1、对数学教学中一题多解的选取浙江省温岭市大溪中学陈信云在数学教学过程中常常出现一题多解的现象,有时数学教师在备课中也喜欢选用一些有多种解法的例题,一者为开阔学生眼界,二者也体现数学的灵活多变.同时“一题多解 “既可训练学生的发散性思维 ,又可培养学生思维的灵活性和创造性,因此如何更好地发挥一题多解的训练作用,就特别值得我们教师推敲和探讨.教师在课堂中解法的选取将对我们的培养目标,培养对象有重大的影响,所以课堂教学过程中解法的选取一定要注意以下几个要点的把握.1 不能刻意去构造繁解一个新问题的提出,教师和学生往往有一种默契,数学题绝对不会太繁.但有的教师在讲好的解法之前,总喜欢设置一种繁解,以体现
2、另一种解法的巧妙.这样容易导致学生先人为主,极不利于学生对好的解法的掌握.实际上对于繁解,课堂中应点到为止.而对于能体现数学思想的,比较简明扼要的解法,教师极有必要花大力气去讲解,引申,而此时又往往因繁解花去太多时间,导致好的解法教学达不到预期效果.下面举一例说明.例 1 已知实数,Y 满足方程+Y 一 2x+4y一 0,求一 2 的最大值和最小值.1解法 1:(繁解) 令一 2y=6 一(一 6),代人厶方程.+Y.一 2x+4y=0,由 zR 应用0 可求得b 的范围是 Eo,10.解法 2:利用几何意义.原方程可配方为(一 1).+(+2).:=:5,其几何意义是一个以(1,一 2)为圆
3、心,以5 为半径的圆.令 P(,)为圆上动点及令 z 一 231L一 6,则一一詈为直线方程,要求直线过点 P 且厶1L以寺为斜率,一表示直线的截距,当直线与圆相切厶时它的截距最大或最小,从而求得 b 的最大值为 10,最小值为 0.解法 3:三角换元法.原方程可配方为(一 1)+(+2)一 5,令一 1 一5COS 口,Y+2 一5sin 口,则X-2y=OSd 一 2in 口+5,当 cos(口+)一 1 时,一2 有最大值 1O,当 COS(口+) 一一 1 时,一 2 有最小值 0.解法 1 为繁解,课堂中应点到为止.而第 2 种解法能培养学生用数形结合解题的能力,应着重让学生掌握,并
4、在此基础上构思斜率的几何意义题,扩展并引申到点与点之间的距离,点与线之间的距离等可用图解的题目.解法 3 利用参数思想,引入参变量,这在解由几何向代数转化的问题时用处很大,在数学中也值得花一定时间去讲解,巩固,指出用角作为参变量的解题思想还大部分用于椭圆,双曲线问题中.比如本题若将圆方程改为椭圆方程解法 2 也不易解决,而用解法 3 解题过程基本不变.学生通过教师的点拨后将逐步学会运用举一反三的思想去学习数学,大大提高了学习效率.2 要注重常规解法的讲授,不应特别强调巧解,妙解一般学生对数学解题方法的掌握,常常是很普通的,对于他们,掌握巧解比掌握常规解法要难得多.在备课过程中,教师若过于强调解
5、题方法的巧妙,快捷,而淡化常规的解题方法,这就极不利于大部分学生的发展,实际上也背离了我们数学教育的目的.所以,教师在教学过程中一定要注意遵循重常规,轻特解的原则.例 2 已知一条直线被直线 z:4+Y+60 和直线 zz:3 一 5y 一 60 截得的线段的中点为坐标原点,试求这条直线的方程.解法 1:显然所求直线过原点,故可设所求直线方程为 z:一是,先求出直线 z 与直线 z,z.的交点分别为(,云篝 )和(,3_6-kksk), 再运用两交点的中点是原点的条件,可求得 k 一一,即得所求直线方程为一一X.U解法 2:设所求直线 z 与直线 z 的交点坐标为A(a,6),则它与 z 的交
