小故 选 A.3.C 解析： mn， cos Asin A0， tan A ， A .3 3 3 acos B bcos A c sin C， sin A cos Bsin B cos Asin C
8、sin C， sin(A B) sin2C， sin Csin 2C。 sin C0， sin C1。 C ， B .故选 C. 2 64.D 解析：不妨设 a为最大边由题意得， ，即 ，ac sinAsinC 3 12 sinAsin(120 A) 3 12 ，即(3 )sin A(3 )cos A，sinA32cosA 12sinA 3 12 3 3 tan A2 ， A75.故选 D.35.C 解析：依题意及面积公式 S bc sin A，12得 10 bc sin 60 ，即 bc40.312 又周长为 20，故 a b c20， b c 20 a。由余弦定理得： a2 b2 c22
9、bc cos A b2 c22 bc cos 60 b2 c2 bc( b c)23 bc，故 a2(20 a)2120，解得 a7.6.B 解析： S a2( b c)2 a2 b2 c22 bc 2 bc 2bc cos A bc sin A， sin 12A4(1cos A),16(1cos A)2cos 2A1， cos A .故选 B.15177. 2 ， )3,( 解析：设 ，由正弦定理得,则 B.sini2coscsCBC由锐角ABC 得 09045，又 1836，故 233cos ，2cos(2,).AC8.等腰三角形 解析一： 在 ABC 中， A B C，即 C( A B)
10、， sin Csin( A B)由 2sin Acos Bsin C，得 2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B，即 sin Acos Bcos Asin B0，即 sin(A B)0.又 A B， A B0，即 A B. 是等腰三角形解析二：利用正弦定理和余弦定理2sin Acos Bsin C 可化为 2a c，即 a2 c2 b2 c2，即 a2 b20，a2 c2 b22aca2 b2，故 a b. ABC 是等腰三角形 9.直角三角形 解析： cos 2 ， ， cos B ，B a c2c cosB 12 a c2c ac ， a2 c2 b22 a2，即
11、a2 b2 c2， ABC为直角三a2 c2 b22ac ac角形 10.2 解析：如图所示，在 中，由正弦定理得AC66sin30si75sin430()=4， b=2. 11.10 米 解析：如图，设塔高 为 h 米 ，在 Rt AOC 中， ACO45，则 OC OA h .在 Rt AOD 中， ADO30，则 OD h。3在 OCD 中， OCD120， CD10，由余弦定理得： OD2 OC2 CD22 OCCDcos OCD，即( h)2 h210 22 h10cos 120，3 h25 h500，解得 h10 或 h5(舍)12. 70 解析：如图，由题意可得 OA 50，OB
12、30.而 AB2 OA2 OB22 OAOB cos 12050 230 225030( )122 5009001 5004 900， AB70.13.分析：本题是条件式求值问题，关键是运用正、余弦定理解：由余弦定理，得 ，因此 .21cos2bcaA60A在ABC 中，C=180 AB=120 B.由已知条件，应用正弦定理，得 BCsin)2(si3解得sin120cos120in1,i ta2BB.1ta14. 解：（1）由余弦定理，得 即 ，2cosb221304b0b（2）方法 1：由余弦定理，得 ， 22cosacCb41098 是 的内角， CAB236sin1cos8C方法 2：
13、 ，且 是 的内角， 1cos4AB215in1cos4B根据正弦定理， ，得 sinibcC53si64in810cb15.解：（1） 25oA， 2os,sin5A. 又由 3B，得 c3,b5bc， .（2）由（1）知 ，又 6， ,1或 ,bc，由余弦定理得2os20abcA， a. 16.分析：因给出的是 a、b、c 之间的等量关系，要求 A，需找 A 与三边的关系，故可用余弦定理.由 b2=ac 可变形为 =a，再用正弦定理可求 的值.cBbsin解法一： b2=ac,又 a2 c2=ac bc， b2+c2 a2=bc.在 ABC 中，由余弦定理得 cos A= = = ， A=
14、60.1在 ABC 中，由正弦定理得 sin B= ， b2=ac，A=60，asin =sin 60= .acbcB60sinsi23解法二：在 ABC 中，由面积公式得 bc sin A= ac sin B.2121 b2=ac，A=60(解法一)， bc sin A=b2sin B. =sin A= .cBsin23点评：解三角形时，找三边一角之间 的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.17.解:在 ADC 中， DAC = 30, ADC = 60 DAC=30,所以 CD = AC = 0.1 km .又 BCD = 1806060 = 60，故 CB 是 CAD 底
15、边 AD 的中垂线，所以 BD = BA. 在 ABC 中， ,ABCsinBCsinA即 AB = ,206315sinAC60因此， BD =0.33(km).故 B， D 的距离约为 0.33 km. 点评：将解三角形等内容提到高中来学习，近年来,又加强数形结合思想的考查，降低对三角变换的要求，对三角函数的综合考查将向三角形问题伸展，但也不会太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可.18.解：方案一：需要测量的数据有： A 点到 M， N 点的俯角 1， ； B 点到 M，N 点的俯角 2,； A， B 间的距离 d （如图所示） . 第一步：计算 AM ，由正弦定理得 21sin() ；第二步：计算 AN ，由正弦定理 21is()dAN ；第三步：计算 MN，由余弦定理得 2 1cos()MAMN .方案二：需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角 1， ； B 点到 M， N 点的俯角 2， ； A， B 的距离 d （如图所示）.第一步：计算 BM ，由正弦定理得 12sin()d ；第二步：计算 BN ， 由正弦定理得 12is()BN ； 第三步：计算 MN ， 由余弦定理得 .2cos()MBMN
