1、1.3.1 单调性与最大(小)值1函数的单调性(1)增函数和减函数名称来源 :定义 几何意义 图形表示增函数对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x 2，当x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数，区间 D 称为 f(x)的单调递增区间f(x)的图象在区间 D 上是“上升”的减函数对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x 2，当x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是减函数，区间 D 称为 f(x)的单调递减区间f(x)的图象在区间 D 上是“下降”的(2)单调
2、性如果函数 yf(x )在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格的 )单调性区间 D 叫做函数 yf(x)的单调区间谈重点 对函数单调性的理解 (1)函数在区间 D上的单调性是针对定义域内某个区间D而言的这个区间可以是整个定义域：如 yx 在整个定义域( ，)上是单调递增的，yx 在整个定义域(，)上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质这个区间也可以是定义域的一部分，也就是定义域的一个真子集，如 yx 22x1在整个定义域(，)上不具有单调性，但是在(，1上是减函数，在(1 ，)上是增函数，这时增减性即单调性是函数的一个局部性质(2)x1，x 2的三
3、个特征一定要予以重视函数单调性定义中的 x1，x 2有三个特征：一是任意性，即任意取 x1，x 2， “任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定 x1x 2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可(3)有的函数无单调性如函数 yError!它的定义域是(，)，但无单调性可言【例 11】若函数 f(x)的定义域为(0，) 且满足 f(1)f(2)f(3)，则函数 f(x)在(0， )上为 ( )A增函数B减函数C先增后减D不能确定解析：由于函数单调性的定义突出了 x1，x 2的任意性，所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系，是不能做为判断单调性的依据的，也就
4、是说函数单调性定义的三个特征缺一不可因此本题选 D答案：D【例 12】函数 的单调递减区间是( )1yxA0，)B(，0)C(，0)和(0，)D(，0) (0，)解析：错解 函数 在(，0)和(0 ，) 上单调递减，故其单调递减区间为1yx(，0) (0，)错解原因函数 在(，0)上是减函数，在(0，) 上也是减函数，但不能说函数 在(，0) (0，) 上是减函数因为当 x11，x 21 时1yx有 f(x1)1f(x 2)1，不满足减函数的定义正解 函数 在(，0)和(0 ，) 上单调递减，故其单调减区间为(，0) 和(0 ，)答案：C谈重点 写函数的单调区间易忽略的问题 (1) 若函数 f
5、(x)在其定义域内的两个区间A，B 上都是增 (或减)函数，一般不能简单地认为函数 f(x)在 A B上是增( 或减)函数，即单调区间不能并写；(2)当函数有两个或两个以上单调性相同的区间时，这些区间要用 “， ”或“和”连接【例 13】已知函数 yf( x)的图象如图所示试写出函数 yf( x)的单调区间解：观察图象可知，函数 yf (x)的图象在区间2,1 和4,6 上均是上升的，在区间(1,4)上是下降的，所以函数 yf( x)的单调递增区间是2,1 ，4,6 ，单调递减区间是(1,4)谈重点 由图象确定函数的单调区间易忽略的问题(1)单调区间必须是定义域的子集；(2)单调区间应用“，
6、”或“和”连接，不能用“ ”连接；(3)本题的单调增区间也可写为( 2,1)，(4,6)，单调减区间也可写为 ，因为单独的1，4一个点不影响函数的单调性，但对于某些无意义的点，单调区间就一定不包括这些点2函数的最值(1)最大值和最小值定义：一般地，设函数 yf(x )的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 x I，都有 f(x)M (f(x)M) ；存在 x0 I，使得 f(x0)M那么，我们称 M 是函数 yf(x)的最大( 小)值几何意义：函数 yf( x)的最大(小) 值是其图象上最高(低)点的纵坐标(2)最值函数的最大值和最小值统称为函数的最值，则函数 yf (x)的最值是