6、点坐标为 B(一口,一 6).因为A,B 分别在 z,zz 上,.f4 口+b+60,I 一 3 口 +5660,+得口 +6b=O,则解法 1 中的忌一生一一 1,UU1即得所求直线方程为一一X.U解法 3:前面与解法 2 相同,+得口+6b=0,将方程式中的口,b 分别用,Y 替代得直线方程+6 一 0,该直线既过点 A(a,6),又经过原点 0(o,O),所以方程 X+6 一 0 为所求直线方程 .解法 1 与解法 2 均为待定系数法,属于普通的常规解法,学生极易想到,也容易掌握.课堂中应着重强调并认真写出其解题过程,使学生逐步养成良好的解题习惯及注重掌握常规解法.通过普通,常规方法的学
7、习,既要让学生体验到数学并不是非常抽象的学科,又要让学生感悟到学好数学最关键的是要有清晰的思路,而不在于奇思异解.解法 3 化定元为变元,体现数学中设而不求的思想,只能让部分数学特长学生渐渐感悟,逐步领会,不能过于强调它的重要性.3 选择解法要有承前启后的功能一个数学题出现三种或三种以上的解法是常有的,此时教师不宜将所有的解法都一一介绍给学生,否则容易导致多而乱.教师应有意识地选择一两种典型解法重点讲解,其选择的原则很重要的一点是能对学生的旧知识起到复习作用,这样学生的遗忘才会逐步减少,使学生的知识达到滚雪球式的积累;在新课教学中若习题的某一解法能对将学的知识传授起到作用,那么该解法也可介绍给
8、学生,对新知识的传授作简单的铺垫.将一个题目的某种简明的新解法介绍给学生,既有利于提高学生的学习兴趣,又有利于知识难点的分解.下面分别举例说明.)1例 3 已知正实数口,b 满足+一 1,试求口+bc,的最小值.)1解法 1:(三角换元法) 令 :sin 口,亡一 cos 口,则01口一一 2(1+cot 口),6 一一 1+tan 口,sln.口 COS 口.口+b 一 3+2cot 口+tan 口3+22.解法 2:(变量统一法) 由+ 吉一 1=6 一,九 9 一.口+6 一口 +一口一 2+33+22.厶 c厶(思考为什么口一 20)(当且仅当口一 2+2 时取等号),91,解法 3:
9、(1 的妙用) 口+6 一(口+6)(+吉)一 3+导+3+2故口+6 的最小值为 3+2 厄(当且仅当口=2+2,6 一2+1 时口+b 取得最小值)解法 1 的选取对三角知识的复习起到重要作用,同时在此还应指出哪些场合适用三角换元法,教师与学生一起归类,展开举例说明,让学生对这种方法的使用价值有较大的认识.解法 2 对培养学生用函数思想解题(化多个变量为一个)有较大好处,值得重点讲解.特别是对高三学生复习中,必须讲清三角换元中角度范围的确定,函数思想中变量变化区间确定等问题.解法 3 虽然非常巧妙但因其适用范围有限,课堂中应尽可能少讲.例 4 已知平行四边形的两条边所在的直线方程是 X+一
10、 10 和 3xY+40,平行四边形的对角线的交点是 M(3,3),求这个平行四边形其他两条边所在直线的方程.(本例为高中新教材中 P.87 第 5 题 )解法 l:先求两直线的交点X+一 10,3Y+40交点关于 M(3,3)的对称点为(,),由平行四边形性质可知所求直线方程是一一一(X-)及一173(一 ),即+y-11=0 及 3x-y 一 160.解法 2:由平行四边形性质可知所求两直线方程可分别设为 X+Y+C 一 0 及 3xY+C20,由点M(3,3)到两对边的距离相等得 C 一一 1l,C2=一 16,即所求直线为+一 110 及 3x-y-16 一 O.解法 3:(用转移法求
11、轨迹)设点 P(x,)为所求直线上的动点,则点 P(,)关于 M(3,3)的对称点Q(6-x,6-y)应在已知的直线上,将 O(6-X,6-y)分别代人直线方程+一 10 及 3x-+40,得所求直线方程为 X+y-110 及 3xY 一 16:0.该,1,/7434一/,P为点交34,一 74一一,(, 教师在讲解了解法 1,解法 2 两种常规解法后,学生也许会觉得教师没什么高招,自己也是这样想,只是计算较为复杂.此时解法 3 的提出肯定会引起学生的特别关注,让学生的思维达到一个兴奋点,非常有利于新方法的掌握.教师随后指出这是求轨迹方程的一种最重要的方法,以后还有很多应用,这样必将收到奇效,
