1、2.2 一次函数和二次函数1一次函数的性质与图象(1)一次函数的概念函数 ykxb(k0)叫做一次函数 ，又叫做线性函数；它的定义域为 R，值域为 R.一次函数 ykxb( k0)的图象是直线，其中 k 叫做该直线的 斜率，b 叫做该直线在 y轴上的截距对一次函数的概念要注意以下三点：k0.若 k0，则函数就成为常数函数x 的最高次项次数为 1.否则，也不是一次函数b 为任意常数(2)一次函数的性质一次函数 ykxb(k0)分类来源:学科网 k0 k0图象定义域 R R一次函数 ykxb(k0)值域 R R单调性 在( ，) 上递增 在(，)上递减奇偶性 b0 时为奇函数，b0 时既不是奇函数
2、也不是偶函数特殊点 与 x 轴的交点为 ，与 y 轴的交点为(0，b)(bk，0)斜率 k (x2x 1)yx y2 y1x2 x1(3)图象的画法因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要描出两个点，再连成直线即可(4)图象的特点正比例函数 ykx 的图象是经过原点(0,0)的一条直线一次函数 ykxb 的图象是经过 y 轴上点(0，b)的一条直线(5)画法技巧画正比例函数 ykx 的图象，通常取(0,0)，(1，k) 两点，然后连线画一次函数 ykxb 的图象，通常取它与坐标轴的交点 (0，b)， ，然后连( bk，0)线原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确但由于 多数情况下是分数
3、，故在描点时，bk我们也可以取 x 和 y 都是整数的点谈重点 对截距 b 含义的理解(1)b 的取值范围：bR.(2)b 的几何意义：直线 ykxb 与 y 轴的交点的纵坐标(3)点(0， b)是直线 ykxb 与 y 轴的交点当 b0 时，此交点在 y 轴的正半轴上；当b0 时，此交点在 y 轴的负半轴上；当 b0 时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数(4)截距与距离是两个不同的概念截距可正可负可以为零，但距离不可能为负【例 11】一次函数 ykxk，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图象过( )A第一、二、三象限 B第一、三、四象限C第一、二、四象限 D第二、三、四象限解析：
4、由题意知 k0，所以k0，故 ykxk 的图象过第一、三、四象限答案：B【例 12】函数的解析式为 x2y70，则其对应直线的斜率与纵截距分别为( )A B1 ，77,C1， D ,解析：x2y70， ，=2yx斜率 ，纵截距 ，故选 A.=k7b答案：A【例 13】在同一直角坐标系内画出一次函数 y2x1 和 y2x1 的图象解：列表x 0 0.5 y 1 0 x 0 0.5 y 1 0 描点(0,1)，( 0.5,0)，(0,1) ， (0.5,0)连线，即得 y2x1 和 y2x1 的图象，如图【例 14】已知一次函数的图象经过 A(3,5)和 B(4，9)两点，求该一次函数的解析式分析
5、：一次函数的图象是一条直线，可设解析式为 ykx b(k0)，又因为其图象过A，B 两点，所以 A，B 两点的坐标适合方程，由此解出 k 和 b.解：设这个一次函数的解析式为 ykxb(k0)当 x3 时，y 5；当 x 4 时，y9， 3=5,49.kb ，得 7k14，k 2.把 k2 代入，得 b1.这个一次函数的解析式为 y2x1.2二次函数的定义函数 yax 2bx c(a0)叫做二次函数，它的定义域是 R.特别地，当 bc0，则函数变为 yax 2(a0)点技巧 学习二次函数的定义应注意的两点(1)对二次函数的定义，要特别注意 a0 这个条件函数 yax 2bxc 只有在 a0的条
6、件下才是二次函数，且 x 的最高次数是 2，b，c 可取任意实数(2)任何一个二次函数的解析式都可化成 yax 2bxc (a0)的形式，因此把yax 2bxc(a0)叫做二次函数的一般形式3二次函数的图象变换及参数 a，b，c，h，k 对其图象的影响(1)函数 yx 2 和 yax 2(a0)的图象之间的关系二次函数 yax 2(a0)的图象可由 yx 2 的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到，参数 a 的取值不同，函数及其图象也有区别，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小当 a0 时，二次函数 yax 2 的图象开口向上，当 a0 时，图象开口向下而且，当 a0 时，
