2017届高三数学一轮总复习 几何证明选讲（课件+试题）（打包6套）选修4-1.zip

1开卷速查(选修 4－1－2) 直线与圆的位置关系1．[2015·湖南]如图，在⊙O 中，相交于点 E 的两弦 AB，CD 的中点分别是 M，N，直线 MO 与直线 CD 相交于点 F。证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO。解析：(1)如图所示。因为 M、N 分别是弦 AB，CD 的中点，所以 OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°。又四边形的内角和等于 360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°。(2)由(1)知，O，M，E，N 四点共圆，故由割线定理即得 FE·FN＝FM·FO。2．[2015·课标Ⅰ]如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点 E。(1)若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；(2)若 OA＝ CE，求∠ACB 的大小。32解析：(1)证明：连接 AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB。在 Rt△AEC 中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE。连接 OE，则∠OBE＝∠OEB。又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，DE 是⊙O 的切线。(2)设 CE＝1，AE＝x，由已知得 AB＝2 ，BE＝ 。3 12－ x2由射影定理可得，AE 2＝CE·BE，所以 x2＝ ，即 x4＋x 2－12＝0。12－ x2可得 x＝ ，所以∠ACB＝60°。33．[2015·课标Ⅱ]如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边 BC 交于 M，N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB，AC 分别相切于 E，F 两点。(1)证明：EF∥BC；(2)若 AG 等于⊙O 的半径，且 AE＝MN＝2 ，求四边形 EBCF 的面积。3解析：(1)证明：由于△ABC 是等腰三角形， AD⊥BC，所以 AD 是∠CAB 的平分线。又因为⊙O 分别与 AB，AC 相切于点 E，F，所以 AE＝AF，故 AD⊥EF。从而 EF∥BC。3(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故 AD 是 EF 的垂直平分线。又 EF 为⊙O 的弦，所以 O 在 AD 上。如图，连接 OE，OM，则 OE⊥AE。由 AG 等于⊙O 的半径得 AO＝2OE，所以∠OAE＝30°。因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形。因为 AE＝2 ，所以 AO＝4，OE＝2。3因为 OM＝OE＝2，DM＝ MN＝ ，所以 OD＝1。12 3于是 AD＝5，AB＝ 。1033所以四边形 EBCF 的面积为 × 2× － ×(2 )2× ＝ 。12 (1033 ) 32 12 3 32 16334．[2015·陕西]如图，AB 切⊙O 于点 B，直线 AO 交⊙O 于 D，E 两点，BC⊥DE，垂足为 C。(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若 AD＝3DC，BC＝ ，求⊙O 的直径。2解析：(1)证明：因为 DE 为⊙O 的直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又 BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED。又 AB 切⊙O 于点 B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA。(2)由(1)知 BD 平分∠CBA，则 ＝ ＝3，又 BC＝ ，从而 AB＝3 。BABC ADCD 2 2所以 AC＝ ＝4，所以 AD＝3。AB2－ BC2由切割线定理得 AB2＝AD·AE，即 AE＝ ＝6，AB2AD故 DE＝AE－AD＝3，即⊙O 的直径为 3。1【状元之路】2017 届高三数学一轮总复习 几何证明选讲 第二节 直线与圆的位置关系模拟试题 选修 4-1高考模拟 备考套餐加固训练 练透考点1．[2015·天津]如图，在圆 O 中， M， N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD， CE 分别经过点 M， N。若CM＝2， MD＝4， CN＝3，则线段 NE 的长为( )A. B．383C. D.103 52解析：由题意可得 CM×MD＝ AM×MB，则 2×4＝2 AM2， AM＝2。又 CN×NE＝ AN×NB，即3NE＝4×2，解得 NE＝ 。83答案：A2．[2015·广东]如图， AB 为圆 O 的直径， E 为 AB 延长线上一点，过 E 作圆 O 的切线，切点为C，过 A 作直线 EC 的垂线，垂足为 D。若 AB＝4， CE＝2 ，则 AD＝________。3解析：连接 OC，则 OC⊥ CE，则 AB＝4， CE＝2 得 OE＝ ＝4。 