1、2.2.1 对数与对数运算 第一课时 对数的概念三维目标定向知识与技能理解对数的概念，掌握对数恒等式及常用对数的概念，领会对数与指数的关系。过程与方法从指数函数入手，引出对数的概念及指数式与对数式的关系，得到对数的三条性质及对数恒等式。情感、态度与价值观增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数的价值，形成正确的价值观。教学重难点：指、对数式的互化。教学过程设计一、问题情境设疑引例 1：已知254,3，如果 26x，则 x = ？引 例 2、改革开放以来，我国经济保持了持续调整的增长，假设 2006 年我国国内生产总值为 a 亿元，如果每年平均增长 8%，那么经
2、过多少年国内生产总值比 2006 年翻两番？分析：设经 过 x 年国内生产总值比 2006 年翻两番，则有 aax4%)81(，即 1.08 x = 4。这是已知底数和幂的值，求指数的问题，即指数式 bN中，求 b 的问题。能否且一个式子表示出来？可以，下面我们来学习一种新的函数，他可以把 x 表示出来。二、核心内容整合1、对数：如果 )10(aNax且，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作xlog。其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当 a 0 且 1a时，aaxl（符号功能）熟练转化如： 138log1380. 0.xx，4 2 =
3、 16 2 = log 4 162、常用对数：以 10 为底 0lN写成 l；自然对数：以 e 为底 oge写成 n（e = 2.71828）3、对数的性质：（1）在对数式中 N = a x 0（负数和零没有对数） ；（2）log a 1 = 0 , log a a = 1（ 1 的对数等于 0，底数的对数等于 1） ；（3）如果把 b中 b 的写 成 logaN， 则有 Nalog（对数恒等式） 。三、例题分析示例例 1、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）5 4 = 625； （2 ） 641； （3）73.5)1(m；（4）46log21； （5）lg0.01 = 2； （6
4、）ln10 = 2.303。例 2、求下列各式中 x 的值：（1） 3log64； （2）log x 8 = 6；（3）lg100 = x ； （ 4） ln e 2 = x。补充例题：求值（1） 9log7；（2） 345log。四、学习水平反馈：P64，练习 1，2，3，4。补充练习：求下列各式中的值。 5l()1x，4312log(l)0x。五、三维体系构建1、对数的相关概念，常用对数，自然对数；2、对数与指数的互换；3、对数的基本性质；4、求值（已知对数、底数、真数其中两个，会求第三个） 。六、课后作业：P74，习题 2.2，A 组 1、2。教学反思：第二课时 对数的运算三维目标定向知
5、识与技能理解并会推导对数的运算法则，并会用语言叙述该法则，理解并能用换底公式化简求值。过程与方法理解积、商、幂的对数运算法则，能灵活应用换底公式化简求值。情感、态度与价值观从新颖别致 的运算法则中感受奇异美，并能体会对数运算的使用价值。教 学重难点：灵活运用对数法则，求值或化简。教学过程设计一、复习引入1、对数的概念： Nxaaxlog，常用对数 lg x，自然对数：ln x。2、对数的性质：N = a x 0；log a 1 = 0 , log a a = 1； Nalog。3、课前练习：（1）给出四个等式： lg(10) lg(n)0e若 lg0x，则 x = 10 若 lx则 2 其中正
6、确的是 。（2） 33ollo27 。（3） ln1e 。（4）lg2lg7l183？二、核心内容整合对数的运算性质：如果 a 0 , a 1 , M 0 , N 0，那么：（1） MNaaalogllog； （2）NMaaalogllog；（3） )(Rnn。语言表达：两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和；两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差；一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数的 n 倍。证明： NMNaaalogllog证：设 ,pq，由对数的定义可以得： ,pqMaN，所以 lqapq，即证得 NNaaogllog。学生类比证明（2） （3） 。三、例题分析示例例 1、
7、用 zyxaal,l表示下列各式：（1） zalog； （2） 32logzyxa。例 2、求下列各式的值：（1） )4(log57； （2）510lg。课堂小结：对数的运算性质如果 a 0 , a 1 , M 0 , N 0，那么：（1） NMNaaalogllog； （2）NMNaaalogllog；（3） )(Rnn。说明（1）简易语言表达；（2）有时可逆向运用公式；（3）底数的取值必须是 (0,)；（4）注意： logllogaaaMNN， l()loglaaaMN巩固练习：P68，练习 1、2、3。提高练习：1（1）若 llxbc，则 x = 。（2 ） 66log2l的值为 。（3
