1、【金版学案】2015-2016 学年高中数学 第 1 章 解三角形章末知识整合 苏教版必修 5题型 1 利用正、余弦定理解三角形解答下列各题：(1)在ABC 中，若 A30，a ，b2，求 B；2(2)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a ，b2， sin B cos 2B ，求 A.2分析：已知三角形两边和其中一边的对角，求另一边的对角，根据问题条件可能出现唯一解、两解、无解的情况，解题时一定要根据问题条件，准确判定解析：(1)根据正弦定理，有 ，asin A bsin B即 sin B ，得 sin B .bsin Aa 2sin 302 22a A30，B 为
2、锐角或钝角即 B45或 135.(2)由 sin B cos B 得 sin 1，B .2 (B 4) 4由正弦定理 ，得 sin A ，2sin A 2sin 4 12又 ab，AB. A . 6归纳拓展已知两边和其中一边的对角解三角形，一般用正弦定理，但此时三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角，AB 则 sin Asin B”等关系来判定，也可以结合几何图形帮助理解记忆具体模式如图所示，关键是比较bsin A 与 a 和 b 的大小当 A 为锐角，且 bsin Aa 时，一解，b sin Aa，无解，b sin Aa，两解，ab 时一解，至于
3、A90，A90，情况较易变式迁移1在ABC 中，角 A， B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A ，a ，b1，则 c 3 3为( B)A1 B2C. 1 D.3 3解析：由正弦定理 ，asin A bsin B sin B .bsin Aa 1sin 33 12又ab，AB.B 为锐角B ，于是 C . 6 2ABC 为直角三角形c 2，故选 B.a2 b2例 2 (1)在ABC 中，am，bn，c ，求 C；m2 n2 mn(2)在ABC 中，a7，b8， cos C ，求 c 及最大角的余弦值1314分析：(1)为 ABC 中已知三边求一角，直接用余弦定理 cos C 求解即a2 b
4、2 c22ab可(2)为ABC 中已知两边及其夹角余弦求第三边，用 c 求最大角的a2 b2 2abcos C余弦，不难想到“大边对大角” 解析：(1)由余弦定理得 cos C ，a2 b2 c22ab将 a，b，c 的值代入上式，得 cos C .m2 n2 m2 n2 mn2mn 120ac，在ABC 中，B 最大 cos B .a2 c2 b22ac 72 32 82273 17归纳拓展余弦定理有三个方面的应用：一是已知三角形的两边和它们的夹角，可以由余弦定理求出第三边，进而求出其余两角；二是已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角；三是正、余弦定理的综合应用，如已知三
5、角形的两边及其一边的对角，除了能用正弦定理解三角形外，也可以用余弦定理来解三角形变式迁移2(2013湖南卷)在锐角ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b，若 2asin Bb，则角 A 等于( D)3A. B.12 6C. D. 4 3解析：由正弦定理 和 2asin B b 可得 2sin Asin B sin B，即 sin asin A bsin B 3 3A ，32又ABC 为锐角三角形，A . 3题型 2 三角形形状的判断例 3 在ABC 中，a，b，c 分别 为角 A，B，C 的对边，且 2asin A(2bc) sin B(2cb) sin C.(1)求 A 的大小；(
6、2)若 sin B sin C1，试判断ABC 的形状分析：只要根据已知条件找到三角形的边或角的关系，就可以确定三角形的形状解析：(1)由已知，根据正弦定理，可得 2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b 2c 2bc，由余弦定理得 cos A ，A120.b2 c2 a22bc 12(2)方法一 由(1)，BC60，B60C，由 sin B sin C1，得 sin(60C) sin C1，即 sin 60cos C cos 60sin C sin C1，即 sin(C60)1，而 0C60，C30.故 B30，ABC 为等腰钝角三角形方法二 由(1)b 2c 2bca 2得sin2B si
7、n2C sin Bsin C sin2A，即( sin B sin C)2 sin Bsin C ，34 sin Bsin C .14与 sin B sin C1 联立，解得 sin B sin C ，12而 0B，C60，BC.ABC 为等腰钝角三角形归纳拓展要注意正弦的多值性，否则可能漏解另外，还要注意等腰三角形或直角三角形与等腰直角三角形的区别判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角方法求解在解三角形时的常用结论有：(1)在ABC 中，ABab sin Asin Bcos A ，a 2b 2c 2C ，a 2b