AD⊥ ED⇒AD∥ OC，于是3 OC2＋ CE2△ ADE∽△ OCE，于是 ＝ ⇒AD＝ ×2＝3。ADOC AEOE 64答案：33．[2016·咸阳模拟]如图，已知△ ABC 的∠ BAC 的平分线与 BC 相交于点 D，△ ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线相交于点 E，若 EB＝8， EC＝2，则 ED＝________。2解析：根据切割线定理可得∠ ABC＝∠ EAC。因为线段 AD 为∠ BAC 的角平分线，所以∠ BAD＝∠ DAC。又∠ ADE＝∠ ABC＋∠ BAD，则可以得到∠ ADE＝∠ EAD，即△ ADE 为等腰三角形，则有 DE＝ AE，在△ ACE 和△ ABE 中，因为∠ EAC＝∠ ABC 且∠ AEC＝∠ AEB，所以△ CAE∽△ ABE，则有 ＝ ⇒AE＝4，AEBE CEAE即 DE＝ AE＝4。答案：44．[2016·西安五校联考]如图， PA 切圆 O 于点 A，割线 PBC 经过圆心 O， OB＝ PB＝1， OA 绕点O 逆时针旋转 60°到 OD，则 PD 的长为________。解析：连接 AB，∵ PA 切圆 O 于点 A，且 B 为 PO 的中点，∴ AB＝ OB＝ OA，∴∠ AOB＝60°，∴∠ POD＝120°。在△ POD 中，由余弦定理知PD2＝ PO2＋ OD2－2 PO·OD·cos∠ POD＝7，∴ PD＝ 。7答案： 75．[2016·株洲模拟]如图， AD， AE， BC 分别与圆 O 切于点 D， E， F，延长 AF 与圆 O 交于另一点 G，给出下列三个结论：① AD＋ AE＝ AB＋ BC＋ CA，② AF·AG＝ AD·AE，③△ AFB∽△ ADG，其中正确结论的序号是________。3解析：由题意，根据切线长定理，有 BD＝ BF， CE＝ CF，所以 AD＋ AE＝( AB＋ BD)＋( AC＋ CE)＝( AB＋ BF)＋( AC＋ CF)＝ AB＋ AC＋( BF＋ CF)＝ AB＋ AC＋ BC，所以①正确；因为 AD， AE 是圆的切线，根据切线长定理，有 AD＝ AE。又因为 AG 是圆的割线，所以根据切割线定理有 AD2＝ AF·AG＝ AD·AE，所以②正确；根据弦切角定理有∠ ADF＝∠ AGD。又因为 BD＝ BF，所以∠ BDF＝∠ BFD＝∠ AGD。在△ AFB 中，∠ ABF＝2∠ ADF＝2∠ AGD，所以③错误。答案：①②1开卷速查(选修 4－1－1) 相似三角形的判定及有关性质A 级 基础巩固练1．如图，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BC 延长线上一点，过 A 作 AH∥BE。连接 ED 并延长交 AB于 F，交 AH 于 H。如果 AB＝4AF，EH＝8，求 DF 的长。解析：∵AH∥BE，∴ ＝ 。HFHE AFAB∵AB＝4AF，∴ ＝ ，HFHE 14∵HE＝8，∴HF＝2。∵AH∥BE，∴ ＝ 。HDDE ADDC∵D 是 AC 的中点，∴ ＝1。HDDE∵HE＝HD＋DE＝8，∴HD＝4，∴DF＝HD－HF＝4－2＝2。2．如图，在△ABC 中，D 为 BC 边的中点，E 为 AD 上的一点，延长 BE 交 AC 于点 F。若 ＝ ，求AEAD 14的值。AFAC解析：如图，过点 A 作 AG∥BC，交 BF 的延长线于点 G。∵ ＝ ，∴ ＝ 。AEAD 14 AEED 132又∵△AGE∽△DBE，∴ ＝ ＝ 。AGBD AEED 13∵D 为 BC 中点，BC＝2BD，∴ ＝ 。AGBC 16∵△AGF∽△CBF，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ 。AFFC AGBC 16 AFAC 173．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于 D，DF⊥AC 于 F，DE⊥AB 于 E，求证：(1)AB·AC＝BC·AD；(2)AD3＝BC·CF·BE。证明：(1)在 Rt△ABC 中，AD⊥BC，∴S △ABC ＝ AB·AC＝ BC·AD。12 12∴AB·AC＝BC·AD。(2)Rt△ADB 中，DE⊥AB，由射影定理可得BD2＝BE·AB，同理 CD2＝CF·AC，∴BD 2·CD2＝BE·AB·CF·AC。又在 Rt△BAC 中，AD⊥BC，∴AD 2＝BD·DC，∴AD 4＝BE·AB·CF·AC，又 AB·AC＝BC·AD。即 AD3＝BC·CF·BE。4．如图，在△ABC 中，D，F 分别在 AC，BC 上，且 AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求 AC。解析：在△ABC 中，设 AC 为 x，3∵AB⊥AC，AF⊥BC，FC＝1，根据射影定理得：AC 2＝FC·BC，即 BC＝x 2。同理：AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC，∴AF＝ 。x2－ 1在△ABC 中，过点 D 作 DE⊥BC 于 E，∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC，又∵AF⊥BC，∴DE∥AF，∴ ＝ ，DEAF DCAC∴DE＝ ＝ 。DC·AFAC x2－ 1x在 Rt△DEC 中，∵DE 2＋EC 2＝DC 2，即 2＋ 2＝1 2，(x2－ 1x ) (x22)即 ＋ ＝1，∴x＝ ，即 AC＝ 。x2－ 1x2 x44 32 32B 级 能力提升练5．