1、3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题典题精讲例 1 设变量 x、y 满足约束条件 ,632,xy则目标函数 z=2x+y 的最小值为( )A.2 B.3 C.4 D.9思路解析：首先根据条件画出不等式组所表示的平面区域,然后画出一组与 2x+y=0 平行的直线经过平移即可得到对应的最优解.如图 3-5-1,在坐标系中画出可行域ABC，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，则当(x,y)为 B点时,目标函数 z=2x+y 的最小值为 3.图 3-5-1答案：B绿色通道：根据不等式组表示的平面区域画出平面区域,写出目标函数,画出与目标函数平行的一组直线,在可行域内平行移动即可得出目
2、标函数的最大值和最小值.变式训练 1 已知 x 和 y 是正整数，且满足约束条件 ,72,10xy则 z=2x+3y 的最小值是( )A.24 B.14 C.13 D.11.5思路解析：画出可行域：如图 3-5-2 所示,易得 B 点坐标为（6，4）,且当直线 z=2x+3y 过点 B 时 z 取最大值，此时 z=24.点 C 的坐标为（3.5，1.5），当直线过点 C 时 z 取得最小值，图 3-5-2但 x，y 都是整数，最接近的整数解为（4，2），故所求的最小值为 14.答案：B变式训练 2 在约束条件 42,0,xys下，当 3x5 时，目标函数 z=3x+2y 的最大值的变化范围是(
3、 )A.6,15 B.7,15 C.6,8 D.7,8思路解析：如图 3-5-3 所示,由 .42,42syxysx两直线及与坐标轴的交点为A(2,0),B(4-s,2s-4),C(0,s),C(0,4)，图 3-5-3（1）当 3s4 时,可行域是四边形 OABC，此时，当直线经过 B 点时取最大值,且7z8.（2）当 4s5 时,可行域是OAC,此时，z max=8.答案：D例 2 画出 2x-3y3 表示的平面区域，并求出所有的正整数解.思路分析：首先把不等式转化为一个不等式组 ,32yx画出对应的平面区域,然后根据可行域找出整点.解：由于 2x-3y3 .3,2yx平面区域如图 3-5
4、-4 所示：图 3-5-4而其中的正整数解为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，2）、（2，3）共 5 组.黑色陷阱：如果不考虑等号与曲线的虚实很容易画出如图 3-5-5 所示的平面区域图：图 3-5-5从而得到正整数解为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，3）共 7 组.其错误的主要原因是没有注意到边界 y=2x-3 是虚线，从而导致后续解答的错误.变式训练 (2006 山东高考，理 11)某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 需满足约束条件 ,1293,25xy则 z=10x+10y 的最大值是( )A.80 B.85 C.9
5、0 D.95思路解析：画出可行域,如图 3-5-6 所示：图 3-5-6易得 A（5.5，4.5）.xZ,yZ,当直线 z=10x+10y 过(5,4)点时，z 取得最大值，此时z=90.答案：C例 3 已知 ,021,yx则 x2+y2的最小值是_.思路解析：画出不等式组所表示的可行域，注意式子 x2+y2的几何意义:可行域内一点 M 到坐标原点 O 的距离的平方，利用数形结合解决相关问题.由 ,021,yx画出可行域如图 3-5-7 所示，得交点 A(1，2)，B(3，4)，则 x2+y2的最小值是 5.图 3-5-7答案:5绿色通道：在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意
6、义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.应熟练掌握以下式子的几何意义：（1）形如 axby的式子，表示动点 M(x,y)和定点 N(a,b)连线的斜率 k.（2）形如 22)()(y的式子，表示动点 M(x,y)到定点 N(a,b)的距离|MN|；而(x-a)2+(y-b)2表示动点 M(x,y)到定点 N(a,b)的距离的平方，即|MN| 2.（3）形如 2|bacx的式子，表示动点 M(x,y)到直线 ax+by+c=0 的距离 d；而|ax+by+c|表示 d.黑色陷阱：混淆 x2+y2的几何意义，把它看成可行域内一点 M 到坐标原点 O 的距离.在解决相关问题时，一定先搞清式子的几何意
7、义.变式训练 1 (2006 浙江高考，文 9 理 4)在平面直角坐标系中，不等式组2,0xy表示的平面区域的面积是( )A.4 B.4 C. 2 D.2思路解析：如图 3-5-8 所示,由题知可行域为ABC，S ABC = |04|=4.图 3-5-8答案：B变式训练 2 已知点 P(x,y)的坐标满足条件 ,1,4xy点 O 为坐标原点，那么|PO|的最小值等于_,最大值等于_.思路解析：画出可行域，如图 3-5-9 所示：图 3-5-9易得 A（2，2），OA= 2.B（1，3），OB= 10.C（1，1），OC= 2.所以|OP|的最大值为 ，最小值为 .答案: 2 例 4 某工厂有甲
