1、121.2 指数函数及其性质 第一课时 指数函数及其性质指数函数的定义提出问题观察下列从数集 A 到数集 B 的对应： AR， BR， f： x y2 x； AR， B(0，)， f： x y x.(12)问题 1：这两个对应能构成函数吗？提示：能问题 2：这两个函数有什么特点？提示：底数是常数，指数是自变量导入新知指数函数的定义函数 y ax(a0 且 a1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R.化解疑难指数函数的概念中规定“ a0，且 a1”的原因(1)若 a0，则当 x0 时， ax0；当 x0 时， ax无意义(2)若 a0，且 a1.在规定以后，对于任何xR， ax都
2、有意义，且 ax0.指数函数的图象与性质提出问题问题 1：试作出函数 y2 x(xR)和 y x(xR)的图象(12)提示：如图所示：2问题 2：两函数图象有无交点？提示：有交点，其坐标为(0,1)问题 3：两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？提示：定义域都是 R；值域都是(0，)；函数 y2 x是增函数，函数 y x是减函(12)数导入新知指数函数的图象和性质a1 0 a1图 象定义域 R值域 (0，)过定点 过点(0,1)，即 x0 时， y1性 质单调性 是 R 上的增函数 是 R 上的减函数化解疑难透析指数函数的图象与性质(1)当底数 a 大小不确定时，必须分 a1 和 01
3、 时， x 的值越小，函数的图象越接近 x 轴；当 00，且 a1解析 (1)中，3 x的系数是 2，故不是指数函数；中， y3 x1 的指数是 x1，不是自变量 x，故不是指数函数；中， y3 x,3x的系数是 1，幂的指数是自变量 x，且只有 3x一项，故是指数函数；中， y x3中底数为自变量，指数为常数，故不是指数函数所以只有是指数函数(2)由指数函数定义知Error!所以解得 a3.答案 (1)B (2)C类题通法判断一个函数是否为指数函数的方法判断一个函数是不是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征：(1)底数 a0，且 a1；(2)ax的系数为 1；(3)y ax中
4、 a 是常数， x 为自变量，自变量在指数位置上活学活用下列函数中是指数函数的是_(填序号) y2( )x； y2 x1 ；2 y x； y xx；( 2) y3 ； y x13.1x解析：中指数式( )x的系数不为 1，故不是指数函数；中 y2 x1 2x，指数212式 2x的系数不为 1，故不是指数函数；中底数为 x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；中指数不是 x，故不是指数函数；中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数答案：指数函数的图象问题例 2 (1)如图是指数函数 y ax， y bx， y cx， y dx的图象，则a， b， c， d 与 1 的大小关系为(
5、 )A a0，且 a1)的图象过定点_解析 (1)由图象可知的底数必大于 1，的底数必小于1.过点(1,0)作直线 x1，如图所示，在第一象限内直线 x1 与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则 10，且 a1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y ax3 3 中，令 x3，得 y134，即函数的图象过定点(3,4)法二：将原函数变形，得 y3 ax3 ，然后把 y3 看作是( x3)的指数函数，所以当 x30 时， y31，即 x3， y4，所以原函数的图象过定点(3,4)答案 (1)B (2)(3,4)类题通法底数 a 对函数图象的影响(1)底数 a 与 1 的大小关系决定了指数函
6、数图象的“升降”：当 a1 时，指数函数的图象“上升” ；当 01，还是 0b1 时，若 x0，则 axbx1；若 xbxax0.当 1ab0 时，若 x0，则 1axbx0；若 xax1.活学活用函数 f(x) ax与 g(x) x a 的图象大致是( )解析：选 A 当 a1 时，函数 f(x) ax单调递增，当 x0 时， g(0) a1，此时两函数的图象大致为选项 A.5与指数函数有关的定义域、值域问题例 3 求下列函数的定义域和值域：解 (1)要使函数式有意义，则 13 x0，即 3x13 0.因为函数 y3 x在 R 上是增函数，所以 x0，故函数 y 的定义域为(，01 3x因为
7、 x0，所以 00 且 y11x 4(3)要使函数式有意义，则| x|0，解得 x0，所以函数 y 的定义域为(23) |x|x|x0而 y 01，则函数 y 的值域为 y|y1(23) |x| (23) (23) |x|类题通法指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是 y ax型还是 y af(x)型，前者的定义域是 R，后者的定义域与 f(x)的定义域一致，而求 y 型函数的定义f ax域时，往往转化为解指数不等式(组)(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，)，切记准确运用指数
8、函数的单调性活学活用求下列函数的定义域和值域：(1)y ；(2)y ；32x 1 19(3)y ax1( a0，且 a1)解：(1)对于任意的 xR，函数 y 2x都有意义，故函数 y 2x的定义域是(12) (12)6R.由 2x x2( x1) 211，且函数 y x在 R 上是减函数，可知函数 y(12)的值域是 .(12) 12， )(2)要使函数解析式有意义，需 32x1 0，19解得 x ，故函数的定义域是 ，函数的值域是0，)12 12， )(3)函数 y ax(a0，且 a1)的定义域是 R，值域是(0，)，故函数y ax1( a0，且 a1)的定义域是 R，值域是(1，)5.
