1、1.7 正切函数课堂导学三点剖析1.正切的性质及诱导公式【例 1】 求函数 y=tan(3x- 3)的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性.思路分析：把 3x- 看作一个整体，利用 tanx的单调性.解：由 3x- 3k+ 2，得 x k+ 185,所求定义域为x|xR,且 x 3+ ,kZ，值域为 R，周期 T= 3，是非奇非偶函数.由于 y=tanx,x(k- ,k+ 2)(kZ)是增函数，k- 23x- 3k+ (kZ),即 k-18x k+ 185(kZ).因此，函数的单调递增区间为（ 3k-18, +5）(kZ).友情提示y=Atan(x+)（其中 A0,0）的函数的单调区
2、间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原则是：（1）把“x+(0)”看为一个“整体” ；（2）A0(A0)时，y=tanx(x 2+k)的单调区间对应的不等式相同（反）.各个击破类题演练 1求下列函数的周期：（1）y=tan 37x；(2)y=tan(2x+).解析：（1）y=tan x=tan( 37+)=tan 37(x+ )T= 73.(2)y=tan(2x+)=tan(2x+ +)=tan2(x+ 2)+ 3,T= .变式提升 1试判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=1-2cosx+|tanx|;(2)f(x)=x2tanx-sin2x.解析:(1)因为该函数的定义域是x|x
3、2+k,kZ,关于原点对称,且 f(-x)=1-2cos(-x)+|tan(-x)|=1-2cosx+|tanx|=f(x),所以函数 f(x)为偶函数.(2)因为函数 f(x)的定义域是x|x +k,kZ,关于原点对称,又 f(-x)=(-x)2tan(-x)-sin2(-x)=-x2tanx-sin2x,f(-x)f(x)且 f(-x)-f(x),所以函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.2.正切函数的图象和性质的综合应用【例 2】 作出函数 y=|tanx|的图象，并根据图象求其单调区间.思路分析:要作出函数 y=|tanx|的图象，可先作出 y=tanx的图象，然后将它在 x轴上方的
4、图象保留，而将其在 x轴下方的图象向上翻折（即作出关于 x轴对称的图象）就可得到y=|tanx|的图象.解析：由于 y=|tanx|=),2(,tan,kx(kZ),所以其图象如下图所示，单调增区间为k,k+ ）(kZ)；单调减区间为（k-2,k(kZ).友情提示利用正切函数的图象过（- 4,-1）( ,1)(0,0)三点且以 x=- 2,x= 为渐近线，根据这三点两线可以大体勾画出 y=tanx的图象，再利用图象变换得到题目要求的图象，推导出函数性质.类题演练 2分别作出 3和- 4的正弦线,余弦线和正切线.解析:(1)在直角坐标系中作单位圆如右图,以 Ox轴正方向为始边作 32的终边与单位
5、圆交于 P点,作 PMOx 轴,垂足为 M,由单位圆与 Ox正方向的交点 A作 Ox轴的垂线与 OP的反向延长线交于 T点,则sin 32=MP,cos =OM,tan 32=AT.即 32的正弦线为 MP,余弦线为 OM,正切线为 AT.(2)同理可作出- 43的正弦线,余弦线和正切线,如右图中 sin(- 43)=MP,cos(- 43)=OM,tan(- )=AT.即- 的正弦线为 MP,余弦线为 OM,正切线为 AT.变式提升 2已知点 P(tan,cos)在第四象限,则在(0,2)内 的取值范围是_.解析:由 0costan得 是第三象限角.又02, 23.答案: .3.正切函数定义
6、域与值域【例 3】 求下列函数的定义域(1)y=tan(2x- 3);(2)y= xtan;(3)y= t1;(4)y=tan(sinx).思路分析:定义域是使各个解析式有意义的自变量 x的取值范围.(1)只要使 2x-3 2+k,kZ 即可;(2)只要满足 Zk,20tan3即可;(3)只要满足 1+tanx0 即可;(4)只要 sinxk+ 2,kZ 即可.解:(1)函数的自变量 x应满足:2x- 3k+ ,kZ,即 x 2k+15(kZ).所以,函数的定义域为x|x 2k+ 15,kZ.(2) Zkx,20tan3tanx ,k- xk+ 3(kZ).函数的定义域为x|k- 2xk+ ,
7、kZ.(3)要使函数 y= xtan1有意义,则有 Zkx,20t即 xk- 4,且 xk+ (kZ).函数的定义域为,x|xR 且 xk- 4,xk+ 2,kZ.(4)无论 x取何值,-1sinx1,tan(sinx)总有意义.原函数的定义域为 R.友情提示把正切函数的定义域当成 R,或者认为 y=tanx在 R上单调递增都是错误的.类题演练 3求函数 y= )6tan(1x的定义域.解析:由题得 23624260)tan(1kxkxkxx .2,3,6,24kxkx所以定义域为k+ 4,k+ 3)(k+ ,k+ )(kZ).变式提升 3（1）求函数 f(x)=tanxcosx的定义域与值域；（2）求函数 f(x)=|tanx|的定义域与值域.解析:（1）其定义域是x|xR,且 xk+ 2,kZ.由 f(x)= xcosincosx=sinx(-1,1)，f(x)的值域是(-1,1).（2）f(x)=|tanx|化为f(x)=02,tan,0,xkx(kZ).可知，函数的定义域为x|xR ,且 xk+ 2,kZ ，值域为 (0,+).
