1、13 组合第 1课时 组合与组合数公式1理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系(易混点)2理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算(重点)3会解决一些简单的组合问题(难点)基础初探教材整理 1 组合的概念阅读教材 P12P 13“练习 1”以上部分，完成下列问题一般地，从 n个不同的元素中，任取 m(m n)个元素_，叫作从 n个不同元素中取出 m个元素的一个组合【答案】 为一组下面几个问题中属于组合问题的是( )由 1,2,3,4构成的双元素集合；5 个队进行单循环足球比赛的分组情况；由 1,2,3构成两位数的方法；由 1,2,3组合无重复数字的两位数的
2、方法A BC D【解析】 为组合问题，与顺序无关，为排列问题，与顺序有关【答案】 C教材整理 2 组合数的概念、公式、性质阅读教材 P13“练习 1”以下至 P16部分，完成下列问题2组合数定义从 n个不同元素中取出 m(m n)个元素的_的个数，叫作从 n个不同元素中取出 m个元素的组合数表示法 _乘积式 C _mn组合数公式 阶乘式 C _mn性质 C _，C _mn mn 1备注 n， mN 且 m n；规定：C 10n【答案】 所有组合 C mnAmnAmCn n 1 n 2 n m 1m！ n！m！ n m ！ n mnC Cmn m 1n1甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的
3、距离均不相等，则车票票价的种数是_【解析】 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为 C 3.23322【答案】 32C _，C _.26 178【解析】 C 15，26652C C 18.178 18【答案】 15 18质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 3小组合作型组合的概念判断下列各事件是排列问题还是组合问题(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多
4、少种可能？(3)从 10个人里选 3个代表去开会，有多少种选法？(4)从 10个人里选出 3个不同学科的课代表，有多少种选法？【精彩点拨】 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关【自主解答】 (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别(3)是组合问题，因为 3个代表之间没有顺序的区别(4)是排列问题，因为 3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别1根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与
5、顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合2区分有无顺序的方法把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题再练一题1从 5个不同的元素 a， b， c， d， e中取出 2个，写出所有不同的组合【解】 要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab， ac， ad， ae， bc， bd， be， cd， ce， de.组合数公式的应用4(1)式子 可表示为( )n n 1 n 2 n 100100！AA
6、 BC100n 10 100n 10C101C D101C100n 10 101n 00(2)求值：C C .5 nn 9 nn 1【精彩点拨】 根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明【自主解答】 (1)分式的分母是 100！，分子是 101个连续自然数的乘积，最大的为n100，最小的为 n，故n n 1 n 2 n 100100！101n n 1 n 2 n 100101！101C .101n 00【答案】 D(2)由组合数定义知：Error!所以 4 n5，又因为 nN ，所以 n4 或 5.当 n4 时，C C C C 5；5 nn 9 nn 1 14 5当 n5 时，C C
7、 C C 16.5 nn 9 nn 1 05 46关于组合数计算公式的选取1涉及具体数字的可以直接用公式 C 计mnAmnAm n n 1 n 2 n m 1m！算2涉及字母的可以用阶乘式 C 计算mnn！m！ n m ！3计算时应注意利用组合数的性质 C C 简化运算mn n mn再练一题2求等式 中的 n值C5n 1 C3n 3C3n 3 195【解】 原方程可变形为 1 ，C C ，C5n 1C3n 3 195 5n 1 145 3n 35即 n 1 n 2 n 3 n 4 n 55！ ，化简整理，得 n23 n540.解此二次方程，得145 n 3 n 4 n 53！n9 或 n6(不
8、合题意，舍去)，所以 n9 为所求探究共研型组合的性质探究 1 试用两种方法求：从 a， b， c， d， e 5人中选出 3人参加数学竞赛，2 人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？【提示】 法一：从 5人中选出 3人参加数学竞赛，剩余 2人参加英语竞赛，共 C 3510(种)选法543321法二：从 5人中选出 2人参加英语竞赛，剩余 3人参加数学竞赛，共C 10(种)不同选法25542经求解发现 C C .推广到一般结论有 C C .35 25 mn n mn探究 2 从含有队长的 10名排球队员中选出 6人参加比赛，共有多少种选法？【提示】 共有 C 210
9、(种)选法6101098765654321探究 3 在探究 2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究 2、3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？【提示】 若队长必须参加，共 C 126(种)选法若队长不能参加，共 C 84(种)59 69选法由探究 2、3 发现从 10名队员中选出 6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：C C C .610 59 69一般地：C C C .mn 1 mn m 1n(1)计算 C C C C 的值为( )34 35 36 32 016AC BC42 017 52 017CC 1 DC 142 017 52