7、图象上最高点或最低点的纵坐标释疑点 对函数的最值的理解 (1)最大值( 或最小值)必须是一个函数值，是值域中的一个元素如函数 f(x)x 2(x R)的最大值是 0，有 f(0)0(2)使函数 f(x)取得最值的自变量的值有时可能不止一个如函数 f(x)x 2，x 1,1的最大值是 1，此时有 f(1)f( 1)1，即取得最大值的自变量有两个(3)不等式 f(x) M或 f(x)M 中的 x是函数定义域中的任意值，不能是定义域中的部分值；(4)不等号“”或“”中的等号必须能够成立，否则 M不是函数的最值【例 21】函数 yx 1 在区间3,6上的最大值和最小值分别是( )A6,3 B5,2C9
8、,3 D7,4解析：函数 yx 1 在区间3,6上是增函数，则当 3x 6 时，f (3)f(x)f(6)，即2y5，所以最大值和最小值分别是 5,2答案：B【例 22】函数 y f(x )(2x2)的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为_、_解析：由函数最值的定义，结合函数的图象可知，f(x)的最大值为 ，最小值为12f32答案： 1f32f【例 23】下图为函数 yf (x)，x 4,7的图象，指出它的最大值、最小值解：观察函数图象可以知道，图象上最高点坐标为(3,3)，最低点坐标为 (1.5，2)，所以当 x3 时，函数 yf(x) 取得最大值 ymax3；当 x1.5 时，取得最
9、小值 ymin23单调性的证明与判断(1)单调性的证明函数单调性的证明的最基本方法是依据函数单调性的定义来进行，其步骤如下：第一步：设元，即设 x1，x 2 是该区间内的任意两个值，且 x1x 2；第二步：作差，即作差 f(x1)f(x 2)；第三步：变形，即通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；第四步：判号，即确定 f(x1)f(x 2)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；第五步：定论，即根据单调性的定义作出结论其中第三步是关键，在变形中一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个完全平方的形式利用单调性定义的等价形式证明：来源:设 x1，x 2 m，n，x 1x
10、2，那么(x1x 2)f(x1)f(x 2)0 0 f(x)在区间 m，n上是增函数；f(x1) f(x2)x1 x2(x1x 2)f(x1)f(x 2)0 0 f(x)在区间 m，n上是减函数f(x1) f(x2)x1 x2(2)单调性的判断判断函数的单调性常用的方法有：定义法：即“设元作差变形判号定论” ；图象法：先作出函数图象，利用图象的直观性判断函数的单调性；利用已知函数的单调性及运算来判断函数的单调性，具体方法如下：若函数 f(x)，g(x)在区间 D 上具有单调性，则在区间 D 上：1f(x)与 f(x)C 具有相同的单调性；2f(x)与 af(x)，当 a0 时单调性相同；当 a
11、0 时，单调性相反；3当 f(x)，g( x)都是增( 减)函数时，f(x)g(x) 是增(减)函数；4当 f(x)，g( x)都是增( 减)函数时，则 f(x)g(x)当两者都恒大于 0 时，是增( 减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增 )函数5当 f(x)恒不为零时， f(x)与 具有相反的单调性1f(x)6当 f(x)0 时， f(x)与 具有相同的单调性f(x)注意：(1)判断单调性不等同于证明单调性(2)f(x)，g(x) 都是增( 减)函数时，f (x)g(x)不一定是增(减) 函数如 f(x)x，g(x)2x ，则f(x)g(x)2x 2 在 R 上不是增(减) 函数同理， 也
