1、课题：2.2.1 对数与对数的运算精讲部分学 习 目 标 展 示（1）理解对数的概念、常用对数及自然对数的概念；会进行对数式与指数式的互化；（2）掌握对数的运算法则，会进行对数运算；（3）对数的换底公式；衔 接 性 知 识1. 已 知 ， 求 实 数 的 值231xx解 ： 由 已 知 ， 得 ， 所 以 或2012x2. 如 果 ， 那 么 实 数 的 值 是 多 少 呢 ？3xx基 础 知 识 工 具 箱要 点 定 义 符 号对 数 若 ， 则 叫 做 以(0,1)xaNax为 底 的 对 数 . logaxN底 数 ， 真 数常 用 对数 以 10 为 底 的 对 数 叫 做 常 用 对
2、 数 l特 殊对 数 自 然 对数 以 无 理 数 为 底 的 对 数 叫 做 自 然 对 数e n指 数 式 与 对 数式 的 互 化 当 ， 时 ，0a1logxaaN对 数 的 性 质 （ 1） （ 2） （ 3）logaloglog(0,10)a N对 数 的 运 算 法则（1） aaMN（2） lllogaaaM（3） ll()nanR， （其中 0 且 1，M0，N0）换 底 公 式logaN= clog（ a0，且 a1； c0，且 c1； N0）变形：（1） （2） （3）llogbloglmaablmnaab典 例 精 讲 剖 析例 1.用 logax，log ay，log
3、az 表示：(1)loga(xy2)； (2)log a(x )； (3)log a .y3 xyz2解：(1)log a(xy2)log axlog ay2log ax2log ay；(2)loga(x )log axlog a log ax logay；y y12(3)loga loga (logaxlog a(yz2) (logaxlog ay2log az)3 xyz2 13 xyz2 13 13例 2计算下列各式的值：（1） 45lg8l49lg；（2） 22)(lg0l58lg5l ；（3） 20解：（1）方法一：原式= 212325 )57lg(l4)7lg(21= llg7l2
4、5= l1l= )l(.方法二：原式= 57lg42l= 4572l= 215lg.（2）原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2) 2 =2lg10 + (lg5 + lg2)2 = 2 + (lg10)2 = 2 + 1 = 3.（3）原式(lg2) 22lg2(1lg5)(1lg5) 2(lg21lg5) 22 24.【小结】易犯 lg52 = (lg5)2的错误.这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们
5、化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值. 计算对数的值时常用到 lg2 + lg5 = lg10 = 1.例 3 （1）已知 lg2 = m，lg3 = n，用 m、 n 表示 lg 45；（2）设 logax = m，log ay = n，用 m、 n 表示 log34yxa；（3）已知 lgx = 2lga + 3lgb 5lgc，求 x.【分析】由已知式与未知式底数相同，实现由已知到未知，只须将未知的真数用已知的真数的乘、除、幂表示，借助对数运算法则即可解答.解：（1） 190lg45llg221lg0l231()nm（2） 43logaxy111342lllogaaax .1234l
6、og12l34mnyxaa（3）由已知得： 53232lglglgcbbax， 532cbx.例 4 已知 log189 = a，18 b = 5，求 log3645.解：方法一：log 189 = a，18 b = 5，log 185 = b，于是 )218(log36l45log1836= 2log918= aba2918log.方法二：log 189 = a，18 b = 5，lg9 = alg18，lg5 = blg8， 9lg182lg)(36l45log36 = a218lgl2.精 练 部 分A 类试题（普通班用）1下列式子中正确的个数是( )loga(b2 c2)2log ab
7、2log ac (loga3)2log a32 loga(bc)(log ab)(logac) logax22log axA0 B1 C2 D3答案 A2. 计算：(1)2log210log 20.04 (2) (3)lg3 2lg2 1lg1.2 lg23 lg9 1(4) log 82log (5)log6 2log 63 log627 .13 16 163 112 13解析(1)2log 210log 20.04log 2(1000.04)log 242(2) 1lg3 2lg2 1lg1.2 lg(3410)lg1.2 lg1.2lg1.2(3) 1lg3lglg23 lg9 1 lg