7、a 的值越大，函数 yax 2 的图象开口越小，a 的值越小，函数yax 2 的图象开口越大；当 a0 时，a 的值越小，函数 yax 2 的图象开口越小，a 的值越大，函数 yax 2 图象开口越大也就是说，| a|越大，抛物线的开口越小；反之，| a|越小，抛物线的开口越大(2)函数 yax 2 和 ya(x h) 2k(a0) 的图象之间的关系函数 ya(xh) 2k(a0)的图象可以由函数 yax 2(a0)的图象向左( h0)或向右(h0)平移| h|个单位长度，再向上( k0) 或向下(k0)平移 |k|个单位长度得到h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”
8、 ；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移， k 负下移” 可简记为“左加右减，上加下减” 由于只进行了图象的平移变换，所以函数 ya( xh) 2 k(a0) 的图象与函数 yax 2(a0)的图象形状相同，只是位置不同(3)函数 yax 2 和 yax 2bxc(a0) 的图象之间的关系二次函数 yax 2bx c(a0) 通过配方可以得到其恒等形式 ya( xh) 2k(a0) ，从而可以知道，由 yax 2 的图象如何平移就得到 yax 2bx c(a0)的图象在二次函数yax 2bxc(a0)，即 y a 2 (a0)中，二次项系数 a 决定着函数图象的(x b2a) 4
9、ac b24a开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；b 和 a 共同决定抛物线的对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线 x ，它是一条平行于 y 轴或与 y 轴重合的直线；a，b，c 共同决b2a定抛物线顶点 的位置，c 的大小决定抛物线 yax 2bxc 与 y 轴交点的位( b2a，4ac b24a )置，当 c0 时，抛物线经过坐标原点，当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴，当 c0 时，交点在 y 轴的负半轴【例 31】(1)由 y2x 2 的图象，如何得到 y2(x1) 23 的图象？(2)把 y2x 2 的图象，向右平移 3 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，
10、能得到哪个函数的图象？(3)将函数 y4x 22x 1 写成 ya( xh) 2k 的形式，并说明它的图象是由 y4x 2 的图象经过怎样的变换得到的？解：(1)把 y2x 2的图象向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度就得到y2( x1) 2 3 的图象来源:(2)把 y2x 2的图象，向右平移 3 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，就得到函数y2(x 3)24 ，即 y2x 212x22 的图象(3)y4x 22x1 216x 14 .23x把 y4x 2的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，就可得到函数1434y4x 22x1 的图象【例 32】(1)在
11、同一坐标系中作出下列函数的图象：yx 2；y x22；y2x 24x .(2)分析如何把 yx 2 的图象变换成 y2x 24x 的图象分析： 解答本题可就每个函数列表、描点连线，作出相应图象，然后利用图象以及二次函数的平移变换规律分析 yx 2与 y2x 24x 的图象之间的关系解：(1)列表：x 3 2 1 0 1 2 3 来源:yx 2 9 4 1 0 1 4 9 yx 22 7 2 1 2 1 2 7 y2x 24x 30 16 6 0 2 0 6 描点、连线即得相应函数的图象，如图所示(2)y2x 24x2(x 2 2x)2(x 2 2x11)2(x 1)22.由 yx 2到 y 2