9、利 用 换 元 法 求 函 数 的 值 域典例 (12 分)已知函数 y a2x2 ax1( a0，且 a1)，当 x0 时，求函数 f(x)的值域解题流程活学活用7求函数 y x x1 的值域(14) (12)解：令 t x，则 t0，(12)y f(t) t2 t1 2 .(t12) 34因为函数 f(t) 2 在(0，)上为增函数，所以 y(1，)，即函数的值(t12) 34域为(1，)随堂即时演练1已知 1nm0，则指数函数 y mx， y nx的图象为( )解析：选 C 由于 01，解得 a0 且 a1.(2，12)(1)求 a 的值；(2)求函数 y f(x)(x0)的值域解：(1
10、)因为函数图象过点 ，(2，12)所以 a21 ，则 a .12 12(2)f(x) x1 (x0)，(12)由 x0，得 x11，于是 00， 且 a 1) y1 x； y 2x1.(12)A0 B1C3 D4解析：选 B 由指数函数的定义可判定，只有正确2设函数 f(x) a| x|(a0，且 a1)，若 f(2)4，则( )A f(2) f(1) B f(1) f(2)C f(1) f(2) D f(2) f(2)9解析：选 A 由 f(2) a2 4，得 a ，即 f(x) | x|2 |x|，故 f(2)12 (12) f(1)3当 x0 时，函数 f(x)( a21) x的值总大于
11、 1，则实数 a 的取值范围是( )A( ，1)(1， )2 2B(1,1)C(，1)(1，)D(， )( ，)2 2解析：选 D 依题意得 a211， a22，| a| ，所以实数 a 的取值范围是2(， )( ，)2 24函数 y (00 时， y ax(01，11，且1 b0，故其图象如图所示二、填空题106已知函数 f(x)Error!则 f(2)_.解析： f(2) f(3)2 38.答案：87.图中的曲线 C1， C2， C3， C4是指数函数 y ax的图象，而 a，则图象 C1， C2， C3， C4对应的函数的底数依次是23， 13， 5， _，_，_，_.解析：由底数变化引
12、起指数函数图象变化的规律，在 y 轴右侧，底大图高，在 y 轴左侧，底大图低则知 C2的底数 C1的底数1 C4的底数 C3的底数，而 ，13 23 5故 C1， C2， C3， C4对应函数的底数依次是 ， .23 13 5答案： 23 13 58若 x1， x2是方程 2x +1的两个实数解，则 x1 x2_.(12)解析：2 x +1，(12)2 x2 1，1x x 1，1x x2 x10. x1 x21.答案：1三、解答题9求函数 y x x1 在3,2上的值域(14) (12)解： y x x1 2 x1，(14) (12) (12)x (12)令 x t，则 y t2 t1 2 ，(12) (t 12) 34对称轴为直线 t .12因为 x3,2，所以 x8，即 t8.14 (12) 14
