1、第 1 页目录摘要 .31一阶倒立摆的概述 .41.1 倒立摆的起源与国内外发展现状 .41.2 倒立摆系统的组成 .51.3 倒立摆的分类： .51.4 倒立摆的控制方法： .51.5 本文研究内容及安排 .61.6 系统内部各相关参数为： .62一阶倒立摆数学模型的建立 .72.1 概述 .72.2 数学模型的建立 .82.3 一阶倒立摆的状态空间模型： .112.4 实际参数代入： .123定量、定性分析系统的性能 .133.1，对系统的稳定性进行分析 133.2 对系统的稳定性进行分析： 154状态反馈控制器的设计 .164.1 反馈控制结构 .164.2 单输入极点配置 .174.3
2、 利用 MATLAB 编写程序 205系统的仿真研究，校验与分析 .225.1 使用 Matlab 中的 SIMULINK 仿真 226设计状态观测器，讨论带有状态观测器的状态反馈系统第 2 页的性能。 .266.1 观测器的设计思路： .266.2 利用 MATLAB 进行编程 276.3 状态观测器的仿真 .29小结 .32参考文献： .33第 3 页摘要倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。倒立摆也是机器人技术，控制理论，计算机控制等多个领域，多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定，多变量，强耦合的非线性系统。可以作为一个典型的被控对象对其进行研究。最初的研究开始于二十世
3、纪 50 年代，专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆的一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量，非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出好的控制方法。倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。倒立摆的研究不仅具有深刻的理论意义，还有重要的工程背景，在多种控制理论与方法的研究中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的实验问题，使其理论与方法得到有效检验，倒立摆就能为此提供一个从理论通往实践的桥梁，目前，对倒立摆的研究也引起了国内外学者的广泛关注，是控制领域的热门课题之一。第 4
4、 页1一阶倒立摆的概述1.1 倒立摆的起源与国内外发展现状倒立摆的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工学院的控制理论专家根据火箭助推器原理设计出来一级倒立摆实验设备。倒立摆作为一个典型的不稳定，严重非线性例证被正式提出于二十世纪六十年代后期。国内，在倒立摆系统实验平台先后出现了多种控制算法。用状态空间法设计的比例微分控制器来实现单机倒立摆的稳定控制；利用最优状态调节器实现双电机三集倒立摆实物控制；用变结构方法实现倒立摆的控制。用神经网络的自学习模糊控制器的输入输出的对比，引起其他学者的关注，之后不断出现实时学习神经网络的方法来控制倒立摆。图 1 一级倒立摆第 5 页1.2 倒立摆系统的组成
5、倒立摆系统由计算机，运动控制卡，伺服机构，传感器和倒立摆本体五部分构成。1.3 倒立摆的分类：1，根据摆杆数目的不同，可以把倒立摆分为一级，二级和三级倒立摆等2，根据摆杆间连接形式不同，可以把倒立摆系统分为并联式倒立摆和串联式倒立摆；3 根据运动轨道的不同，可以把倒立摆系统分为倾斜轨道倒立摆和水平轨道倒立摆；4 根据控制电机的不同，可以把倒立摆分为多电机倒立摆和单电机倒立摆5 根据摆杆与小车的连接方式不同，可以把倒立摆分为刚性摆和柔性摆6 根据运动方式不同，可以把倒立摆分为平面倒立摆，直线倒立摆和旋转倒立摆。1.4 倒立摆的控制方法：1）PID 控制：该方法出现的最早，首先是对倒立摆系统进行力
6、学分析，并在牛顿定律基础上得到运动方程，然后在平衡点附近对其进行线性化求出传递函数，最后在要求系统的特征方程应有全部左半平面的根的条件下，设计闭环系统控制器。2）状态反馈控制：极点配置法是在动态特性和稳态特性都第 6 页满足的条件下，将多变量闭环倒立摆系统极点配置在期望的位置上，来设计状态反馈控制器3）线性二次型最优控制（LQR）LQR 最优控制是通过寻找最佳状态反馈控制规律使期望的性能指标达到最小。1.5 本文研究内容及安排倒立摆的控制算法多种多样，各种方法都有其各自的领域及重点，通过算法的比较，可以看出它们彼此之间的一些优缺点。本课程设计的被控对象采用固高公司生产的 GIP-100-L 型
7、一阶倒立摆系统，选取稳定控制算法中的状态反馈极点配置设计，在分析了倒立摆的受力情况后，建立理论模型，由此推倒出系统的状态方程，并且对系统的性能进行定量、定性分析。配制出理想极点，设计状态反馈控制器，使得当在小车上施加 1N 的脉冲信号时，闭环系统的响应满足性能指标要求。对设计的系统进行仿真研究、校验与分析，设计状态观测器，讨论带有状态观测器的状态反馈系统的性能。1.6 系统内部各相关参数为：小车质量 0.5 Kg ； 摆杆质量 0.2 Kg ； 小车摩擦系数Mmb0.1 N/m/sec ； 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.3 m ； 摆杆惯l I量 0.006 kg*m*m ； 采样时间 0.