12、不一定是增(减)函数f(x)g(x)【例 31】判断并证明函数 f(x) 1 在(0，) 上的单调性解：作函数 f(x) 1，x (0，) 的图象由图象可知函数 f(x) 1 在(0，) 上为增函数证明：设 x1，x 2是(0，)上的任意两个实数，且 x1x 2，(设元)则 f(x1)f(x 2) (作差)12x (变形 )2121212112(0)0.().xxfffxf于于 号因此，f(x) 1 在(0，) 上是增函数(定论)谈重点 定义法证明函数单调性的四点注意 (1)“任意取 x1，x 2”的“任意”二字绝对不能去掉，更不可随意用两个特殊值代替；(2)x 1，x 2有大小之分，通常规定
13、 x1x 2；(3)x1，x 2同属于一个单调区间； (4)最重要的步骤是将 f(x1)f (x2)变形为能够与 0 比较大小的形式，常把它转化为几个因式的积或商的形式或者平方和的形式，采用的方法多为分解因式、配方、有理化等，要求化出来的形式能够直接与 0 比较，不能看不出正负就下结论【例 32】利用函数单调性的定义，证明函数 f(x) 在区间0 ，)上是增函数证明：错证任取 x1，x 2 0，)，且 x1x 2，则 f(x1)f (x2) 12x0x 1x 2， 0f (x1)f (x2)0，即1f(x1)f (x2)函数 f(x) 在0 ，)上是增函数错证原因由 0x 1x 2，直接得到
14、是错误的，因为这个结论的得出恰12恰是利用了函数 f(x) 的单调性，而这一点是需要证明的正确证明任取 x1，x 2 0，)，且 x1x 2，则 f(x1)f (x2) 12x1212(0x 1x 2，x 1x 20， 0xf(x 1)f(x 2)0，即 f(x1)f(x 2)函数 f(x) 在0，) 上是增函数【例 33】下列函数中，在区间(，0) 上单调递增，且在区间 (0，)上单调递减的函数是( )A B Cy x 2 Dyx 32yxx解析：对于 A，令 yf (x) ，任取 x1，x 2 (0，)，且 x1x 2，则 f(x1)f(x 2)20，即 f(x1)f(x 2)，所以函数
15、在区间(0，) 上单调212121()xxy递减同理可得函数 在区间(，0) 上单调递增21yx对于 B，易知函数 在区间 (，0)和(0 ，)上都单调递减对于 C，易知函数 yx 2在区间( ，0)上单调递减，在区间 (0，)上单调递增对于 D，令 yf (x)x 3，任取 x1，x 2 R，且 x1x 2，则 f(x1)f(x 2)x 13x 23(x 1x 2)(x12x 1x2x 22)(x 1 x2) 0，4即 f(x1)f(x 2)，所以函数 yx 3在 R上单调递增答案 ：A4函数的单调区间的求法(1)基本初等函数的单调区间以上单调函数的单调区间可作为结论记住，可提高解题速度(2
16、)用图象法求函数的单调区间利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间(3)利用单调性定义求函数的单调区间用单调性定义求函数单调区间，具体做法是：明确函数的定义域；在定义域内任取两个自变量 x1，x 2；作差 f(x1)f (x2)并将差变形；根据上一步差的变形结果，确定自变量 x1 和 x2 在定义域内一个子集 E 上差的符号，则该区间 E 是函数 f(x)的一个单调区间；写出函数的单调区间【例 41】求下列函数的单调区间(1)f(x)3|x|；(2) f(x)| x22x3|；(3)f (x) x
17、 22|x |3 解：(1)f(x) 3|x | 3,0.图象如图所示函数 f(x)的单调递减区间为(，0 ，单调递增区间为0， )(2)令 g(x)x 22x 3( x1) 24先作出函数 g(x)的图象，保留其在 x轴及 x轴上方部分，把它在 x轴下方的图象翻到x轴上方就得到函数 f(x)|x 22x3|的图象，如图所示由图象易得：函数 f(x)的递增区间是3，1 ，1，) ；函数 f(x)的递减区间是(， 3， 1,1(3)f(x)x 22|x |32,0.x图象如图所示由图象可知，函数 f(x)的单调区间为(，1 ，(1,0，(0,1，(1，) ，其中单调减区间为(1,0和(1 ，)
18、，单调增区间为(， 1和(0,1【例 42】求函数 yx ，x 0 的单调区间1分析：函数的定义域是(0， ) ，在定义域中任取两值 x1，x 2，利用函数单调性的定义来确定单调区间解：设 x1，x 2是区间(0，)上的任意两个实数，且 x1x 2，则 f(x1)f(x 2) ( x1x 2)12x12(x 1 x2) ( x1x 2) ，121由于 0x 1x 2，则 x1x 20，x 1x20，当 x1，x 2 (0,1时，有 x1x210，此时 f(x1)f(x 2)，当 x1，x 2 (1，)时，有 x1x210，此时 f(x1)f (x2)故函数 yx 的单调递增区间是(1，)，单调
