1、1专题 4.3 圆周运动 考点精讲1匀速圆周运动(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心2描述圆周运动的物理量描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表：意义、方向 公式、单位线速度(v)描述圆周运动的物体运动快慢的物理量是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切 vError!Error!单位：m/s角速度( )描述物体绕圆心转动快慢的物理量中学不研究其方向 Error!Error!单位：ra
2、d/s周期( T)和转速( n)或频率( f)周期是物体沿圆周运动一周的时间转速是物体单位时间转过的圈数，也叫频率 T Error!单位：s n 的单位： r/s、r/min， f 的单位：Hz向心加速度(a)描述速度方向变化快慢的物理量方向指向圆心 aError! r 2单位：m/s 2二、 匀速圆周运动的向心力21作用效果向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小2大小F mError! m 2r mError!r mv 4 2mf2r.3方向始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力4来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几
3、个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力2轨道的确定确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置寻找与半径相关的已知量3受力分析分析物体的受力，画出物体受力示意图，利用力的合成或分解把力分解到三个方向上(1)与轨道圆垂直的方向，此方向受力平衡(2)轨道圆的切线方向，匀速圆周运动中此方向受力平衡；变速圆周运动中速度最大或最小的点，此方向也受力平衡(3)轨道圆的径向，此方向合力指向圆心即向心力，使用牛顿第二定律根据三个方向上所列方程求解三、离心现象1定义3做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动2本质做圆周运动
4、的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势3受力特点当 F mr 2时，物体做匀速圆周运动；当 F0 时，物体沿切线方向飞出；当 Frc，据 v r 可知，三点的线速度关系va vbvc，A、D 错。点评：（1）同轴转动的轮子或同一轮子上的各点的角速度大小相等。 （2）皮带传动的两轮，皮带不打滑时，皮带接触处的线速度大小相等。 （3）齿轮的齿数与半径成正比，周长=齿数相邻齿间的弧长。方法 2 解决竖直面内圆周运动的方法17诠释：竖直面内圆周运动的两个基本模型：（1）轻绳模型（2）轻杆模型。两种模型对比轻绳模型 轻杆模型常见类型均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球过最高点的临界条件
5、由 mg m Error!得 v 临 由小球能运动即可，得 v 临 0讨论分析(1)过最高点时， v， N mg mError!，绳、轨道对球产生弹力 N(2)不能过最高点时， v时， N mg mError!， N 指向圆心并随v 的增大而增大题组 5 解决竖直面内圆周运动的方法1如图所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为 R 的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为 m，人以 v1的速度过轨道最高点 B，并以 v2 v1的速度过最低点 A。求在 A、 B 两点轨道对摩托车的压力大小相差 。【答案】6 mg 【解析】在 B 点， FB mg m1
6、 解之得 FB mg，在 A 点， FA mg m2 解之得 FA7 mg，所以在 A、 B 两点轨道对车的压力大小相差 6mg。182. 一轻杆一端固定质量为 m 的小球，以另一端 O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为 R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )A小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B小球过最高点的最小速度是C小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小【答案】A 3如图甲所示，轻杆一端固定在 O 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为 R 的圆周运动小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为 F
7、，小球在最高点的速度大小为 v，其 F v2图像如图乙所示。则( )A小球的质量为Error!B当地的重力加速度大小为Error!C v2 c 时，小球对杆的弹力方向向上19D v22 b 时，小球受到的弹力与重力大小不相等【答案】AC【解析】对小球在最高点进行受力分析。(1)速度为零时， F mg0，结合图像可知：a mg0；(2)当 F0 时，由向心力公式可得： mgError!，结合图像可知：mgError! ，可知： gError!， mError! ，选项 A 正确，选项 B 错误；(3)由图像可知：bc，故当 v2 c 时，小球对杆的弹力方向向上，选项 C 正确。由向心力公式可得：