12、x24x 的变化过程如下方法一：先把 yx 2的图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍得到 y2x 2的图象，然后把 y2x 2的图象向下平移 2 个单位长度得到 y2x 22 的图象，最后把y2x 22 的图象向右平移 1 个单位长度得到 y2( x1) 22，即 y2x 24x 的图象方法二：先把 yx 2的图象向右平移 1 个单位长度得到 y (x1) 2的图象，然后把y( x 1)2的图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍得到 y2(x1) 2的图象，最后把 y2( x1) 2的图象向下平移 2 个单位长度便可得到 y2(x1) 22，即 y2x 24x的图象析规律
13、 二次函数图象的变换规律所有二次函数的图象均可以由函数 yx 2的图象经过变换得到，变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式，再确定变换的步骤常用的变换步骤如下：yx 2 yax 2- - - - - - - - - - - - - - - - - - 横 坐 标 不 变 纵 坐 标 变 为 原 来 的 a倍yax 2k- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - k0，上 移 k个 单 位 长 度 k0，左 移 h个 单 位 长 度 h02aB 中，当 x 1 时，y0( 抛物线上横坐标为1 的点在 x 轴下方) ，abc0(把 x1 代入函数得 ya
14、(1) 2b( 1)cabc)，bac.因此 B 是错误的C 中，抛物线上横坐标为 1 的点在 x 轴上方，即 y0，又当 x1 时，函数 ya1 2b1cabc，abc0.因此 C 是错误的D 中，由上得 bac.又 ， .=122c3b.因此 D 正确答案：D【例 52】已知二次函数的图象的顶点坐标是(1，3) ，且经过点 P(2,0)，求这个函数的解析式分析：本题已知图象上两点的坐标(1，3) 和(2,0)，若不考虑已知点的特点，设二次函数的一般式 yax 2bx c( a0) 似乎差一个条件，但注意到点(1，3) 是抛物线的顶点，再利用对称轴方程，就可以列出关于 a，b，c 的三元一次
15、方程组，从而得解；根据顶点坐标是(1， 3)，也可设二次函数的顶点式 ya(x1) 23(a0)，只需将点 P(2,0)的坐标代入，即可求出 a；若看到 P(2,0)点是图象与 x 轴的交点，利用对称性即可求出图象与 x 轴的另一个交点，设二次函数的交点式 ya(xx 1)(xx 2)也能求解解：(方法 1)设所求函数的解析式为 yax 2bxc(a0)，由题意，得=3,4201,abc解得=3,60.abc所求函数的解析式为 y3x 26x .(方法 2)设所求函数的解析式为 ya(x1) 23(a0) ，由图象经过点 P(2,0)，得 a(21) 230，解得 a3.所求函数的解析式为 y
16、3(x1) 23，即 y3x 26x.(方法 3)二次函数的图象的顶点坐标为(1，3) ，其对称轴为直线 x1.又图象与 x 轴的一个交点坐标为 P(2,0)，由对称性可知，图象与 x 轴的另一个交点坐标为(0,0)可设所求函数的解析式为 ya(x0)(x2)(a0) 图象的顶点坐标是(1，3)，a(10)(12)3，解得 a3.所求函数的解析式为 y3x(x2)，即 y3x 26x.析规律 由二次函数的图象与 x 轴的交点求解析式若二次函数 yf( x)的图象与 x 轴的两个交点坐标为(x 1,0)和 (x2,0)，则其对称轴方程为x ，由此可以看 出，已知二次函数的对称轴及其与 x 轴的一
17、个交点坐标，即可求出x1 x22另一个交点的坐标6二次函数图象的草图画法画二次函数的图象时，重点体现抛物线的特征“三点一线一开口” “三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与 x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向根据这些特征，在坐标系中可快速画出抛物线的草图，使画图的操作更简便，使图象更精确【例 6】画出函数 y2x 24x 6 的草图解：y2x 24x 62(x 2 2x)62(x 2 2x11)62(x1) 2162(x 1)28.函数图象的开口向上，顶点坐标为(1，8) ，对称轴为直线 x1.令 y0，得 2x24x 6
