1、1.2.2 充要条件 第一章 1.2 充分条件与必要条件 学习目标 1.理解充要条件的意义 . 2.会判断 、 证明充要条件 . 3.通过学习 ， 弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断 . 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 充要条件的概念 pq 充要条件 (1)定义：若 pq且 qp， 则记 作 ， 此时 p是 q的充分必要条件 ， 简称充要条件 . (2)条件与结论的等价性：如果 p是 q的充要条件 ， 那么 q也是 p的 . 如果原命题为 “ 若 p， 则 q” ， 逆命题为 “ 若 q， 则 p” ， 那么 p与 q的关系有以下四种情形： 知识点二 常见的
2、四种条件与命题真假的关系 原命题 逆命题 p与 q的关系 真 真 p是 q的充要条件 q是 p的充要条件 真 假 p是 q的充分不必要条件 q是 p的必要不充分条件 假 真 p是 q的必要不充分条件 q是 p的充分不必要条件 假 假 p是 q的既不充分也不必要条件 q是 p的既不充分也不必要条件 若 AB，则 p是 q的充分条件，若 A B，则 p是 q的充分不必要 条件 若 BA，则 p是 q的必要条件，若 B A，则 p是 q的必要不充分条件 若 A B，则 p， q互为充要条件 若 AB且 BA， 则 p既不是 q的充分条件，也不是 q的必要条件 知识点三 从集合的角度判断充分条件、必要
3、条件和充要条件 其中 p： A x|p(x)成立 ， q： B x|q(x)成立 . 思考辨析 判断正误 1.若 p是 q的充要条件 ， 则命题 p和 q是两个相互等价的命题 .( ) 2.若 綈 q是 p的充要条件 ， 则 綈 p是 q的充要条件 .( ) 题型探究 例 1 (1)设 x0， y R， 则 “ xy” 是 “ x|y|” 的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 类型一 充要条件的判断 解析 分别判断 xyx|y|与 x|y|xy是否成立 ， 从而得到答案 . 当 x 1， y 2时 ， xy， 但 x|y|不成立； 若 x|y|，
4、因为 |y| y， 所以 xy. 所以 xy是 x|y|的必要不充分条件 . 答案 解析 (2)下列所给的 p， q中 ， p是 q的充要条件的为 _.(填序号 ) 在 ABC中 ， p： A B， q： sin Asin B； 若 a， b R， p： a2 b2 0， q： a b 0； p： |x|3， q： x29. 解析 在 ABC中 ， 有 A Bsin Asin B， 所以 p是 q的充要条件 . 若 a2 b2 0， 则 a b 0， 即 pq； 若 a b 0， 则 a2 b2 0， 即 qp， 故 pq， 所以 p是 q的充要条件 . 由于 p： |x|3q： x29， 所
5、以 p是 q的充要条件 . 答案 解析 反思与感悟 判断 p是 q的充分必要条件的两种思路 (1)命题角度：判断 p是 q的充分必要条件 ， 主要是判断 pq及 qp这两个命题是否成立 .若 pq成立 ， 则 p是 q的充分条件 ， 同时 q是 p的必要条件；若 qp成立 ， 则 p是 q的必要条件 ， 同时 q是 p的充分条件；若二者都成立 ，则 p与 q互为充要条件 . (2)集合角度：关于充分条件 、 必要条件 、 充要条件 ， 当不容易判断 pq及 qp的真假时 ， 也可以从集合角度去判断 ， 结合集合中 “ 小集合 大集合 ” 的关系来理解 ， 这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的
6、. 跟踪训练 1 (1)a， b中至少有一个不为零的充要条件是 A.ab 0 B.ab0 C.a2 b2 0 D.a2 b20 答案 解析 解析 a2 b20， 则 a， b不同时为零； a， b中至少有一个不为零 ， 则 a2b20. (2)“ x1” 是 “ (x 2)1x 23 (x 2)1x 1， 故“ x1” 是 “ (x 2)0(a0)的解集 .p： x A， q： x B， 若 p是 綈 q的充分不必要条件 ， 求 a的取值范围 . 解答 解答 引申探究 本例中若 p， q不变 ， 是否存在实数 a， 使 p是 綈 q的充要条件 ， 若存在 ， 求出 a的值；若不存在 ， 请说明
7、理由 . 解 p： 2 x 10， 綈 q： 1 a x 1 a， 若 p 是 綈 q 的充要条件，则 1 a 2 ，1 a 10 ，无解 . 故不存在实数 a使得 p是 q的充要条件 . 反思与感悟 由条件关系求参数的取值 (范围 )的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系 . (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式 (组 )求解 . 跟踪训练 2 若 “ x21” 是 “ x1， 所以 x1. 又因为 “ x21” 是 “ x1但 x21xy， 得 y x0. (2)充分性：由 xy0及 xy， 证明 ( 2 ) 已知 x ， y 都是非零实数，且 x y ，求证： 1x
8、 0 . 证明 ( 1 ) 必要性：由 1x yxy ，即 1x 0 . 达标检测 答案 1.“ x22 017” 是 “ x22 016” 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 答案 解析 2.a0 1 2 3 4 5 解析 a b 1 D. ab l g y 是 x y 的充要条件 4.直线 x y m 0与圆 (x 1)2 (y 1)2 2相切的充要条件是 _. m 4或 m 0 1 2 3 4 5 答案 解析 圆心 (1 , 1) 到直线 x y m 0 的距离为 2 ， 即|1 1 m |2 2 ，即 |2 m | 2
9、 ，解得 m 4 或 m 0. 解析 1 2 3 4 5 5.已知 p： 3x m0， 若 p是 q的一个充分不必要条件 ， 求m的取值范围 . 解答 由 x2 2x 30， 得 x3， q： B x|x3. p q 而 q p ， A B ， m3 1 ， m 3， 即 m的取值范围是 3， ). 解 由 3 x m 0 ，得 x m3 ， p ： A x x m3 . 1.充要条件的判断有三种方法：定义法 、 命题等价法 、 集合法 . 2.充要条件的证明与探求 (1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的 ， 在证明时要注意两种叙述方式的区别： p是 q的充要条件 ， 则由 pq证的是充分性 ， 由 qp证的是必要性； p的充要条件是 q， 则由 pq证的是必要性 ， 由 qp证的是充分性 . (2)探求充要条件 ， 可先求出必要条件 ， 再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆 ， 也可以直接求出充要条件 . 规律与方法