8、mg FError!，当 v22 b 时， F mg，选项 D 错误。4建造在公路上的大桥大多是凸形桥，较少是水平桥，更少有凹形桥 ，其主要原因是( )A为了节省建筑材料，以减少建桥成本B汽车以同样速度通过凹形桥时对桥面的压力要比水平或凸形桥压力大，故凹形桥易损坏C建造凹形桥的技术特别困难D无法确定【答案】B 【解析】汽车过凸形桥时处于失重状态，车体对桥的压力小于它的重力，三种桥中凸形桥所受压力最小，不易损坏，B 正确。5杂技演员表演“水流星”，在长为 1.6 m 的细绳的一端，系一个与水的总质量为m0.5 kg 的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图 5711所示，若“
9、水流星”通过最高点时的速率为 4 m/s，则下列说法正确的是（ ）( g10 m/s2)A“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出20B“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为 5 N【答案】B 【解析】水流星在最高点的临界速度 v4 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出。6如图所示，小球 m 在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是 ( )A小球通过最高点时的最小速度是B小球通过最高点时的最小速度为零C小球在水平线 ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一
10、定无作用力D小球在水平线 ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力【答案】BD 【解析】圆环外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线 ab 以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，就是外侧管壁对小球的作用力，故 B、D 正确。点评：不脱离轨道与做完整圆周运动含义不同。轻绳模型中物体能上升到圆心所在高度之上，但又不能做完整的圆周运动时，物体会在圆心上方某一位置离开轨道做斜上抛运动。方法 3 解决圆周运动周期性问题的方法诠释：由于做圆周运动的物体的运动具有周期性的特点，故涉及圆周运动的问题在没有条件约束下，常常出现多解的问题。21题组 6 解决圆周运动周期性问题的方法1为了测定子弹的飞
11、行速度，在一根水平的旋转轴杆上固定着两个薄圆盘 A、 B， A、 B 平行，相距 2 m，轴杆的转速为 3600 r/min，在薄圆盘转动不到半周的时间里，子弹穿过两盘留下两个弹孔 a、 b，测得两孔所在的半径间的夹角为 30，如图所示，则该子弹的速度是( )A360 m/s B720 m/s C1440 m/s D1080 m/s【答案】C 【解析】由于圆盘转动不到半周，由时间相等关系，Error!Error! ， 2 n，故vError! Error!Error! m/s1440 m/s。2如图所示，竖直筒内壁光滑，半径为 R，上部 A 处开有小口，在小口 A 处的正下方高度差为 h 处，
12、亦开有与 A 大小相同的小口 B.一小球以初速度 v0从小口 A 沿切线方向水平射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动，要使小球从 B 口飞出，小球进入 A 口的最小初速度 v0应为 。【答案】2 R Error! 223如图所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为 R；乙做自由落体运动，当乙下落至 A 点时，甲恰好第一次运动到最高点 B，甲物体匀速圆周运动的向心加速度的大小为 。【答案】Error! 2g 【解析】设乙下落到 A 点所用时间为 t，则对乙，满足 RError! gt2，得 t Error! ，这段时间内甲运动了 Error!T，即 Erro
13、r!T Error! 又由于 a R 2 RError! 由得， aError! 2g4如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为 R，顶部有入口 A，在 A 的正下方 h 处有出口B。一质量为 m 的小球从入口 A 沿圆筒壁切线方向水平射入圆筒内，要使小球从出口 B 飞出，小球进入入口 A 处的速度 v0应满足 。【答案】 v0 n R Error!(n1,2,3，) 【解析】该题中小球的运动轨迹是空间螺旋曲线，可将其分解为两个简单的分运动：一个是以初速度 v0在筒内壁弹力作用下做匀速圆周运动，如图甲所示；23另一个是在重力作用下做自由落体运动。因此若将圆筒沿直线 AB 展开为平面，则小球沿圆筒壁的
14、运动是平抛运动，如图乙所示。据此得小球在筒内运动的时间 tError!。由题设条件得水平方向的位移应是圆周长的整数倍，即 l v0t2 n R(n1,2,3，)。联立以上两式得 v0 n R Error!，( n1,2,3，)。5. 如图所示，直径为 d 的圆筒绕中心轴做匀速圆周运动，枪口发射的子弹速度为 v，并沿直径匀速穿过圆筒若子弹穿出后在圆筒上只留下一个弹孔，则圆筒运动的角速度为多少？【答案】 Error! v(n0,1,2,3)【解析】 子弹穿过圆筒后做匀速直线运动，当它再次到达圆筒壁时，若原来的弹孔也恰好运动到此处，则圆筒上只留下一个弹孔，在子弹运动位移为 d 的时间内，圆筒转过的角