8、005 秒。T第 7 页2一阶倒立摆数学模型的建立2.1 概述倒立摆系统其本身是自不稳定系统，实验建模存在一些问题和困难，在忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统是一个典型的运动的刚体系统，可以再惯性坐标系中运用经典力学对它进行分析，来建立系统动力学方程。在忽略掉了空气阻力和各种摩擦力之后，可以讲一阶倒立摆系统抽象成小车和均匀杆组成的系统，一阶倒立摆系统的结构示意图如下：图 2 一阶倒立摆系统的结构示意图定义的参数为： 小车质量 M摆杆质量 m小车摩擦系数 b第 8 页摆杆惯量 I加在小车上的力 F小车位置x摆杆与垂直向上方向的夹角摆杆转动轴心到杆质心的长度l摆杆与垂直向下方向的夹角（摆杆初始位置
9、为竖直向下）得到小车和摆杆的受力图：图 3 小车和摆杆的受力图2.2 数学模型的建立运用牛顿定理分析受力得到下列方程：（2-1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：第 9 页（2-2）求导得到：（2-3）代入第一个方程得到：（2-4）在摆杆垂直方向上的合力进行分析得到方程：（2-5） 即：（2-6）力矩平衡方程：（2-7）又因为 为摆杆与垂直向下方向的夹角（摆杆初始位置为竖直向下） ， 为摆杆与垂直向上方向的夹角，由 和 关系得合并这两第 10 页个方程，约去 P 和 N，得到第二个运动方程：（2-8）微分方程的建立：因为 ，假设 impulse(A,B,C,D）第 15 页0123
10、4x 1027To: Out(1)0 2 4 6 8 10 12012345x 1028To: Out(2)Impulse ResponseTime (sec)Amplitude图 4 系统脉冲响应由图可得，系统在单位脉冲的输入作用下，小车的位移和摆杆的角度都是发散的，同时，由以上程序的零极点得极点有一个大于零，因此系统不稳定。3.2 对系统的稳定性进行分析：A= 0 1 0 0; 0 -0.181818 2.672727 0; 0 0 0 1; 0 -0.454545 31.181818 0;B= 0 1.818182 0 4.545455;C= 1 0 0 0; 0 0 1 0;D= 0
11、0 ; Qc=ctrb(A,B); Qo=obsv(A,C); rank(Qc)第 16 页ans =4 rank(Qo)ans =4因此系统为完全能观测和完全能控的。4状态反馈控制器的设计4.1 反馈控制结构设系统为 CxyBuA，其中 x，u，y 分别为 n 维状态变量，m 维输入向量和 p 维输出向量；A,B,C 分别为 n*n，n*m ，p*n 矩阵当将系统的控制量 u 取成状态变量的线性函数 u=v+Kx称之为线性直接状态反馈，其中 v 为 m 维参考输入向量， K为 m*n 矩阵，成为反馈增益矩阵。得到采用状态反馈后闭环系统的状态空间方程为：第 17 页CxyBvKA)(得出结论引
12、入状态反馈后系统的输出方程没有变化，状态反馈将开环系统方程式中的系数矩阵 A，变成了闭环系统状态方程中的（A+BK ） ，特征方程从 detI变为了 )(detBKAI，可以看出状态反馈后闭环系统的系统特征跟不仅与系统本身的结构参数有关，而且与状态反馈增益矩阵 K 有关，正是利用这一点进行配置。4.2 单输入极点配置控制系统的品质很大程度上取决于系统的闭环极点在复平面上的位置，因此在对系统进行综合讨论是，往往给出一组期望的极点，或根据时域指标提出一组期望的极点，所谓极点配置问题就是通过对反馈增益矩阵的设计，使闭环系统的极点处于复平面所期望的位置，以获得理想的动态特性。由于用状态反馈对系统进行极
13、点配置只涉及系统的状态方程，与输出方程无关，因此设系统的状态方程为 buAx其中， ).,(321n是由 n 个复数组成的集合，如果 A中的复数总是共轭成对出现，则称 A 为对称复数集合，对于任意对称复数集合，如果存在状态反馈U=kx+v其中，k 为 1*n 常数阵，再次反馈作用下，闭环系统为第 18 页bvxkAx)(的极点集合为 A，即)(责成系统用状态反馈能任意配置极点，k 称为反馈增益阵设计状态反馈控制器设计要求：当在小车上施加 1N 的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于 5 秒（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于 0.1 弧度由 st4得， snt.又因为 %1
14、7.3)(21e所以得到 85.0， 8.5.01又因为配置极点 2,1njK，nK)(4,3所以得到期望的闭环极点为： 63.012,j， 94,因此特征方程为： 135.874.120)()(234 43243 sss asa由系统的特征方程：第 19 页43214432100.8.67.5.811.5sIAsasassss求变换阵 T，因为 ,32BAQc,得到3192.856.142.054. 48.0.3.81. cQ于是根据公式有018.01.38R所以得到变换矩阵 T 20.9.0.012. 4T所以得到 8.19,64.,13,1234 adadk所以求得状态反馈增益为kTK第