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，DE＝ CD，BE 与 AD 交于点 F。12(1)求证：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF 的面积为 2，求平行四边形 ABCD 的面积。解析：(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠BAF＝∠BCD，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CEB，∴△ABF∽△CEB。(2)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF。∴ ＝ 2， ＝ 2。S△ DEFS△ CEB (DECE) S△ DEFS△ ABF (DEAB)4又 DE＝ CD＝ AB，12 12∴CE＝DE＋CD＝DE＋2DE＝3DE。∴ ＝ 2＝ ， ＝ 2＝ 。S△ DEFS△ CEB (DECE) 19 S△ DEFS△ ABF (DEAB) 14∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8。∴平行四边形 ABCD 的面积 S＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24。6．有一块直角三角形木板，如图所示，∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，AC＝4 cm，根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长。解析：如图(1)所示，设正方形 DEFG 的边长为 x cm，过点 C 作 CM⊥AB 于 M，交 DE 于 N，∵S △ABC ＝ AC·BC＝ AB·CM，12 12∴AC·BC＝AB·CM，即 3×4＝5·CM。∴CM＝ 。125∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB。∴ ＝ ，即 ＝ 。CNCM DEAB125－ x125 x5∴x＝ 。6037(1)(2)5如图(2)所示，设正方形 CDEF 的边长为 y cm，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC。∴ ＝ ，即 ＝ 。∴y＝ 。BFBC EFAC 3－ y3 y4 127∵x＝ ，y＝ ＝ ，∴x＜y。6037 127 6035∴当按图(2)的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为 cm。1271【状元之路】2017 届高三数学一轮总复习 几何证明选讲 第一节 相似三角形的判定及有关性质模拟试题 选修 4-1高考模拟 备考套餐加固训练 练透考点1．[2015·肇庆二模]如图，在△ ABC 中，∠ BAC＝90°， AD⊥ BC， DE⊥ AE， D、 E 为垂足，若AE＝4， BE＝1，则 AC＝________。解析：根据题意知 AB＝ BE＋ AE＝5，在△ ABD 与△ DBE 中，因为∠ ABD＝∠ DBE 且∠ ADB＝∠ DEB，所以△ ABD∽△ DBE，则 ＝ ⇒BD＝ ＝ ，因为 AD⊥ BD，所以 AD＝BDBE ABBD BE·AB 5＝2 ，又因为∠ ABD＝∠ CBA 且∠ ADB＝∠ BAC，所以△ ABD∽△ CBA，则 ＝ ⇒AC＝AB2－ BD2 5ADAC BDAB＝ ＝10。AD·ABBD 25×55答案：102．[2014·广东]如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上且 EB＝2 AE， AC 与 DE 交于点 F，则 ＝________。△ CDF的 面 积△ AEF的 面 积解析：由 CD∥ AE，得△ CDF∽△ AEF，于是 ＝ 2＝ 2＝9。△ CDF的 面 积△ AEF的 面 积 (CDAE) (ABAE)答案：93．[2016·西安模拟]如图所示，已知 D 是△ ABC 中 AB 边上一点， DE∥ BC 且交 AC 于E， EF∥ AB 且交 BC 于 F，且 S△ ADE＝1， S△ EFC＝4，则四边形 BFED 的面积等于________。2解析：因为 AD∥ EF， DE∥ FC，所以△ ADE∽△ EFC。因为 S△ ADE∶ S△ EFC＝1∶4，所以AE∶ EC＝1∶2，所以 AE∶ AC＝1∶3，所以 S△ ADE∶ S△ ABC＝1∶9，所以 S 四边形 BFED＝ S△ ABC－ S△ ADE－ S△EFC＝4。答案：44．[2016·湛江模拟]如图， AB∥ EF∥ CD，已知 AB＝20， CD＝80， BC＝100，则EF＝________。解析：∵ AB∥ EF∥ CD，∴ ＝ ， ＝ 。EFAB CFBC EFCD BFBC∴ ＋ ＝ ＝1，即 ＋ ＝1，EFAB EFCD CF＋ BFBC EF20 EF80∴ EF＝16。答案：165．[2016·惠州调研]已知梯形 ABCD 的上底 AD＝8 cm，下底 BC＝15 cm，在边 AB， CD 上分别取 E， F，使 AE∶ EB＝ DF∶ FC＝3∶2，则 EF＝______ cm。解析：因为 AE∶ EB＝3∶2，所以 AE∶ AB＝3∶5。所以 EP∶ BC＝3∶5。又因为 BC＝15 cm，所以 EP＝9 cm，同理 PF＝3.2 cm。所以 EF＝12.2 cm。答案：12.2