1、31 指数函数311 分数指数幂1理解分数指数幂的含义2了解实数指数幂的意义，理解 n 次方根与 n 次根式的概念，熟练掌握用根式与分数指数幂表示一个正实数的算术根3能运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化1根式(1)方根的概念：我们知道，如果 x2 a，那么 x 称为 a 的平方根；如果 x3 a，那么 x 称为 a 的立方根一般地，如果一个实数 x 满足 xn a(n1， nN *)，那么称 x 为 a 的 n 次实数方根当 n 是奇数时，正数的 n 次实数方根是一个正数，负数的 n 次实数方根是一个负数此时， a 的 n 次方根只有一个，记为 x na
2、当 n 是偶数时，正数的 n 次实数方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数 a 的正的 n 次实数方根用符号 表示，负的 n 次实数方根用符号 表示正的 n 次实数方根na na与负的 n 次实数方根可以合并成 (a0)na由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 0n0(2)根式的概念：式子 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数na(3)根式的性质：当 n 是奇数时， a；nan当 n 是偶数时， | a|Error!nan正数开方要分清，根指奇偶大不同，根指为奇根一个，根指为偶双胞生负数只有奇次根，算术方根零或正，正数若求偶次根，符号相反值相同负数开方要慎
3、重，根指为奇才可行，根指为偶无意义，零取方根仍为零【做一做 11】在 ， ， ， 中，属于最简根式的个数是_5413316 8ab解析：根据最简根式的定义判断 3 ， ， 2 ， 2 54 613 33 316 32 8ab 2ab答案：0【做一做 12】当 8 x9 时，化简 _(x 8)2 (x 9)2答案：2 x172分数指数幂(1)正数 a 的正分数指数幂：我们规定： (a0， m， nN *)mn(2)正数 a 的负分数指数幂： (a0， m， nN *)mna11nam(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，
4、也不能既有分数指数幂又有分母的形式如 、 都不是最简形式应该注意，分数指数的分子和分母与23abab 2根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系不可颠倒【做一做 21】下列等式中，一定成立的是_ ； ；134=450 ； 2c1623()x答案：【做一做 22】将 化成分数指数幂的形式为 _3 22答案：13有理数指数幂的运算性质(1)aras ar s(a0， r， sQ)；(2)(ar)s ars(a0， r， sQ)；(3)(ab)r arbr(a0， b0， rQ)【做一做 31】 01 2 3 x0 _.5926473748答案：100【做一做 32】 8_答案：128( )n和
5、有什么区别？它们分别等于什么？na nan剖析：分析这两个式子的含义和成立的条件，多举例子来体会它们的区别( )n是实数 a 的 n 次方根的 n 次幂，其中实数 a 的取值由 n 的奇偶性来决定：na当 n 为大于 1 的奇数时， aR例如，( )327，( )532，( )70；327 5 32 70当 n 为大于 1 的偶数时， a0例如，( )427，( )23，( )60；若427 3 60a0，式子( )n无意义，例如，( )2、( )4均无意义，也就不能说它们的值了na 2 4 54由此看只要( )n有意义，其值就恒等于 a，即( )n ana na是实数 an的 n 次方根，是
6、一个恒有意义的式子， a 的取值不受 n 的奇偶性限制，nanaR但是这个式子的值受 n 的奇偶性限制：当 n 为大于 1 的奇数时，其值为 a，即 a，例如，nan2， 61；3( 2)3 56.15当 n 为大于 1 的偶数时，其值为| a|，即 | a|，例如，nan3， |3|3434 ( 3)2由此看 Error!nan题型一 分数指数幂的运算【例 1】计算：(1) ；(2) ；(3) ；23157230.83410(4)(2a1) 0 ；(5) 121536分析：在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时如(1)(2)(3) ，就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂
7、的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便在幂的运算中，对于形如 m0的式子，要注意对底数 m 是否为零进行讨论，因为只有在m0 时， m0才有意义；而对于形如 的式子，我们一般是先变形为 ，然后再进nba nab行运算解：(1) ；2231575 23 2 3252 925(2) 0.2 2 5 225；230.83(.)1(3) ；4173 37 3 7333 34327(4)(2a1) 01；(5)1535663 1 65反思：在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键题型二 根式的化简【例 2】化简 的
8、结果是_32 6227 2133 (10r(2)2 42解析：先将式子中的根式逐个化简，后进行运算原式 3 827 23 216 6923 113答案：9反思：对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则是先算根号内的，后进行根式运算在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如 ，若 a0，则3a 0；若 a0，则 0，但对根指数为偶数的根式，只有当 a0 时，对根式才有意3a 3a义题型三 有理数幂的混合运算【例 3】已知 a ， b ，求 的值827 1771 22334197ab13ab分析：化简、求值一类问题，往往是先将被求代数式化简，然后再代入已知字母的值，求得代数式的值解：
9、a0，原式 211233()7b13ab又a27b0，原式 11332()7ab2a238722394反思：本题容易先直接将 a， b 的值代入，后化简，但因运算繁琐，不容易得出正确的结果所以在解决问题时，一定要先审题，比较一下各种思路的优劣，然后再动手做题这样才能养成良好的思维习惯【例 4】已知 ，求 a a1 ， a2 a2 的值12+=3分析：本题主要考查分数指数幂及其应用观察到 ，对已知等式两边平方即12=可求解解： ， 12a122()9 a2 a1 9 a a1 7又( a a1 )249， a22 a2 49 a2 a2 47反思：本题是已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称
10、为“知值求值” ，解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点，常从整体代入来求值1 设 x12 p， y12 p，则 y 等于_(用 x 表示)解析：由条件得 2p x1,2 p y1，从而( x1)( y1)1， y 1 1x 1 xx 1答案：xx 12 如果 ，则 x 的值是_23=4解析：由条件得 ，24所以 ， x 23118答案：183 化简 _aaa解析： aaa1232a3478a答案：78在 ； ； ； (nN， aR)各式中，一定有意义的4( 4)2n 4( 4)2n 1 5a4 4a5是_(填序号)解析：在中(4) 2n1 为负数，所以开偶次方无意义，故错误；在中因为aR，所以 a5R，故 可能没有意义，所以错误4a5答案：5(1) _；131213732()()(bb (2) _44xyzxyz解析：(1)原式 1317-23()=aa(2)原式 21342xzz答案：(1) (2)13xz2