8、2c20C . 2 2 2变式迁移3在ABC 中，若 cos2 ，试判断ABC 的形状A b c2c解析：方法一 cos2 ，A b c2c ， cos A ，1 cos A2 b c2c bc即 .b2 c2 a22bc bcc0，c 2a 2b 2.ABC 为直角三角形方法二 cos2 ，A b c2c . cos A .1 cos A2 b c2c bc cos A .2Rsin B2Rsin C sin Bsin C sin Ccos A sin B. sin Ccos A sin(AC) sin Acos C0.0A ， sin A0. cos C0.C90.故ABC 为直角三角形题
9、型 3 求三角形的面积例 4 (1)在ABC 中，已知 a3，b4，C60，则ABC 的面积为多少？(2)若三角形面积为 ，且 b2，c ，求 A.32 3分析：非特殊三角形面积的计算主要用 S bcsin A absin C acsin B(1)直接12 12 12用 S absin C 即可；(2)为逆用 S bcsin A.12 12解析：(1)S absin C12 34sin 606 3 .12 32 3(2)S bcsin A，12 2 sin A，32 12 3 sin A .A60或 120.32归纳拓展三角形面积公式：S aha bcsin A pr ，其12 12 abc4
10、R p（ p a） （ p b） （ p c）中 A，B，C 分别为ABC 的边 a，b，c 的对角，R，r 分别为ABC 的外接圆和内切圆半径，p (abc)12变式迁移4已知ABC 的三边长分别为 a2，a，a2，且最大角的正弦值为 ，求这个三角32形的面积解析：设 是最大角， sin ，而 60，32120.(a2) 2a 2(a2) 22a(a2) cos 120.解得 a5，三边长为 3，5，7.S 35sin 120 .12 15345在ABC 中，已知 a ， cos A ，且 b2bc2c 20.378(1)求 b，c 的值；(2)求ABC 的面积解析：(1)由 b2bc2c
11、20 得(bc)(b2c)0，即 b2c，再由 a2b 2c 22bc cos A 得 3(2c) 2c 222c 2 ，解得78c ， b2 .2 2(2) cos A ， sin A .78 1 (78)2 158S ABC bcsin A 2 .12 12 2 2 158 154题型 4 正、余弦定理的应用如右图所示，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3 )海里的两个观测点，现位于3A 点北偏东 45，B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 B 点相距 20 海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/时，该救援3船到达 D
12、 点需要多长时间？分析：在ABD 中，由正弦定理可求出 BD，再在BCD 中，用余弦定理求出 CD，最后可求出时间 t.解析：由题意知 AB5(3 )(海里)，DBA906030，DAB9034545，ADB180(4530)105.在DAB 中，由正弦定 理，得 ，BDsin DAB ABsin ADBBD ABsin DABsin ADB （ 15 53） sin 45sin 105 （ 15 53） sin 45sin 45cos 60 cos 45sin 60 10 (海里)53（ 3 1）3 12 3又DBCDBAABC60，BC20 (海里)，3在BCD 中，由余弦定理得，CD2B
13、D 2BC 22BDBC cosDBC3001 200210 20 900.3 312CD30(海里)，则需要的时间 t 1(小时)3030归纳拓展解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问 题其基本思路 是：首先分析本题属于哪种问题(如测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知和未知的量标在图中，最后根据边角关系选择相应的定理，同时注意近似计算的要求，解题后再还原为实际问题变式迁移62009 年国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为 15的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为 60和 30，且第一排和最后一排距离为 10 米，求旗杆的高度6解析：设旗杆的高度为 x 米，ABC105，CAB45，ACB30.根据正弦定理可知 ，即 BC20 .BCsin 45 106sin 30 3旗杆高度 xBC sin 6020 30(米)332故旗杆的高度为 30 米