15、度为 2n，其中 n0,1,2,3，即Error!Error!( n0,1,2,3)解得 Error!( n0,1,2,3，)点评：匀速圆周运动的多解问题常常涉及两个物体的两种运动，其一做匀速圆周运动，另一个物体做其他运动。由于这两种运动是同时进行的，因此，依据等时性建立等式求解是解答此类问题的基本思路。方法 4 解决水平面内圆周运动临界问题的方法诠释：水平面内做圆周运动的物体，其向心力可能由弹力、摩擦力等提供，常涉及绳的张紧与松弛、接触面间相对滑动、接触面分离等临界状态。题组 7 解决水平面内圆周运动临界问题的方法241绳子的一端拴一个重物，用手握住另一端，使重物在光滑的水平面内做匀速圆周运
16、动，下列判断正确的是( )A半径相同时，角速度越小绳越易断B周期相同时，半径越大绳越易断C线速度相等，半径越大绳越易断D角速度相等时，线速度越小绳越易断【答案】B 【解析】由 F m 2r 判断 A 错；由 F mError!r，判定 B 正确；由 F m Error!判定 C 错；由 F mv 判定 D 错。2如图所示，两个质量均为 m 的小木块 a 和 b(可视为质点)放在水平圆盘上， a 与转轴OO的距离为 l， b 与转轴的距离为 2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的 k倍，重力加速度大小为 g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用 表示圆盘转动的角速度下列说法正确的是(
17、 ) A b 一定比 a 先开始滑动B a、 b 所受的摩擦力始终相等C Error!是 b 开始滑动的临界角速度D当 Error!时， a 所受摩擦力的大小为 kmg【答案】AC253在光滑水平面上钉有两个铁钉 A 和 B，相距 0.1 m，长 1 m 的细线一端系在 A 上，另一端系一个质量为 0.5 kg 的小球，小球初始位置在 A、 B 的连线上的一侧如图所示，现给小球以垂直于 线的 2 m/s 的速度做圆周运动，如果细线承受最大拉力为 7 N，从开始运动到线断裂经历时间为 s。【答案】2.6 s 【解析】根据已知条件，假设绳上张力达到最大时，应满足 T mError!7 N，其中 v
18、 由于保持不变可得 v2 m/s，因此推得 RError! m联系绳长条件，球绕转半径由 1 m 逐渐减少至Error! m，之前每隔 圆心角，半径依次减少 0.1 m，即 AB 间距离，具体数值从 1 m,0.9 m,0.8 m，直至 0.3 m 为止，所以总时间tError! Error!Error!Error!Error!Error!Error! (R1 R2 R8)Error! (10.90.3)2.6(s)。4如图所示 OO为竖直转轴， MN 为固定在 OO上的水平光滑杆，有两个质量相同的金属球 A、 B 套在水平杆上， AC、 BC 为抗拉能力相同的两根细线， C 端固定在转轴 O
19、O上，当绳拉直时， A、 B 两球转动半径之比恒为 21，当转轴角速度逐渐增大时( )A AC 线先断 B BC 线先断 C两线同时断 D不能确定哪段线先断【答案】A 26【解析】选 A.旋转时， A、 B 两物体角速度相同 A B，由于 rA2 rB，因此向心力FA2 FB，两线承受能力一样，根据 FTError!， 为线与水平方向夹角，因此推得是 AC先达最大值，即 AC 先断。5如图所示，细绳一端系着质量 M0.6 kg 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量 m0.3 kg 的物体， M 的中点与圆孔距离为 0.2 m，并知 M 和水平面的最大静摩擦力为 2 N。现使此平面
20、绕中心轴线方向转动，角速度 为 ， m 会处于静止状态。( g10 m/s 2)【答案】2.9 rad/s 6.5 rad/s 【解析】设物体 M 和水平面保持相对静止，当 具有最小值时， M 有向着圆心 O 运动的趋势。所以 M 受到的静摩擦力方向沿半径向外。当静摩擦力等于最大静摩擦力时，对 M 受力分析有F Ff M Error!r， 又 F mg， 由可得 1 Error!，代入数据得 12.9 rad/s。当 具有最大值时， M 有离开圆心 O 运动的趋势。 M 受的最大静摩擦力指向圆心，对 M 受力分析有F Ff M Error!r， 又 F mg， 由得 2 Error!， 26.
21、5 rad/s所以 的范围是 2.9 rad/s 6.5 rad/s。276. 所示，水平转台上放有质量均为 m 的两个小物块 A、 B， A 离转轴中心的距离为 L， A、 B间用长为 L 的细线相连。开始时， A、 B 与轴心在同一直线上，细线刚好被拉直， A、 B 与水平转台间的动摩擦因数均为 ，求：(1)当转台的角速度达到多大时细线上开始出现张力？(2)当转台的角速度达到多大时 A 物块开始滑动？【答案】 (1)Error! (2)Error!【解析】 (1)细线上开始出现张力时， B 物块受到的静摩擦力刚好达到最大值，在此临界状态时，细线上的张力还是零。对 B 物块，由牛顿第二定律得 mg m Error!rB， rB2 L解得此时转台的角速度 1Error!Error!(2)当物块 A 刚要开始滑动时， A、 B 受到的静摩擦力都达到最大值，设此时细线上的张力为 F，根据牛顿第二定律对 A，有 mg F m Error!rA， rA L对 B，有 F mg m Error!rB， rB2 L解得 2Error!。
