1、【成才之路】2015-2016 学年高中数学 第二章 推理与证明综合检测 新人教 A 版选修 2-2时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1观察数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，的特点，按此规律，则第 100 项为( )A10 B14C13 D100答案 B解析 设 nN *，则数字 n 共有 n 个，所以 100 即 n(n1)200，n n 12又因为 nN *，所以 n13，到第 13 个 13 时共有 91 项，从第 92 项开始为1314214，故第 100
2、 项为 14.2有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖 ”乙说：“甲、丙都未获奖 ”丙说：“我获奖了 ”丁说：“是乙获奖 ”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是( )A甲 B乙C丙 D丁答案 C解析 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙3(2015枣庄一模)用数学归纳法证明“1 1)”时，12 13 12n 1由 n k(k1)不等式成立，推证 n k1 时，左边应增加的项数是( )A2 k1 B2 k1C2 k D2 k1答案 C解析 左边的特点是分母逐渐增加 1，末项为 ；
3、12n 1由 n k 时，末项为 到 n k1 时末项为 ，应增加的项数12k 1 12k 1 1 12k 1 2k为 2k.故选 C.点评 本题是基础题，考查用数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键4下列说法正确的是( )A “a0” ，故 B 错；C 正确；D 中 p q 为假命题，则 p、 q 中至少有一个为假命题，故 D 错5(2014东北三校模拟) 下列代数式(其中 kN *)能被 9 整除的是( )A667 k B27 k1C2(27 k1 ) D3(27 k)答案 D解析 特值法：当 k1 时，显然只有 3(27 k)能被 9 整除，故
4、选 D.证明如下：当 k1 时，已验证结论成立，假设当 k n(nN *)时，命题成立，即 3(27 n)能被 9 整除，那么 3(27 n1 )21(27 n)36.3(27 n)能被 9 整除，36 能被 9 整除，21(27 n)36 能被 9 整除，这就是说， k n1 时命题也成立故命题对任何 kN *都成立6已知 f(n) ，则( )1n 1n 1 1n 2 1n2A f(n)中共有 n 项，当 n2 时， f(2) 12 13B f(n)中共有 n1 项，当 n2 时， f(2) 12 13 14C f(n)中共有 n2 n 项，当 n2 时， f(2) 12 13D f(n)中
5、共有 n2 n1 项，当 n2 时， f(2) 12 13 14答案 D解析 项数为 n2( n1) n2 n1，故应选 D.7已知 a b c0，则 ab bc ca 的值( )A大于 0 B小于 0C不小于 0 D不大于 0答案 D解析 解法 1： a b c0， a2 b2 c22 ab2 ac2 bc0， ab ac bc 0.a2 b2 c22解法 2：令 c0，若 b0，则 ab bc ac0，否则 a、 b 异号， ab bc ac ab0，排除 A、B、C，选 D.8已知 c1， a ， b ，则正确的结论是( )c 1 c c c 1A a b B a bC a b D a、
6、 b 大小不定答案 B解析 a ，c 1 c1c 1 cb ，c c 11c c 1因为 0， 0，c 1 c c c 1所以 0，所以 a0)，观察： f1(x) f(x) ， f2(x) f(f1(x)xx 2 xx 2 ， f3(x) f(f2(x) ， f4(x) f(f3(x) ，根据以上事实，由x3x 4 x7x 8 x15x 16归纳推理可得：当 nN *且 n2 时， fn(x) f(fn1 (x)_.答案 x 2n 1 x 2n解析 观察 f1(x)、 f2(x)、 f3(x)、 f4(x)的表达式可见， fn(x)的分子为 x，分母中x 的系数比常数项小 1，常数项依次为
7、2,4,8,162n.故 fn(x) .x 2n 1 x 2n15(20142015厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有 c2 a2 b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O LMN，如果用 S1、 S2、 S3表示三个侧面面积， S 表示截面面积，那么类比得到的结论是_答案 S2 S S S21 2 23解析 类比如下：正方形正方体；截下直角三角形截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和三棱锥三个侧面面积的平方
8、和，结论 S2 S S S .21 2 23证明如下：如图，作 OE平面 LMN，垂足为 E，连接 LE 并延长交 MN 于 F， LO OM， LO ON， LO平面 MON， MN平面 MON， LO MN， OE MN， MN平面 OFL， S OMN MNOF， S MNE MNFE， S12 12MNL MNLF， OF2 FEFL， S ( MNOF)2( MNFE)( MNFL) S12 2 OMN 12 12 12MNES MNL，同理 S S MLES MNL， S S NLES MNL， S S2 OML 2 ONL 2 OMN S ( S MNE S MLE S NLE)
9、S MNL S ，即 S S S S2.2 OML 2 ONL 2 MNL 21 2 2316(20142015洛阳部分重点中学质量检测)观察下列等式： 1 ，312 12 122 1 ， 1312 12 423 122 1322 312 12 423 122 534 123，由以上等式推测到一个一般的结论：对于 nN *， 1423 312 12 423 _.122 n 2n n 1 12n答案 11 n 1 2n解析 由已知中的等式： 1312 12 122 1 ，312 12 423 122 1322 1 ，312 12 423 122 534 123 1423所以对于 nN *， 1