19、递减区间是(0,1析规律 函数 f(x)x (a0)的单调性 函数 f(x)x (a0) 是一类非常重要的函数，在以后的学习中会经常遇到，其图象如图由图象可知其单调增区间为(， ， ，)，单调减区间为( ，0)，aa(0， )记住它的图象，对我们以后的学习会有很大的帮助a5复合函数单调性的判断(1)复合函数 yf(g(x) 的单调性：g(x) f(x) f(g(x)增来源:增 增增 减 减减 增 减减 减 增复合函数的单调性可简记为“同增异减” ，即内层函数 g(x)与外层函数 f(x)的单调性相同时 yf( g(x)是增函数，单调性相反时 yf (g(x)是减函数(2)判断复合函数单调性的步
20、骤以复合函数 yf( g(x)为例可按下列步骤操作：将复合函数分解成基本初等函数：yf (t)，t g(x) ； 分别确定各个函数的定义域；分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则 yf (g(x)为增函数；若为一增一减，则 yf(g(x )为减函数_【例 51】函数 f(x) 的单调递增区间是_，单调226969xx递减区间是_解析：原函数可化为 f(x)|x3|x3| 32.x于其图象如图所示，由图可得(，3 为函数 f(x)的递减区间，3，) 为函数 f(x)的递增区间答案：3，) ( ，3【例 52】已知函数 f(x)82xx
21、 2，g(x)f(2x)，试求 g(x)的单调区间解：令 t2x ，则 f(t)82tt 2；由 t2x 可知 t是关于 x的减函数由 f(t)82t t2可知，当 t 1 时，f(t)是增函数；当 t1 时，f(t)是减函数(1)令 t2x1，即 x1，此时内函数为减函数，外函数 f(t)是增函数，故 当 x1 时，g(x)为减函数(2)令 t2x1，即 x1，此时内函数为减函数，外函数 f(t)为减函数，故当 x1 时，g(x)为增函数综上可得，g(x)的单调增区间为 (，1，g( x)的单调减区间为1，) 析规律 复合函数单调性的判断方法 (1) 利用“同增异减”判断；(2) 复合函数的
22、单调区间必须在定义域内并且要确定内层函数 g(x)的值域，否则就无法确定 f(g(x)的单调性特别是当 f(g(x)的单调区间是由几个区间组成时 6函数最值的求法(1)观察法对一些简单函数可直接观察求其最值例如，求 y 1 在区间0,9上的最值x解：由题目条件可知 0 3，从而 y 1 1,4即当 x0 时，y min1，当 x9 时，y max4(2)用单调性求最值利用定义法判断出函数 yf (x)的单调性；再利用其单调性求最值函数 f(x)在区间a，b 上是增函数，则函数 yf(x) 在区间a，b上的最大值是 f(b)，最小值是 f(a)，如图 a 所示；函数 yf (x)在区间a，b 上
23、是减函数，则函数 y f(x)在区间 a，b 上的最大值是 f(a)，最小值是 f(b)，如图 b 所示；归纳结论有时也用以下结论来确定函数的最值：如果函数 f(x)在区间(a，b上是增函数，在区间b，c)上是减函数，则函数 f(x)在区间(a，c)上有最大值 f(b)；如果函数 f(x)在区间(a，b 上是减函数，在区间b，c )上是增函数，则函数 f(x)在区间(a，c)上有最小值 f(b)(3)利用图象求最值利用 图象求函数 yf( x)最值的步骤：画出函数 yf( x)的图象；观察图象，找出图象的最高点和最低点；写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值要注意
24、：画函数的图象时，要尽量准确，如果条件允许可以借助于计算 机有时由于所画图象不够准确，不能确定最高点或最低点的纵坐标，这时，可以利用函数的解析式将所有关键点的纵坐标计算出来，这些点的纵坐标中的最大值就是函数的最大值，这些点的纵坐标中的最小值就是函数的最小值【例 61】求函数 的值域1yx解：由 x0，且 x10，得函数的定义域为1，)而函数 y 和x在1，)上都是增函数，则 也是增函数，当 x1 时，它取y 1yx得最小值故 的最小值为 1，即它的值域为1，) y点技巧 巧用“增函数增函数增函数”判断单调性 若两个函数在公共区间上均为增函数，则它们的和函数也为增函数，当两个函数在公共区间上均为