8、） 22l843log843 。四、探究（1）loglmnaaN；（2）)0,1,0(ll bcbca 且且（换底公式） ；（3） log1ab。分析：（1）设 l()logmnmxnmxnnaaNaNaNmx，所以loglnaax。（2）设bxabxb axcccc logloglll ，所以 acalogl。（3）log1lab。应用：P75，练习，4。五、课后作业：P74 习题 2.2，A 组，3、4、5。教学反思：第三课时 对数运算性质的应用一、课标定位（一）知识与技能1、掌握对数的运算性质，能较熟练地运用对数的运算性质解决有关对数式的化简、求值问题。2、掌握换底公式，会用换底公式将一
9、般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明 。3、能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答。（二）过程与方法1、利用类比的方法，得出对数的运算性质，体会数学知识的前后连贯性，加深对公式内容及公式适用条件的记忆。2、结合实例探究换底公式，并通过换底公式的应用，体会化归与转化的数学思想。3、通过师生之间、学生之间互相交流探讨，培养探究能力。（三）情感态度与价值观1、通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养严谨的科学精神。2、通过计算器来探索对数的运算性质，认识到现代信息技术是认识世界的有效手段和工具，激发学生学习数学的热
10、情。二、教学过程设计（一）知识梳理1、对数的运算性质如果 a 0 , a 1 , M 0 , N 0，那么：（1） aaalogllog； （2）NMNaaalogllog；（3） )(ll Rnana； （4）llmnaa；2、换底公式：)0,1,0logl bcbca 且且；（二）对数运算性质的运用例 1、若 0,10,*axynN，则下列各式中： (log)lnaax； (log)lnnaax； 1loglaax；llaay； 1llnaa； 1llnaax； loglnaax； loglogaaxyxy。其中成立的有（ ）（A）3 个 （B）4 个 （C）5 个 （D）6 个例 2、2
11、lg5l8gl0。练习 1、若ln2l3ln5,abc，则（ ）（A）a b c （B）c b a （C）c a b （D）b a c（三）对数换底公式的应用例 3、已知 3log4a，求 b 的值。例 4、设 6xy，求21xy的值。练习 2、若 5789logloglog10，则有（ ）（A） （0，1） （B） （1，2） （C） y（2，3） （D） y（3，4）（四） 、对数运算在实际问题中的应用例 5、20 世纪 30 年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是我们常说的里氏震级 M，其计算
12、公式为 M = lg A lg A 0，其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差） 。（1）假设在一次地震中，一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20，此时标准地震的振幅是 0.001，计算这次地震的震级（精确到 0.1） ；（2）5 级地震给人的震感已比较明显，计算 7.6 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的多少倍（精确到 1） 。例 6、科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳 14。碳 14 的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟” 。动植物在生长过程中衰变的碳
13、14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳 14 含量保持不变。死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳 14 按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为 5730 年。湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳 1 4 的残余量约占原始含量的 76.7%，试推算马王堆古墓的年代。练习 3、声音的强度 D（dB）由公式： 160lg()I给出，其中 I 为声音能量（2/Wcm） ，能量小于 1620/Wcm时，人听不见声音。求：（1）人低声说话（ 3I）的声音强度；（2）平时常人的交流（ 62.1/c）的声音强度；（3）听交响音乐时，坐在铜管乐前（ 625.
14、01/IWcm）的声音强度。（五）探究创新设 0,1,axy满足 log3llog3axxy，用 logax表示 lay，并求当 x 取何值时， loga取得最小值。（六）课堂小结1、利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围；2、初学对数运算法则时，容易出现下面的错误： log()loglaaaMNN，loglloglaaaaMNN，llaa， l(l)nnaa；产生这样错误的原因是将积、商、幂的对数与对数的积、商幂混淆起来，把对数符号当作表示数的字母进行运算；3、换底公式可将各种底的对数换算为常用对数或自然对数，是对数运算中非常重要的工具。（七）作业：课本 P74，习题 2.2，A 组 11，12；B 组 3。教学反思：