8、、乙两种产品，计划每天各生产不小于 15 t 的产量，已知每生产甲产品1 t 需煤 9 t，电力 4 kWh，劳动力 3 个，可获利 7 万元；每生产乙产品 1 t 需煤 4 t，电力 5 kWh，劳动力 10 个，可获利 12 万元；但每天用煤不超过 300 t，电力不超过 200 kWh，劳动力不超过 300 个，问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大？思路分析：图解法解决线性规划应用问题的步骤：审清题意；适当设出未知数x、y、z；列出含 x、y 的不等式组（即线性约束条件），列出 z=f（x，y）；利用图解法解得最优解；得出结论.解：设每天生产甲、乙两种产品分别为 x t、
9、y t，利润总额为 z 万元，则有约束条件：.15,3024,9yx目标函数为 z=7x+12y.作出约束条件的可行域如图 3-5-10 所示.图 3-5-10由图分析知，当直线 z=7x+12y 过 M 点时，z 取得最大值.解方程组 ,301254yx求得M（20,24）.z max=720+1224=428.答：每天生产甲、乙两种产品分别为 20 t、24 t 时，利润总额最大为 428 万元.绿色通道：利用线性规划来进行优化设计,解决生活中的实际问题通常有以下几种类型:第一类:给定一定数量的人力、物力资源,分析怎样合理利用这些资源,才能使收到的效益最大;第二类:给定一项任务,分析怎样安
10、排,能使完成这项任务的人力、物力资源最小,还要根据条件求最优解,有时候还要分析整数解.变式训练 (2006 四川高考，理 8)某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为a1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a2、b 2千克.甲、乙产品每千克可获利润分别为 d1、d 2元.月初一次性购进本月用原料 A、B 各 c1、c 2千克.要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大.在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 x 千克、y 千克，月利润总额为 z 元，那么，用于求使总利润 z=d1x+d2y最大的数学模型中，约束条件为( )A.0
11、211yxcbaB.02211yxcbaC.0211yxcbaD.0211yxcb思路解析：设全月生产甲、乙两种产品分别为 x 千克，y 千克，月利润总额为 z 元，那么，用于求使总利润 z=d1x+d2y 最大的数学模型中，约束条件为 .0,211yxcba答案：C问题探究问题 1 对于简单的线性规划问题,正确判断并画出不等式(组)表示的平面区域是解决问题的关键,那么判断一个不等式(组)对应的平面区域主要有哪些方法?导思：记住有关规律，利用特殊点进行检验是最有效的办法.当两点在一条直线同侧时，符号相同，两点在一条直线异侧时，符号相反.探究：(1)在平面直角坐标系中,已知直线 Ax+By+C=
12、0,坐标平面内的点 P(x0,y0).若 B(Ax0+By0+C)0,则点 P(x0,y0)在直线的上方;若 B(Ax0+By0+C)0,则点 P(x0,y0)在直线的下方.(2)对于方程中的系数 B(B0,若 B=0,则方程简单化),不外乎两种情况:B0 和 B0,则根据图形的特点可以得出以下结论:当 B0 时,Ax+By+C0 表示直线 Ax+By+C=0 上方的区域;Ax+By+C0 表示直线 Ax+By+C=0 下方的区域.当 B0 时,Ax+By+C0 -Ax-By-C0,表示直线下方的区域;Ax+By+C0 -Ax-By-C0,表示直线上方的区域.(3)在实际给出直线的条件下,由于
13、对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得的实数的符号都相同,故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),以 Ax0+By0+C 的正负情况便可判断 Ax+By+C0 或者 Ax+By+C0 表示这一直线哪一侧的平面区域,特殊地,当 C0 时,直线不过原点,通常把原点作为此特殊点.问题 2 在利用线性规划求解有关应用问题时,有时候需要根据实际情况,最优解要求是整数.那么,怎样才能正确地得出整数解?导思：在实际应用问题中,有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等),而直接根据约束条件得到的不一定是整数解.探究：通常处理的方法有两种：(1)利用约束条件画出图形,如果得出的是非整数解,进行适当地调整,可以找与所求出的最优解(非整数解)接近的整数解进行验证;(2)在直线的附近找出与此直线距离最近的整点,根据求出的结果给出最优解的整数解 .