25、减函数，则它们的和函数也为减函数本题就是利用这个性质，判断函数 的单调性1yx【例 62】已知函数 ，x 3，2 ，求此函数的最大值和最小值21y分析：先判断函数的单调性，再利用函数的单调性求得最值解：(方法一) 设3x 1x 22，则 f(x1)f(x 2) 122112()()()xxx由于3x 1x 22，则 x1x 20，x 110，x 21 0所以 f(x1)f(x 2)所以函数 在区间 3，2上是增函数y又因为 f(2) 4，f( 3)3，所以函数的最大值是 4，最小值是 3(方法二) ，而函数 在(，0)上单调递增，1)21xyx2yx所以函数 在( ，1) 上单调递增，所以函数
26、 y2 ，即 在2 121xy(， 1)上单调递增所以函数 在区间3，2上单调递增所以当yxx2 时，函数取得最大值 4，当 x3 时，函数取得最小值 3点技巧 分离常数法 对于形如 y (ac0)的函数，我们常用分离常数法解决其ax bcx d单调性或最值问题，具体方法如下：通过 y 将问题转ax bcx d ac(cx d) adc bcx d ac b adccx d化为函数 y 的单调性问题，进而转化为函数 y 的单调性问题，而 yb adccx db adccx的单调性可利用反比例函数的单调性轻松得到b adccx【例 63】求函数 f(x) 的最大值与最小值1,23x解：画出函数的
27、图象，如图所示由图可知，函数的最大值是 f(3)3，最小值是 f(1)17二次函数在闭区间上的最值问题求二次函数 f(x)ax 2bx c( a0)在区间 m，n上的最值问题一般分以下几种情况：(1)若对称轴 在区间 m，n 内，则最小值为 ，最大值为 f(m)，f(n)中b2bfa较大者( 或区间端点 m，n 中与 距离较远的一个对应的函数值为最大值 )2xa(2)若对称轴 x m，f(x) 在区间m，n 上是增函数，则最大值为 f(n)，最小值为b2af(m)；(3)若对称轴 x n，f(x)在区间m ，n上是减函数，则最大值为 f(m)，最小值为b2af(n)例如，已知函数 yx 2x
28、1 ，求：(1)x 1,2 的值域；(2)x 1,3的值域分析：本题考查二次函数在某个给定区间上的值域问题解题的关键是先配方再利用函数的单调性处理解：yx 2x 1 2 ，这个函数图象开口向上，对称轴为 x (x 12) 54 12(1) 1,2，12当 x 时，y 有最小值 12 54又当 x1 时，y 1；x 2 时，y5，y 的最大值为 5所求的函数值域为 54，5(2) 1,3，且 1，1212函数在区间1,3上单调递增当 x1 时，y 取最小值 1；当 x3 时，y 取最大值 11所求的函数值域为1,11【例 71】求函数 f(x)x 22ax1 在区间0,2上的最大值与最小值分析：
29、画图象分类讨论解：f(x )(xa) 21a 2，对称轴为 xa(1)当 a0 时，由图可知，f(x) minf (0)1，f(x) maxf(2) 34a；(2)当 0a1 时，由图可知，f(x) minf(a) 1a 2，f( x)maxf(2)34a；(3)当 1a2 时，由图可知，f(x) minf(a) 1a 2，f( x)maxf(0)1；(4)当 a2 时，由图可知，f(x) minf(2)34a，f(x) maxf(0)1【例 72】求函数 yx 2x 1 在区间 a，a1上的值域解：函数 yx 2x 1 的对称轴为 ，开口方向向上2当 a1 ，即 a 时，区间a，a1 在对称
30、轴的左侧，3函数 yx 2x 1 在区间 a，a1上单调递减当 xa1 时，y mina 2 3a1；当 xa 时，y maxa 2a1当 a 时，区间a， a1 在对称轴的右侧，函数 yx 2x 1 在区间 a，a1上单调递增当 xa 时，y mina 2a 1；当 xa1 时，y maxa 23a1当 a a1，即 a 时，32当 x 时，y min ；254当 a a ，即1a 时，1当 xa1 时，y maxa 23a 1；当 a a1，即 a1 时，2当 xa 时，y maxa 2a1综上可知，当 a 时，函数 yx 2x1 在区间 a，a1上的值域为a 23a1，a 2a1 ；3当