15、 20 页K =-2.5401 -4.3012 33.9233 6.0805因此所求的状态反馈为U=kx+v=-2.54 -4.30 33.92 6.08x+v4.3 利用 MATLAB 编写程序A= 0 1 0 0; 0 -0.181818 2.672727 0; 0 0 0 1; 0 -0.454545 31.181818 0;B= 0 1.818182 0 4.545455;C= 1 0 0 0; 0 0 1 0;D= 0 0 ;J=-9 0 0 0;0 -9 0 0;0 0 -1+0.63i 0;0 0 0 -1-0.63i;pa=poly(A);pj=poly(J);Qc=B A*B
16、 A2*B A3*B;F=pa(4) pa(3) pa(2) 1;pa(3) pa(2) 1 0;pa(2) 1 0 0;1 0 0 0;T=Qc*FK=pj(5)-pa(5) pj(4)-pa(4) pj(3)-pa(3) pj(2)-pa(2)*inv(T)Ac=(A-B*K);Bc=B;Cc=C;Dc=D;sys=ss(Ac,Bc,Cc,Dc);Tc=0:0.005:5;y,Tc,X=impulse(sys,Tc);plot(Tc,X(:,1),-);hold on;plot(Tc,X(:,2),-.);hold on;plot(Tc,X(:,3),:);hold on;plot(Tc,
17、X(:,4),-)legend(小车位置曲线 ,小车速度曲线,摆杆角度曲线,摆杆速度曲线)第 21 页T =-44.5455 -0.0000 1.8182 0-0.0000 -44.5455 -0.0000 1.8182-0.0000 -0.0000 4.5455 0-0.0000 -0.0000 -0.0000 4.5455K =-2.5401 -4.3012 33.9233 6.08050 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1012345位位位位位位位位位位位位位位位位位位位位位位位位图 5 系统脉冲响应曲线第 22 页由上图可以看出，小车位置曲线在 4S 内可以
18、很好的回到平衡位置，在脉冲干扰的情况下，小车的摆杆角度变化小于 0.1 弧度，满足设计要求。5系统的仿真研究，校验与分析5.1 使用 Matlab 中的 SIMULINK 仿真Simulink 是 MATLAB 最重要的组件之一，它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境。在该环境中，无需大量书写程序，而只需要通过简单直观的鼠标操作，就可构造出复杂的系统。Simulink 具有适应面广、结构和流程清晰及仿真精细、贴近实际、效率高、灵活等优点，并基于以上优点 Simulink 已被广泛应用于控制理论和数字信号处理的复杂仿真和设计。同时有大量的第三方软件和硬件可应用于或被要求应用于 Simu
19、link。Simulink 是 MATLAB 中的一种可视化仿真工具， 是一种基于 MATLAB 的框图设计环境，是实现动态系统建模、仿真和分析的一个软件包，被广泛应用于线性系统、非线性系统、数字控制及数字信号处理的建模和仿真中。Simulink 可以用连续采样时间、离散采样时间或两种混合的采样时间进行建模，它也支持多速率系统，也就是系统中的不同部分具有不同的采样速率。为了创建动态系统模型，Simulink 提供了一个建立模型方块图的图形用户接口(GUI) ，这个创建过程只需单击和拖动鼠标操作就能完成，它提供了一种更快捷、直接明了的方式，而且用户可以立即看到系统的仿真结果。 Simulink
20、是用于动态系统和嵌入式系第 23 页统的多领域仿真和基于模型的设计工具。对各种时变系统，包括通讯、控制、信号处理、视频处理和图像处理系统，Simulink 提供了交互式图形化环境和可定制模块库来对其进行设计、仿真、执行和测试。. 构架在 Simulink 基础之上的其他产品扩展了Simulink 多领域建模功能，也提供了用于设计、执行、验证和确认任务的相应工具。Simulink 与 MATLAB 紧密集成，可以直接访问 MATLAB 大量的工具来进行算法研发、仿真的分析和可视化、批处理脚本的创建、建模环境的定制以及信号参数和测试数据的定义。图 6 状态反馈控制器仿真图6.0805SliderG
21、ain933.9233SliderGain8-2.5401SliderGain7-4.3012SliderGain6-0.45454 SliderGain531.1818 SliderGain44.5455SliderGain32.6727 SliderGain2-0.18182 SliderGain11.8182SliderGainSignal 1SignalBuilderScope4Scope3Scope2Scope11sIntegrator31sIntegrator21sIntegrator11sIntegrator第 24 页0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-4-20246