10、017(2)解方程 3C 5A ；x 7 3 2x 4(3)解不等式 C C .4n 6n【精彩点拨】 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式【自主解答】 (1)C C C C34 35 36 32 016C C C C 2 016C4 34 35 3 4C C C 145 35 32 016C C 1C 1.42 016 32 016 42 0176【答案】 C(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为3 5 ， x 3 ！ x 7 ！ 4！ x 4 ！ x 6 ！则 ，即为( x3)( x6)40.3 x 34！ 5x 6 x29 x220，解得 x11 或 x2.经检验知 x11
11、是原方程的根， x2 是原方程的增根方程的根为 x11.(3)由 C C ，得4n 6nError!Error!Error!又 nN ，该不等式的解集为6,7,8,91性质“C C ”的意义及作用mn n mn2与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由 C 中的 mN ， nN ，且 n m确定 m， n的范围，因此求解后要mn验证所得结果是否符合题意再练一题3(1)化简：C C C _；9m 9m 1 8m(2)已知 C C C ，求 n的值7n 1 7n 8n【解析】 (1)原式(C C )C C C 0.9m 8m 9m 1 9m 1
12、9m 1【答案】 0(2)根据题意，C C C ，7n 1 7n 8n7变形可得 C C C ，7n 1 8n 7n由组合数的性质，可得C C ，故 87 n1，7n 1 8n 1解得 n14.构建体系1下列四个问题属于组合问题的是( )A从 4名志愿者中选出 2人分别参加导游和翻译的工作B从 0,1,2,3,4这 5个数字中选取 3个不同的数字，组成一个三位数C从全班同学中选出 3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式D从全班同学中选出 3名同学分别担任班长、副班长和学习委员【解析】 A，B，D 项均为排列问题，只有 C项是组合问题【答案】 C2若 A 12C ，则 n等于( )3n 2nA8
13、 B5 或 6C3 或 4 D4【解析】 A n(n1)( n2)，C n(n1)，3n 2n12所以 n(n1)( n2)12 n(n1)12由 nN ，且 n3，解得 n8.【答案】 A3C C 的值为_. 【导学号：62690012】58 68【解析】 C C C 84.58 68 699！6！ 3！ 987321【答案】 84846 个朋友聚会，每两人握手 1次，一共握手_次【解析】 每两人握手 1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手 C 15 次26【答案】 155已知 C ，C ，C 成等差数列，求 C 的值4n 5n 6n 12n【解】 由已知得 2C C C ，5n 4n 6
14、n所以 2 ，n！5！ n 5 ！ n！4！ n 4 ！ n！6！ n 6 ！整理得 n221 n980，解得 n7 或 n14，要求 C 的值，故 n12，所以 n14，12n于是 C C 91.124 214141321我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1以下四个命题，属于组合问题的是( )A从 3个不同的小球中，取出 2个排成一列B老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C在电视节目中，主持人从 100位幸运观众中选出 2名幸运之星D从 13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地9【解析】 从 10
15、0位幸运观众中选出 2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题【答案】 C2某新农村社区共包括 8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为( )A4 B8 C28 D64【解析】 由于“村村通”公路的修建，是组合问题故共需要建 C 28 条公路28【答案】 C3组合数 C (nr1， n， rN )恒等于( )rnA. C B( n1)( r1)Cr 1n 1r 1n r 1nC nrC D. Cr 1nnrr 1n【解析】 C C .nrr 1n nr n 1 ！ r 1 ！ n r ！ n！r！ n r ！ rn【答案】 D4
16、满足方程 Cx2 x16C 的 x值为( )5x 516A1,3,5，7 B1,3C1,3,5 D3,5【解析】 依题意，有 x2 x5 x5 或 x2 x5 x516，解得 x1 或x5； x7 或 x3，经检验知，只有 x1 或 x3 符合题意【答案】 B5异面直线 a， b上分别有 4个点和 5个点，由这 9个点可以确定的平面个数是( )A20 B9 CC DC C C C39 2415 2514【解析】 分两类：第 1类，在直线 a上任取一点，与直线 b可确定 C 个平面；第 214类，在直线 b上任取一点，与直线 a可确定 C 个平面故可确定 C C 9 个不同的平15 14 15面
17、【答案】 B二、填空题6C C C C 的值等于_03 14 25 1821【解析】 原式C C C C C C C C C C C 7 04 14 25 1821 15 25 1821 1721 1821 1822 422315.【答案】 7 315107设集合 A a1， a2， a3， a4， a5，则集合 A中含有 3个元素的子集共有_个. 【导学号：62690013】【解析】 从 5个元素中取出 3个元素组成一组就是集合 A的子集，则共有 C 10 个35子集【答案】 10810 个人分成甲、乙两组，甲组 4人，乙组 6人，则不同的分组种数为_(用数字作答)【解析】 从 10人中任选
18、出 4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有 C 210 种分法410【答案】 210三、解答题9从 1,2,3,4,5,6六个数字中任选 3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？【解】 从 6个不同数字中任选 3个组成最小三位数，相当于从 6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有 C 20 个3665432110(1)求式子 中的 x；1Cx5 1Cx6 710Cx7(2)解不等式 C 3C .m 18 m8【解】 (1)原式可化为： ，0 x5， x223 x420，x！ 5 x ！5！ x！ 6 x ！6！ 7x！ 7 x ！107！ x21(舍去)或 x2，即 x2 为原方程的解(2)由 ，8！ m 1 ！ 9 m ！ 38！m！ 8 m ！得 ， m273 m，19 m3m m 7 .274 14又0 m18，且 0 m8， mN，即 7 m8， m7 或 8.能力提升1已知圆上有 9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有( )A36 个 B72 个 C63 个 D126 个