31、 a1 时，函数 yx 2x 1 在区间 a，a1上的值域为2；5,4当1a 时，函数 yx 2x 1 在区间 a，a1上的值域为2；5,314当 a 时，函数 yx 2x1 在区间 a，a1上的值域为2a2a1，a 23a18利用函数的单调性求参数的取值范围根据函数的单调性求参数的取值范围有以下几种方法：(1)利用具体函数本身所具有的特性例如，二次函数的对称轴把二次函数分成两个单调区间，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数的值或范围(2)利用图象先画出函数的图象，借助于函数的图象分析出参数的值，再用单调性的定义来证明，这样做起来方便快捷，不易出现错误(3)单调性的定义法设单调区间内 x1
32、x 2，由 f(x2)f (x1)0(或0)恒成立，求参数的范围其步骤是：第一步：在所给区间内任取两值 x1，x 2，且 x1x 2；第二步：作差 f(x1)f(x 2)，并将差变形为因式的积或商的形式；第三步：根据函数的单调性，确定差的符号；第四步：讨论当差的符号确定时，参数满足的条件【例 81】已知函数 f(x)x 2mx1 在区间1，) 上是减函数，求 m 的取值范围分析：画出函数图象，根据对称轴与区间端点的关系求解解：根据题意画出函数的草图，由于二次函数 f(x)在区间1，) 上是减函数，则其对称轴 在点(1,0)的左侧或2mx过该点，所以有 1，解得 m22所以实数 m的取值范围是(
33、，2【例 82】已知函数 f(x) 在区间(2，) 上是减函数，求实数 a 的取值范a围分析：由于函数 f(x)的图象不能画出，则只能利用单调性的定义来解决在区间(2， )内任取两值 x1，x 2，作差 f(x1)f(x 2)，将差变形，转化为讨论当差的符号确定时实数 a满足的条件解：设 2x 1x 2，则 f(x1) f(x2) 12a ，122()()a由于 2x 1x 2，则 x2x 10又函数 f(x)在区间(2，)上是减函数，则 0，所以(x 1a)(x 2a) 012a所以 或 即 或,x12,2,12,.xa由于 2x 1x 2，则仅有 12,xa所以a2，即实数 a的取值范围是
34、2，) 9求不等式恒成立问题中参数的取值范围不等式中的恒成立问题，通常转化为参数与函数最值的大小关系问题常见情况有：f(x) a 恒成立 f(x)maxa；f (x)a 恒成立 f(x)mina 例如：设 f(x)x 22ax 2，当 x 1，)时，f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围解：根据题意，ax 22ax 2 在1，)内恒成立，即 af(x) min恒成立下面研究 f(x)x 22ax 2 (xa) 22a 2在 1，)上的 最小值当 a1 时，f(x )minf(1)12a232a；当 a1 时，f(x )minf(a)2a 2故 f(x)min 23,由 af(x) min，得3
35、a1【例 9】已知函数 f(x) ，x 1，) 若对任意 x 1，)，f(x)02a恒成立，试求 a 的取值范围解法一：在区间1，)上，f (x) 0 恒成立，等价于 x22xa0 恒2成立设 yx 22x a，x 1，) ，由 yx 22xa(x1) 2a1 递增，可知当 x1 时，y min3a于是当且仅当 ymin3a0 时，函数 f(x)0 恒成立，故 a3解法二：在区间1，)上 f(x) 0 恒成立等价于 x22xa0 恒成立，2即 ax 22x 恒成立又x 1，)，ax 22x 恒成立，a 应大于函数 ux 22x ， x 1，)的最大值ax 22x(x 1) 21当 x1 时，u
36、 取得最大值3，a310利用单调性解不等式(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小，在解决比较函数值的大小问题时，要注意将对应的自变量放在同一个单调区间上(2)解决抽象不等式(即没有具体解析式的不等式 )的方法：由单调性的下述性质可脱去符号“f” ，从而解关于具体变量的不等式，即将函数 值的大小关系问题转化为自变量的大小关系问题，同时应注意自变量的取值必须在同一单调区间内若 yf(x )在给定区间上是增函数，则当 f(x1)f(x 2)时，x 1x 2；当 f(x1)f (x2)时，x1x 2若 yf(x) 在给定区间上是减函数，则当 f(x1)f (x2)时，x 1x 2；当 f