18、0，即 x22x30，解得 x 1 或 x3，故函数图象与 x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)画法步骤：描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，8) ，(1，0)，(3,0) ，画出直线x1；连线：用光滑的曲线连点(1，8) ，(1，0) ，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线 x1 对称，即得函数 y 2x24x6 的草图，如图所示7待定系数法一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法待定系数法求解析式的基本步骤如下：(1)设出含有待定
19、系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；(3)解方程或方程组求出待 定系数，从而使问题得到解决【例 7】若 f(x)为一次函数，且满足 ff(x)12x，则 f(x)的解析式为_解析：已知 f(x)为一次函数，可以使用待定系数法设 f(x)kxb(k 0) ，则 ff(x)f(kxb) k(kxb)bk 2xkbb，利用对应系数相等即可求得 ，=2k或 ， .=21=1答案： 或2fx()=1f8给定区间上二次函数的最值或值域的求法求二次函数的最值或值域，基本的方法是配方法，当限定在某个闭区间上时，关键是确定函数图象的开口方向和对称轴与所给区间的相对位置，结合函数图象确
20、定该函数的单调性、最大值或最小值是在端点处取得还是在顶点处取得一般地，二次函数 f(x)ax 2bxc (a0)在闭区间 p，q上的最值有下列四种情况：(1)当 p，即对称轴在区间 p，q的左边时，画出草图如图，从图象上易得 f( x)b2a在p，q 上是增函数，则 f(x)minf (p)，f(x) maxf(q)(2)当 p ，即对称轴在区间 p，q的左端点与区间中点之间时，画出草图b2a p q2如图.从图象上易得 f(x)在 p，q 上的最值情况是 f(x)minf ，f(x)( b2a) 4ac b24amaxf(q) (3)当 q，即对称轴在区间 p，q的中点与右端点之间时，画出草
21、图如图.从p q2 b2a图象上易得 f(x)在p，q上的最值情况是 f(x)minf ，f(x) maxf (p)( b2a) 4ac b24a(4)当 q，即对称轴在区间 p，q的右边时，画出草图如图.从图象上易得 f(x)在b2ap，q上是减函数，则 f(x)minf (q)，f(x) maxf(p)【例 8】已知函数 f(x)x 22ax2，x 5,5(1)当 a1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值；(2)用 a 表示出函数在5,5上的最值；(3)求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在5,5 上是单调函数分析：f(x) x 22ax 2(x a) 22a 2.(1)当 a1 时，
22、由于对称轴 x1 在区间5,5内，则由图象知函数 f(x)的最大值是 f(5)，最小值是 f(1)；(2)中对称轴 xa，要根据对 称轴与区间5,5的相对位置来讨论最值，因此要对对称轴的位置分类讨论；(3)切入点是单调函数，结合图象可知对称轴不能在区间5,5内部，因此也要讨论对称轴的位置解：(1)当 a1 时，f (x)x 22x2(x1) 21，x5,5 ，当 x1 时，f(x)取得最小值，即 f(x)minf(1)1.当 x5 时，f( x)取得最大值，即 f(x)maxf( 5) (51) 2137.所以函数 f(x)的最大值为 37，最小值为 1.(2)函数 yf(x)(xa) 22
23、a2图象的对称轴为 xa.当a5，即 a5 时，函数在区间5,5 上是增函数，所以 f(x)maxf(5) 2710a，f(x)minf(5)2710a；当5a0，即 0a5 时，f(x)maxf(5)27 10a，f(x)minf(a)2a 2；当 0a5，即5a0 时，f(x)maxf( 5) 2710a，f(x)minf(a)2a 2；当a5，即 a5 时，函数在区间5,5 上是减函数，所以 f (x)minf(5)2710a，f(x)ma x f(5)2710a.故当 a5 时，f(x )max2710a，f(x)min2710a；当 0a5 时，f(x )max2710a，f(x)m
