1、第 三 章 变 量 与 函 数 . 二 次 函 数 考 点 一 二 次 函 数 解 析 式形 如 ( 为 常 数 ) 的 函 数 当 时 是 二 次 函 数 当 时 是 一 次 函 数 . 考 点 二 二 次 函 数 的 图 象 与 性 质 . 二 次 函 数 ( ) 的 图 象 是 对 称 轴 平 行 于 轴 ( 或 与 轴 重 合 ) 的 一 条 抛 物 线 对 称 轴 是 直 线 顶 点 坐 标 是 ( ) . . 当 时 抛 物 线 ( ) 开 口 向 上 当 时 函 数 的 最 小 值 为 在 对 称 轴 左 侧 随 的 增 大 而 减 小 在 对 称 轴 右 侧 随 的 增 大 而
2、 增 大 . 当 时 抛 物 线 ( ) 开 口 向 下 当 时 函 数 的 最 大 值 为 在 对 称 轴 左 侧 随 的 增 大 而 增 大 在 对 称 轴 右 侧 随 的 增 大 而 减 小 . . 抛 物 线 ( ) ( ) 可 由 的 图 象 平 移 而 得 到 . . 抛 物 线 ( ) 与 轴 有 两 个 交 点 则 一 元 二 次 方 程 ( ) 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 . . 抛 物 线 ( ) 与 轴 只 有 一 个 交 点 则 一 元 二 次 方 程 ( ) 有 两 个 相 等 的 实 数 根 . . 抛 物 线 ( ) 与 轴 无 交 点 则 一 元 二
3、 次 方 程 ( ) 没 有 实 数 根 . 考 点 三 二 次 函 数 综 合利 用 二 次 函 数 的 图 象 和 性 质 解 决 综 合 性 应 用 问 题 主 要 有 两 个 方 面 : 一 是 解 决 一 些 实 际 问 题 二 是 解 决 几 何 背 景 下 的 综 合 应 用 问 题 . 方 法 一 正 确 理 解 和 掌 握 二 次 函 数 的 概 念 、 图 象 和 性 质二 次 函 数 解 析 式 的 求 法 : ( ) 若 已 知 抛 物 线 上 三 点 的 坐 标 则 可 采 用 一 般 式 ( ) 利 用 待 定 系 数 法 求 得 的 值 ( ) 若 已 知 抛 物
4、 线 的 顶 点 坐 标 或 对 称 轴 方 程 则 可 采 用 顶 点 式 ( ) ( ) 其 中 顶 点 坐 标 为 ( ) 对 称 轴 为 直 线 ( ) 若 已 知 抛 物 线 与 轴 的 交 点 的 横 坐 标 则 可 采 用 交 点 式 ( ) ( ) ( ) 其 中 与 轴 的 交 点 坐 标 为 ( ) ( ) . 例 如 图 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 矩 形 的 顶 点 ( ) ( ) . 将 矩 形 绕 原 点 按 顺 时 针 方 向 旋 转 得 到 矩 形 . 设 直 线 与 轴 交 于 点 与 轴 交 于 点 抛 物 线 经 过 点 、 、 . 解 答 下 列
5、 问 题 : ( ) 设 直 线 的 函 数 解 析 式 为 求 ( ) 求 抛 物 线 的 函 数 解 析 式 ( ) 在 抛 物 线 上 求 出 使 矩 形 的 所 有 点 的 坐 标 . 解 析 ( ) 四 边 形 是 矩 形 ( ) ( ) ( ) . 根 据 题 意 得 ( ) . 把 ( ) ( ) 代 入 中 得 解 得 . ( ) 由 ( ) 得 直 线 的 函 数 解 析 式 为 ( ) ( ) . 设 抛 物 线 的 函 数 解 析 式 为 ( ) . 把 ( ) ( ) ( ) 代 入 得 解 得 . 抛 物 线 的 函 数 解 析 式 为 . ( ) 矩 形 . 又 点
6、 到 所 在 直 线 的 距 离 为 . 点 的 纵 坐 标 为 或 . 令 即 解 得 . ( ) ( ) . 令 即 解 得 . 年 中 考 年 模 拟 ( ) ( ) . 满 足 条 件 的 所 有 点 的 坐 标 为 ( ) ( ) ( ) ( ) . 方 法 二 二 次 函 数 与 一 元 二 次 方 程 及 不 等 式 的 问 题函 数 与 方 程 函 数 与 不 等 式 可 以 互 相 转 化 灵 活 运 用 . 例 ( ) 二 次 函 数 的 图 象 如 图 若 一 元 二 次 方 程 有 实 根 则 的 最 大 值 为 ( ) . . . . ( ) 已 知 函 数 当 时
7、的 变 化 范 围 为. 解 析 ( ) 有 实 根 相 当 于 的 图 象 与 轴 有 交 点 . 结 合 题 图 可 知 . 故 选 . ( ) 抛 物 线 的 对 称 轴 是 直 线 当 时 最 小 . 当 时 当 时 . 于 是 由 二 次 函 数 的 性 质 可 知 当 时 当 . 解 : 设 则 是 的 二 次 函 数 . 抛 物 线 开 口 向 上 . 当 时 解 得 . 由 此 得 二 次 函 数 的 大 致 图 象 如 图 所 示 . 观 察 函 数 图 象 可 知 : 当 时 . 的 解 集 是 . ( ) 观 察 图 象 直 接 写 出 一 元 二 次 不 等 式 : . 解 析 ( ) 时 . 的 解 集 是 . 方 法 总 结 用 图 象 法 确 定 不 等 式 的 解 一 般 应 先 确 定 相 应 图 象 与 轴 的 交 点 然 后 观 察 图 象 的 位 置 确 定 自 变 量 的 取 值 范 围 即 不 等 式 的 解 集 .
