1、2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一),第二章 2.4 平面向量的数量积,学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 平面向量数量积的物理背景及其定义,一个物体在力F的作用下产生位移s，如图.,思考1 如何计算这个力所做的功？,答案 W|F|s|cos .,思考2 力做功的大小与哪些量有关？,答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.,梳理,ab,|a
2、|b|cos ,ab|a|b|cos ,知识点二 平面向量数量积的几何意义,思考1 什么叫做向量b在向量a方向上的投影？什么叫做向量a在向量b方向上的投影？,|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影.,思考2 向量b在向量a方向上的投影与向量a在向量b方向上的投影相同吗？,答案 由投影的定义知，二者不一定相同.,梳理 (1)条件：向量a与b的夹角为. (2)投影,(3)ab的几何意义： 数量积ab等于a的长度|a|与 的乘积.,b在a的方向上的投影|b|cos ,知识点三 平面向量数量积的性质,思考1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区
3、别？,答案 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量.,思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？,答案 由两个非零向量的夹角决定. 当090时，非零向量的数量积为正数. 当90时，非零向量的数量积为零. 当90180时，非零向量的数量积为负数.,_，a与b同向， _，a与b反向.,梳理 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为， (1)abab0.,(3)aa 或|a|_. (4)cos _. (5)|ab| |a|b|.,|a|b|,|a|b|,|a|2,(2)当ab时，ab,1.向量数量积的运算结果是向量.( ) 2.向量a在向量b上的投影一定是正数
4、.( ),思考辨析 判断正误,答案,提示,题型探究,类型一 求两向量的数量积,解答,例1 已知正三角形ABC的边长为1，求：,解答,反思与感悟 求平面向量数量积的两个方法 (1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab|a|b|cos . 运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. (2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求ab.,跟踪训练1 已知|a|4，|b|7，且向量a与b的夹角为120，求(2a3b)(3a2b).,解 (2a3b)(3a2b) 6a24a
5、b9ba6b2 6|a|25ab6|b|2 642547cos 120672 268.,解答,类型二 求向量的模,解答,解答,引申探究 若本例中条件不变，求|2ab|，|a2b|.,解答,跟踪训练2 已知|a|1，|b|3，且|ab|2，求|ab|.,解 方法一 |ab|2(ab)2a22abb2 192ab4，ab3. |ab|2(ab)2a22abb2 192316，|ab|4. 方法二 |ab|2(ab)2a22abb2， |ab|2(ab)2a22abb2， |ab|2|ab|22a22b2212920. 又|ab|2，|ab|216，|ab|4.,类型三 求向量的夹角,解答,例3 (
6、1)设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角.,解 |n|m|1且m与n夹角是60，,ab(2mn)(2n3m)mn6m22n2,设a与b的夹角为，,解答,(2)已知非零向量a，b满足|a|b|ab|，求a与ab的夹角及a与ab的夹角.,四边形OACB为菱形，OC平分AOB，,AOC60，即a与ab的夹角为60. AOC60， AOB120，,即a与ab的夹角为30.,反思与感悟 (1)求向量的夹角，主要是利用公式cos 求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出ab的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，ab三者之间的关系，然后代入求
7、解. (2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解. (3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是0，.,解答,跟踪训练3 已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，求a与b的夹角.,解 (a2b)(ab)|a|22|b|2ab2. |a|b|2，ab2，,达标检测,1.已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为 则ab等于 A.1 B.2 C.3 D.4,答案,1,2,3,4,5,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,答案,1,2,3,4,解析,5,3.已知|a|8，|b|4，a，b120，则向量b在a方向上的投影为 A.4 B.4 C.2 D.2,解析 向量b在a
8、方向上的投影为|b|cosa，b4cos 1202.,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析 如图所示，由题意，得BCa，CDa，BCD120.,1,2,3,4,5,5.已知向量a，b的夹角为60，且|a|2，|b|1，若c2ab，da2b，求：(1)cd；,解答,解 cd(2ab)(a2b)2a22b23ab,(2)|c2d|.,解 |c2d|2(4a3b)216a29b224ab,规律与方法,1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时). 2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.,3.求投影有两种方法 (1)b在a方向上的投影为|b|cos (为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos .,