12、同时也能为后面的知识传授做很好的铺垫.4 解法的选取必须多角度,多观点数学问题的思考往往是多个角度的,而一个综合的数学题又往往可用多个观点去试探着思考,如方程思想,函数思想,三角观点,几何观点等.如果一题多解只是一个角度的思维或是一个观点的多次重复,教师是不需花大力去分析,解释的.例 5 已知实数,Y 满足.37+一 2=0,则 z+y的最小值是.解法 1:(用函数思想) 原式变为 =2 一,代人得-Fy0=-F(2 一)一 2x 一 4x+4=2(一 1)+2,(上接第 15 页)2 几点教学建议球的切,接问题除了上面的五种外,还有球与长方体,正三棱锥,正四棱锥等的切,接问题,由于这类问题空
13、间位置关系比较复杂,直观图难画,从而构成了教学的一个难点,在此,提出如下的教学建议.2.1 重视寻找“特征截面“由于球的切,接问题,直观图不好画,缺少“看得见“,“摸得着“的分析对象.因此解题的关键是采取平面化的策略,作出一个既过球心又包含其他几何体基本量的“特征截面 “,再把它 “移出体外“,通过对截面图形的分析,获取相应的数量关系.所以在教学中要引导学生寻找“特征截面“,有意识地强化这方面的训练,以增强学生的“平面化意识 “,提升学生的空间想象能力.2.2 重视基本几何体的教学球的切,接问题大多是以基本几何体(如长方体,正方体,正四面体,正三棱锥等)为依托,熟练地掌握这些基本几何体的概念和
14、性质对解决这类问题至关重要.教学中,要重视基本几何体概念的教学,重视性质的推导与归纳,从而丰富学生空间模型的认知结构,使学生形成稳固的概念表征,能达到熟练应用,融会贯通.还要有意识地设计一些关于基本几何体的问.+y 的最小值为 2.解法 2:(用方程思想) 设+y 一 b,将=2 一代人得+(2 一)一 6:2x 一 4x+4 一 b=0,由R, /o 可知 62,.+y 的最小值为 2.解法 3:(用几何意义) 方程 +一 2=0 表示一条直线,.27+y 可表示点 (,)到原点的距离的平方 .点(,)在直线+一 20,则 d 的最小值为2,.-Fy 的最小值为 2.如果在解法 1 中插入用
15、 y 代替再得出新解,就属于累述而不属于一题多解.若还有新的解法的话,我们可从三角的观点,不等式思想去考虑该题.5 探究式教学中一题多解的应用选择一个有多种解法的问题,进行探究性学习的教学应该是一个比较好的课题.根据学生水平,构造不同的问题,充分调动学生学习的主动性,让学生自己说,自己做,自己小结,教师在教学过程中只起引导作用.题让学生来解决,以提升学生的模型化处理能力.2.3 重视数学思想方法的渗透数学思想是对数学知识理性的,本质的,高度抽象的概括和认识,教学中千万不可忽略数学思想的渗透.首先是牢固树立转化的思想,解决球的切,接问题要实现三次转化:一是将文字语言或符号语言转化为头脑中关于球的
16、切,接的立体“表象“ 也就是“想图“;二是由空间向平面的转化,通过作“特征截面“, 把几何体的基本量统一到截面图形中,便于分析;三是由形向数的转化,通过对截面图形的分析,把空间形式转化为相应的数量关系.没有成熟的转化意识,缺少转化思想的指导,是不可能顺利解决问题的.其次是割补思想的应用,如将内切球球心与多面体各个顶点相连,就可以将多面体分割成几个以内切球半径为高的小棱锥;将双垂四面体,直角四面体补成长方体,它们具有共同的外接球;将正四面体补成正方体,它们也具有共同的切,接球.这些都体现了数学的统一美和和谐美,站在这个高度理解问题,解题就会触类旁通.最后是渗透类比的思维方法,能够将球与圆类比,用处理圆问题的思路,方法去思考球的问题.如将三角形的内切圆,外接圆与四面体的内切球,外接球类比,四点共圆与多点共球类比等,使学生在类比中受到启发,在类比中获得方法,在类比中提升能力.