10、.312 12 423 122 n 2n n 1 12n 1 n 1 2n三、解答题(本大题共 6 个大题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分 12 分)已知： a、 b、 cR，且 a b c1.求证： a2 b2 c2 .13证明 由 a2 b22 ab，及 b2 c22 bc， c2 a22 ca.三式相加得 a2 b2 c2 ab bc ca.3( a2 b2 c2)( a2 b2 c2)2( ab bc ca)( a b c)2.由 a b c1，得 3(a2 b2 c2)1，即 a2 b2 c2 .1318(本题满分 12 分)我们知道，在 ABC
11、 中，若 c2 a2 b2，则 ABC 是直角三角形现在请你研究：若 cn an bn(n2)，问 ABC 为何种三角形？为什么？解析 锐角三角形 cn an bn (n2)， c a, c b，由 c 是 ABC 的最大边，所以要证 ABC 是锐角三角形，只需证角 C 为锐角，即证 cosC0.cos C ，a2 b2 c22ab要证 cosC0，只要证 a2 b2 c2，注意到条件： an bn cn，于是将等价变形为：( a2 b2)cn2 cn. c a， c b， n2， cn2 an2 ， cn2 bn2 ，即 cn2 an2 0， cn2 bn2 0，从而( a2 b2)cn2
12、cn( a2 b2)cn2 an bn a2(cn2 an2 ) b2(cn2 bn2 )0，这说明式成立，从而式也成立故 cosC0， C 是锐角， ABC 为锐角三角形19(本题满分 12 分)(2015吉林市实验中学高二期中)椭圆与双曲线有许多优美的对称性质对于椭圆 1( a b0)有如下命题： AB 是椭圆 1( a b0)的不平x2a2 y2b2 x2a2 y2b2行于对称轴且不过原点的弦， M 为 AB 的中点，则 kOMkAB 为定值那么对于双曲线b2a2 1( a0， b0)，则有命题： AB 是双曲线 1( a0， b0)的不平行于对称x2a2 y2b2 x2a2 y2b2轴
13、且不过原点的弦， M 为 AB 的中点，猜想 kOMkAB的值，并证明解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(x0， y0)，则有Error!kOM ， kAB ，y0x0 y1 y2x1 x2 y1 y2x1 x2即 kOMkAB . y1 y2 y1 y2 x1 x2 x1 x2 y21 y2x21 x2将 A、 B 坐标代入双曲线方程 1 中可得：x2a2 y2b2 1x21a2 y21b2 1x2a2 y2b2得： ，x21 x2a2 y21 y2b2 ，即 kOMkAB .y21 y2x21 x2 b2a2 b2a220(本题满分 12 分)若 x0， y0，用分析
14、法证明：( x2 y2) (x3 y3) .1213证明 要证( x2 y2) (x3 y3) ，1213只需证( x2 y2)3(x3 y3)2，即证 x63 x4y23 x2y4 y6x62 x3y3 y6，即证 3x4y23 y4x22x3y3.又因为 x0， y0，所以 x2y20，故只需证 3x23 y22xy.而 3x23 y2x2 y22 xy 成立，所以( x2 y2) (x3 y3) 成立121321(本题满分 12 分)已知函数 f(x) ax (a1)x 2x 1(1)证明：函数 f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明方程 f(x)0 没有负数根解析 (1)证法
15、 1：任取 x1、 x2(1，)，不妨设 x10， ax2 x11且 ax10， ax2 ax1 ax1(ax2 x11)0，又 x110， x210， x2 2x2 1 x1 2x1 1 x2 2 x1 1 x1 2 x2 1 x1 1 x2 1 3 x2 x1 x1 1 x2 10，于是 f(x2) f(x1) ax2 ax1 0，x2 2x2 1 x1 2x1 1故函数 f(x)在(1，)上为增函数证法 2： f ( x) axlna axlnax 1 x 2 x 1 2 3 x 1 2 a1，ln a0， axlna 0，3 x 1 2f ( x)0 在(1，)上恒成立，即 f(x)在
16、(1，)上为增函数(2)解法 1：设存在 x00， ax00， f(x0)0.x0 2x0 1综上， x0，即方程 f(x)0 无负数根22(本题满分 14 分)设数列 a1， a2， an，中的每一项都不为 0.证明 an为等差数列的充分必要条件是：对任何 nN ，都有 .1a1a2 1a2a3 1anan 1 na1an 1分析 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性证明 先证必要性设数列 an的公差为 d.若 d0，则所述等式显然成立若 d0，则 1a1a2 1a2a3 1anan 1
17、 1d(a2 a1a1a2 a3 a2a2a3 an 1 ananan 1) .1d(1a1 1a2) (1a2 1a3) (1an 1an 1) 1d(1a1 1an 1) 1dan 1 a1a1an 1 na1an 1再证充分性证法 1：(数学归纳法)设所述的等式对一切 nN 都成立首先，在等式 两端同乘 a1a2a3，即得 a1 a32 a2，所以 a1， a2， a3成等差数列，记公1a1a2 1a2a3 2a1a3差为 d，则 a2 a1 d.假设 ak a1( k1) d，当 n k1 时，观察如下两个等式 ，1a1a2 1a2a3 1ak 1ak k 1a1ak 1a1a2 1a
18、2a3 1ak 1ak 1akak 1 ka1ak 1将代入，得 ，k 1a1ak 1akak 1 ka1ak 1在该式两端同乘 a1akak1 ，得( k1) ak1 a1 kak.将 ak a1( k1) d 代入其中，整理后，得 ak1 a1 kd.由数学归纳法原理知，对一切 nN，都有 an a1( n1) d，所以 an是公差为 d 的等差数列证法 2：(直接证法)依题意有 ，1a1a2 1a2a3 1anan 1 na1an 1 .1a1a2 1a2a3 1anan 1 1an 1an 2 n 1a1an 2得 ，1an 1an 2 n 1a1an 2 na1an 1在上式两端同乘 a1an1 an2 ，得 a1( n1) an1 nan2 .同理可得 a1 nan( n1) an1 (n2)得 2nan1 n(an2 an)即 an2 an1 an1 an，由证法 1 知 a3 a2 a2 a1，故上式对任意 nN *均成立所以 an是等差数列