37、(x1)f(x 2)时，x1x 2来源:例如：若函数 f(x)的定义域为 R，且在(0，)上是减函数，则下列不等式成立的是( )来源:Af f(a 2 a1)(34)Bf f( a2a1)(34)Cf f( a2a1)(34)Df f(a 2 a1)(34)解析：f(x) 在(0，)上是减函数，且 a2a1 2 0，(a 12) 34 34f(a 2a1) f (34)答案：B注：解题过程中要体现出 a2a10， 0，即要求自变量在同一个单调区间内34【例 101】已知函数 f(x)是定义在区间(0，) 上的减函数，解不等式 f(a1)f(4 a1) 解：函数的定义域为(0， ) ，有 a10
38、，4a10又函数 f(x)在区间(0，)上是减函数，且 f(a1) f(4a1)，a14a1解不等式组0,14,a得 0a 故所求不等式的解集是 104【例 102】已知函数 f(x)是定义在(0，) 上的增函数，且 f(x) f (y)，f(2)1，解不等式 f(x) 213分析：用特殊值将不等式右边的常数 2 转化为 f(a)的形式，将左边的两个函数记号转化为一个，再由单调性转化为自变量的大小解：在 f(x )f(y )中取 x4，y2，可得 f(2)f(4)f(2) 于是 f(4)2f(2)2因此不等式 f(x) 2 可转化为不等式 f(x(x3)f(4) 13函数 f(x)是定义在(0
39、，) 上的增函数，0,3()4,解得 3x4不等式 f(x) 2 的解集为 1334x11单调性与最值在实际生活中的应用函数的单调性在实际生活中的应用大多是最值问题，如用料最省、费用最低、利润最大等问题其解题步骤是：(1)审清题意，读懂题；(2)恰当设未知数，所设未知数的个数尽量少；(3)根据已知条件列出函数关系式；(4)转化为求数的最值，求出最值；(5)还原结论此类应用题中，所列出的函数通常是一次函数和二次函数，因此，一次函数和二次函数的图象与性质是常考常新的热点内容之一，它是基本初等函数的基础，贯穿于整个高中数学的始终特别是涉及二次函数的应用题非常多，归纳起来，主要是关于二次函数最值的实际
40、应用，所以二次函数模型是一种常见的函数应用模型，是整个高中数学的重点和热点求最值的关键是列出二次函数解析式后，利用配方法把二次函数的解析式化为 ya(x m) 2n的形式，这样便于讨论二次函数的最值在确定最值的过程中，常常是根据定义域，画出二次函数的图象，借助于图象找到最高点和最低点，则最高点和最低点的纵坐标就是 函数的最大值和最小值画二次函数的图象时，主要体现二次函数的主要特征：对称轴、顶点、开口方向、与x 轴的交点情况，并且尽量准确，否则，利用图象求出的最值往往是错误的【例 111】某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份 0.40 元，卖出价格是每份 0.60 元，卖不掉的报
41、纸以每份 0.05 元的价格退回报社在一个月(按 30 天计算)里，有 18 天每天可卖出 400 份，其余 12 天每天只能卖出 180 份则摊主每天从报社买进多少份晚报，才能使每月获得的利润最大(设摊主每天从报社买进晚报的份数是相同的)?解：设摊主每天从报社买进 x(180x400，x N)份晚报，每月获利为 y元，则有y0.20(18x12180)0.35 12(x180) 0.6x1 188,180x400，x N因为函数 y0.6x 1 188 在 180x400，x N上是减函数，所以 x180 时函数取得最大值，最大值为 y0.61801 1881 080故摊主每天从报社买进 1
42、80 份晚报时，每月获得的利润最大，为 1 080 元【例 112】某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数：R(x) 其中 x 是仪器的月产量240,(40),8)x(1)将利润表示为月产量 x 的函数 f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？( 总收益总成本利润)分析：(1)根据“利润总收益总成本”列出函数关系式； (2)转化为求分段函数(主要是二次函数)的最大值问题解：(1)设月产量为 x台，则总成本为 20 000100x，从而f(x)2130,(04),6,).(2)当 0x400 时，f(x ) (x300) 225 000，1当 x300 时，f( x)max25 000；当 x400 时，f( x)60 000100x 是减函数，f(x)f(400)60 00010040020 00025 000当 x300 时，f( x)max25 000故每月生产 300 台仪器时利润最大，最大利润为 25 000 元