22、810x 10-4图 7 摆杆角度变化曲线图 8 小车位置曲线第 25 页0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-50510x 10-3图 9 小车速度曲线0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.00500.0050.010.0150.020.025图 10 摆杆速度曲线采用状态反馈控制器后，系统的性能达到了设计的要求。系统能够在 4S 内达到稳定，摆杆摆动的角度也小于 0.1 弧度。第 26 页6设计状态观测器，讨论带有状态观测器的状态反馈系统的性能。6.1 观测器的设计思路：状态观测器实质上是一个状态估计器，它是利用被控对象的输入变量 U 和输出 Y 对系统的状态 x 进行
23、估计，从而解决某些状态变量不能直接测量的难题。考虑线性定常系统： CxyBuA构造的状态观测器，输入是输出 Y 和输入 U 的综合。其输出为 Z 使 0)(limz，则 Z 可以作为 X 的估计值，从而实现状态重构。为了得到估计值 Z，一个很自然的想法是用模拟部件去再实现系统式，构造系统式的模拟系统： BuAz由于上式是构造的，所以 Z 都是可测量的信息，若以 Z 去做为 X 的估计值，则其估计误差为 xze，则误差满足方程：zzAe如果上式不稳定，则当 0()xze，有,0)(limtxztz 不能作为 x 的估计值，因此上式不能作为一第 27 页个观测器。因此采取措施利用输出估计的误差 C
24、z-y 作为反馈，此时构造的动态系统： BuKzYCAz)(其中 Kz 反馈增益阵的估计误差 ez 方程为：zzee)(如果选择合适的 Kz，使得上式稳定，则有0)(limlixtzt，因此 Z 可以用为 X 的估值，因此BuKzYCA可以作为线性定常系统的一个观测器。6.2 利用 MATLAB 进行编程 A= 0 1 0 0; 0 -0.181818 2.672727 0; 0 0 0 1; 0 -0.454545 31.181818 0;B= 0 1.818182 0 4.545455;C= 1 0 0 0; 0 0 1 0;D= 0 0 ;b1=1 0 0 0;b2=0 0 1 0;E=
25、0 0 0 0;Ac=A;Cc=B;Bc=C;Dc=0;J= -2; -2; -3;-3;Z,P,K=ss2zp(Ac,b2,Cc,Dc);num,den=ss2tf(Ac,b2,Cc,Dc);num,denf=zp2tf(Z,J,K);Q=b1,Ac*b1,b2,Ac*b2;S=0 0 0 0;0 1 0 0;K1=S*inv(Q);第 28 页T=0 0 0 1*inv(Q);K11=den(:,5)-denf(:,5);K12=den(:,4)-denf(:,4);K13=den(:,3)-denf(:,3);K14=den(:,2)-denf(:,2);Ky=K11 K12 K13 K
26、14;A1=Ac+Bc*K1;Tc=T;T*A1;T*A12;T*A13;K=Ky*Tc;Kc=K1+K;E;Kz=-KcAz=A-Kz*CKz =1.0e+003 *0.0361 00.2439 -0.00100.3706 02.1456 0Az =第 29 页1.0e+003 *-0.0361 0.0010 0 0-0.2439 -0.0002 0.0037 0-0.3706 0 0 0.0010-2.1456 -0.0005 0.0312 06.3 状态观测器的仿真4.545SliderGain92.6727 SliderGain8-0.18182 SliderGain71.8182Sl
27、iderGain6-0.45454 SliderGain531.1818 SliderGain44.545SliderGain31 SliderGain202.6727 SliderGain22145.6SliderGain19 370.6SliderGain18 31.6SliderGain173.923SliderGain166.0805SliderGain15 -4.3012SliderGain14 -2.5401SliderGain13243.9SliderGain12-0.45454 SliderGain131.1818 SliderGain10 -0.18182 SliderGai
28、n11.8182SliderGainSignal 1Signal BuilderScope4Scope3 Scope2Scope11sIntegrator71sIntegrator61sIntegrator51sIntegrator41sIntegrator31sIntegrator21sIntegrator11sIntegrator第 30 页图 11 全维状态观测器系统仿真图0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.04-0.0200.020.040.060.080.1图 12 摆杆角度曲线0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.04图 13 小车位置曲线