8、23 2lg3 1 (1 lg3)2103(4) log 82log log 2log 3log 6113 16 163 16 16 16(5)log6 2log 63 log627log 6 log 69log 63log 6( 3)log 6 2. 112 13 112 112 19 1363. (1)已知 loga2 m，log a3 n，求 a2m n 的值；(2)已知 10a2,10 b3，求 1002a b 的值解：(1)因为 loga2 m，log a3 n，所以 am2， an3，则 a2m n( am)2an4312.(2) 10 a2,10 b3，lg2 a，lg3 b.则
9、 1002a b100 2lg2lg3 100 lg (10 2)lg (10 lg )2 243 43 43 (43) 1694. 计算：（1）log 34log48log8m=log416，求 m 的值.（2）log89log2732. （3）（log25+log4125） 5log3.解：（1）原方程等价于 lg4 l8 lg=2，即 log3m=2，m=9.（2）解法一：原式= l9 27l3= 1 25= 910.解法二：原式= 8log2 l2= 3lo2 lg2= .（3）解：原式=（log 25+log25 ） 5l3= 21log225 5log52= 1log25 log5
10、2= 4log25log52= 45. 若 25a5 3b10 2c，试求 a、b、c 之间的关系解析 设 25a5 3b10 2c k，则a log2k，b log5k，c lgk.15 13 12logk2 ，logk5 ，logk10 ，15a 13b 12c又 logk2log k5log k10， .15a 13b 12cB 类试题（3+3+4） （尖子班用）1. 下列式子中正确的个数是( )loga(b2 c2)2log ab2log ac (loga3)2log a32 loga(bc)(log ab)(logac) logax22log axA0 B1 C2 D3答案 A2.
11、已知 alog 32，那么 log382log 36 用 a 表示为( )Aa2 B5a2 C3a(1 a)2 D3a a21答案 A解析 由 log382log 36 3log322(log 32log 33)3 a2( a1) a2.3. 如果方程 lg2x(lg2lg3)lg xlg2lg30 的两根为 x1、x2，那么 x1x2的值为( )Alg2lg3 Blg2lg3 C 6 D.16答案 D解析 由题意知 lgx1和 lgx2是一元二次方程 u2(lg2lg3) ulg2lg30 的两根lgx1 lgx2(lg2lg3)，即 lg(x1x2)lg ，x1x2 .16 164. lo
12、g6log4(log381)_.答案 0解析 log6log4(log381)log 6(log44)log 6105. 已知 lg30.4771，lg x 3.5229，则 x_.答案 0.0003解析 lgx 3.522940.47714lg3lg0.0003， x0.0003.6. 设 log89 a，log35 b，则 lg2_.答案 22 3ab解析 由 log89 a 得 log23 a， ，32 lg3lg2 3a2又 log35 b， ab， ab，lg2 .lg5lg3 lg3lg2lg5lg3 32 1 lg2lg2 32 22 3ab7. 计算：(1)2log210log
13、 20.04 (2) (3)lg3 2lg2 1lg1.2 lg23 lg9 1(4) log 82log (5)log6 2log 63 log627 . 13 16 163 112 13解析 (1)2log210log 20.04log 2(1000.04)log 242(2) 1lg3 2lg2 1lg1.2 lg(3410)lg1.2 lg1.2lg1.2(3) 1lg3lglg23 lg9 1 lg23 2lg3 1 (1 lg3)2103(4) log 82log log 2log 3log 6113 16 163 16 16 16(5)log6 2log 63 log627log
14、 6 log 69log 63log 6( 3)log 6 2.112 13 112 11219 1368.(1)已知 loga2 m，log a3 n，求 a2m n 的值；(2)已知 10a2,10 b3，求 1002a b 的值解：(1)因为 loga2 m，log a3 n，所以 am2， an3，则 a2m n( am)2an4312.(2) 10 a2,10 b3，lg2 a，lg3 b.则 1002a b100 2lg2lg3 100 lg (10 2)lg (10 lg )2 243 43 43 (43) 1699. 已知 lg(x2 y)lg( x y)lg2lg xlg y，求 的值 xy解析 由已知条件得Error!即Error!，整理得Error! x2 y0，因此 2.xy10. 若 25a5 3b10 2c，试求 a、b、c 之间的关系解析 设 25a5 3b10 2c k，则a log2k，b log5k，c lgk.15 13 12logk2 ，logk5 ，logk10 ，15a 13b 12c又 logk2log k5log k10， .15a 13b 12c
