1、3.2 均值不等式 教案教学 目标：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.利 用均值定理求极值.了解均值不等式在证明不等 式中的简单应用教学重点：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理利用均值定理求极值教学过程一、复习：1、复习不等式的性质定理及其推论1：ab bb,bc ac(或 cb a+cb+c(或 ac a c-b(移项法则)(2)：ab,cd a+cb+d4、若 ab,且 c0，那么 acbc；若 ab,且 cb0,且 cd0，则 acbd(2)、若 ab0,则 anbn (n ,且 n1)N(3)、若 ab0,则 (n ,且 n
2、1)b2、定理变式： 如果 a,bR ， 那么 a2 +b22ab （当且仅当 a=b 时，等号成立）3、均值定理：如果 a,b 是正数，那么 ).“(号时 取当 且 仅 当 bab证明： 来源:,)(22ba， 即ba显然，当且仅当 b2,时说明：）我们称 的算术平均数，称 的几何平均数，因而，此b为ba,为定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均 数 奎 屯王 新 敞新 疆） 成立的条件是不同的：前者只要求 a,b 都是实数，aa22和而后者要 求 a,b 都是正数 奎 屯王 新 敞新 疆） “当且仅当”的含义是等价 奎 屯王 新 敞新 疆 来源:3均值定理的几何意义是“
3、半径不小于半弦” 奎 屯王 新 敞新 疆以长 为 a+b 的线段为直径作圆，在直径 AB 上取点 C， 使 AC=a,CB=b 奎 屯王 新 敞新 疆 过点 C 作垂直于直径AB 的弦 DD, 那么 ，即CBAD2 abD这个圆的半径为 ，显然，它不小于 CD，即 ，其中当且仅当点 C 与圆2baab2心重合；即 a=b 时，等号成立 奎 屯王 新 敞新 疆应用例题：例 1、已知 a、 b、c R，求证： 不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题。例 2、若 ，则Rcba, cbacba22本 题若用“求差法
4、“证明，计算量较大，难以获得成功，注意到 a , b , cR ，从结论的特点出发，均值不等式，问题是不难获证的。例 3、已知 为两两不相等的实数，求证：cba, cabcba22证明： 222bc以上三式相加： c2)( cacba22例 4、已知 a,b,c,d 都是正数，求证： abcdcdb4)(分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识 奎 屯王 新 敞新 疆 来源:证明：a,b,c,d 都是正数， ab0， cd0， ac0， bd0 奎 屯王 新 敞新 疆得 来源:,2abcd.2acbd由不等式的性质定理 4 的推论 1，得()().4abcdabcd即归纳小结定理：如果 a,b 是正数，那么 ).“(2号时 取当 且 仅 当 baab2、利 用均值定理求最值应注意：“正” ， “定” ， “等” ，灵活的配凑是解题的关键。来源:巩固练习P71 练习 A，P72 练习 B。