24、in2a 2；当5a0 时，f(x )max2710a，f (x)min2a 2；当 a5 时，f(x )max2710a，f (x)min2710a.(3)由(2)可知若函数 f(x)在区间5,5上是单调函数，则有 a5 或 a5.释疑点 如何在给定区间求二次函数的最值或值域当函数的解析式中含有参数或给定的区间不固定时，求二次函数在此区间上的最值，应按开口方向或对称轴与所给区间的相对位置进行正确合理的讨论，一要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴
25、越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近， 函数值越大9一元二次方程与二次函数的关系一元二次方程与二次函数的关系是方程与函数关系的特例，是研究函数与方程关系的典范一元二次方程 ax2bx c 0(a0)的根就是相应的二次函数 yax 2bxc 的函数值为 0 时的自变量 x 的值，从图象上看，就是抛物线与 x 轴交点的横坐标当一元二次方程的判别式 0 时，方程有两个不相等的实数根，此时对应的二次函数的图象与 x 轴有两个不同的交点，其解析式又可写成两根式的形式：ya( xx 1)(xx 2)，抛物线与 x 轴的两个交点间的距离| x2x 1| (x2 x1)
26、2 (x1 x2)2 4x1x2 ( ba)2 4ca.当 0 时，方程有两个相等的实数根，此时对应的二次函数的图象与 x 轴只有b2 4ac|a|一个公共点；当 0 时，方程没有实数根，此时对应的二次函数的图象与 x 轴没有交点当 a0 时，它们之间的关系如下图所示：0 0 0求解一元二次方程根的问题，一般使用求根公式或根与系数的关系，但有些问题用这种方法解决比较繁琐，甚至无法求解，此时若借助于二次函数，并借助于图象，则问题会转化为易于理解和表达的问题例如，实数 a 为何值时，关于 x 的一元二次方程 x2(a1)x2 a0 有一根小于1，另一根大于 1?显然，如果使用根与系数的关系或求根公
27、式求解非常困难，我们可以利用相应的二次函数的图象解决该问题设 f(x)x 2(a1) x2a，画出该函数的图象( 如下图)，方程的两根中一根小于1，另一根大于 1，等价于函数的图象与 x 轴的一个交点在1 的左侧，另一个交点在 1 的右侧，只需Error!由此可解得 a .23通过上述实例，我们可以看到，用函数的思想解决一元二次方程根的分布问题，运用了数形结合的思想，使难以处理的问题转化的非常直观简单一般情况下，用二次函数的图象处理一元二次方程根的分布问题，要从多个方面考虑使结论成立的等价条件，如判别式、对称轴、函数值的正负大小等【例 91】已知 f(x)1(xa)(xb) ，并且 m，n 是
28、方程 f(x)0 的两根，则实数a，b，m，n 的大小关系可能是 ( )Amabn Bam nbCambn Dm anb解析：由 f(x)1(xa)( xb) 可知，二次函数 f(x)的开口向下，且 f(a)f (b)10.m， n 是方程 f(x)0 的两根，f(m)f( n)0.由 f(x)的图象可知，实数 a，b，m ，n 的关系可能是 mabn(如图所示) 答案：A点技巧 由二次函数图象比较参数大小比较实数 a，b，m，n 的大小，可转化为比较四个函数值 f(a)，f (b)，f(m) ，f (n)的关系根据条件可容易画出函数的图象并得到 a，b，m ，n 四个变量在 x 轴上的位置，
29、从而写出 a，b，m，n 的大小关系【例 92】若方程 x2 xk 在( 1,1)上有实根，求 k 的取值范围3分析：显然利用求根公式求解不可取，我们可以利用相应二次函数的图象解决该问题，或将其转化为二次函数 kx 2 x 在区间( 1,1)上的值域问题解：(方法 1)设 f(x)x 2 xk，函数 f(x)的图象开口向上，对称轴为直线 .3 3=4x若方程 x2 xk 在( 1,1)上有两个实根，则函数 f(x)的图象如图甲所示，3故 即 .2()40,1,3()(1)0,fk 9,16,25,kk12k若方程 x2 xk 在( 1,1)上有一实根，则函数 f(x)的图象如图乙、丙所示，故 即 (1)0,f23)(1)0,k5,21, .综上所述，实数 k 的取值范围是 .52k 95,62(方法 2)方程 可以看作是 k 关于 x 的二次函数 ，23=xk23=kx配方得 ，其对称轴方程为 ，函数在区间 上是减函数，9416k341,4在区间 上是增函数(图象如图所示 )3,1由函数的单调性可知，此函数在区间(1,1) 上的值域为 ，3,(1)4f ，2339 =4416ff(1)(1) 2 (1) ，5 实数 k 的取值范围是 .9,162
