二元函数的积分中值定理的探究.doc

1、 楚雄师范学院本科论文（设计）目录摘要 .I关键词 .IAbstractIIKey words.II前言 .11预备知识 .11.1相关定理 .12 多元函数积分中值定理的各种形式 .22.1 曲线积分中值定理的推广 .22.1.1第一型曲线积分中值定理 .22.1.2第二型曲线积分中值定理 .42.2二重积分中值定理的探究及推广 .52.3曲面积分中值定理的探究及推广 .72.3.1第一型曲面积分中值定理 .72.3.2第二型曲面积分中值定理 .7结论 .9参考文献 10致谢 11楚雄师范学院本科论文(设计)I摘要：积分中值定理是数学分析的重要定理，我们主要讨论了二元函数的曲线、重积分、曲面

2、的各种形式中值定理，而且还给出了这些定理的证明过程，最后总结出各类积分中值定理的形式.关键词：积分中值定理；第二中值定理；曲线积分中值定理；二重积分中值定理；曲面积分中值定理楚雄师范学院本科论文(设计)IIStudy on mean-value theorems for Riemann-Stieltjes integrals of functions of two variablesAbstract: Mean-value theorems for integrals are one of theorems in mathematical analysis. In this paper mea

3、n-value theorem for Riemann-Stieltjes integrals of functions of two variables are discussed. We obtain all kinds of mean-value theorems for integrals which include curvilinear, multiple and surface integrals. Finally, the proofs of mean-value theorems are given.Key words: mean-value theorem integral

4、; second mean-value theorems; curvilinear integral; multiple integrals; surface integrals楚雄师范学院本科论文(设计)1二元函数的积分中值定理的探究前言积分中值定理是微积分中的一个重要定理，主要包含一元函数及多元函数的积分中值定理，它在数学分析中占有很重要的地位.但是许多文献，对于多元函数的曲线积分、曲面积分、重积分的中值定理的探究相对较少或相对浅略.基于这个理由，我们将借鉴一元函数的第一、第二积分中值定理的研究方法及思想，在文献1-6的基础上，主要讨论二元函数的积分中值定理在曲线、曲面、重积分情形上是否成

5、立，通过研究该课题，进一步完善积分中值定理的相关理论.1 预备知识1.1 相关定理定理 1 假设 和 分别为函数 在区间 上的最大值和最小值，且 在区间5Mm()fx,ab()fx上可积，则有 ,ab()bafdM()ab成立.定理 2 (一元函数的介值性定理 ) 设函数 在闭区间 上连续.并且函数 与5 fx,()fa函数不相等.如果 是介于 和 之间的任何实数 或 ，()fb(fafb()()fafbfb则至少存在一点 ，使得0x0()fx成立，其中 .0(,)xab定理 3 (二元函数的介值性定理)设函数 在区域 上连续，若 为 中任意两5 f2DR12,PD点，且 ，则对任何满足不等式

6、 12fPf12()()fPf的实数 ，必存在点 ，使得 .0pD0定理 4 （定积分中值定理）如果函数 在闭区间 上连续，则在区间 上至少存3 ()fx,ab,ab在一个点 ，使下式bafdf()成立.楚雄师范学院本科论文(设计)2定理 5 （推广的第一积分中值定理）如果函数 在闭区间 上连续， 在 上3 ()fx,ab()gx,ab不变号，并且 在 上是可积的，则在 上至少存在一点 ，使得()gx,ab,ab()fxgdfgd()成立.定理 6 （积分第二中值定理）如果函数 在闭区间 上可积，而 在区间 上3 ()fx,ab(gx(,)ab单调，则在 上至少存在一点 ，使下式成立,ab()

7、 ()baafxgdfdgfd定义 1 设平面光滑曲线 : ，两端点为 和6 L,(),tyt(),Axy.若 在 上不变号，称曲线 关于坐标 是无反向的. 若 在 上(),Bxy()xt,Lxt,不变号，称曲线 关于坐标 是无反向的.y2 多元函数积分中值定理的各种形式受文献1,文献2的启发，本文主要对曲线积分的三种形式，二重积分及曲面积分的三种形式的中值定理进行探讨.2.1 曲线积分中值定理的推广首先对曲线积分中值定理进行探讨，在本文中只讨论曲线 : 为参C(),xtyt数方程的情形，而对于曲线 为直角坐标形式及其它形式的积分中值定理类似地可得到.C2.1.1（第一型曲线积分中值定理）定理

8、 7 如果函数 在光滑有界曲线 : 上连续，则在曲线(,)fxy(),xtyt上至少存在一点 .使C(,CfdsfS成立，其中 为曲线 的弧长，并且 .Cds证明 因为函数 在光滑有界闭曲线 上连续，所以(,)fxy22(,)(),()Cfdsfxtytytd记 ,FttG由已知条件知 在 上连续， 在 上连续且非负，则根据推广的第一积分中值定()t,()理， ， 使0,t0(,xy成2222) (,)()(,)CfxydsftttdfxtytdfS 立.即 (,)(,)CfxysfS从而命题得证.在数学分析等文献中仅仅阐述了定理 7，而对两个函数乘积的曲线积分中值定理未提到，下面我们将对其探

9、究证明,并进行推广.楚雄师范学院本科论文(设计)3定理 8 如果函数 在光滑有界曲线 上连续，1(,),fxygC(),xtyt在 上不变号，则在曲线 上至少存在一点 ，使 (,)gxyCC(,(,),xydsfgds成立.证明 由于 ，由条件知,22(,),(,()()Cfxygftxtytytd在 上不变号，则 在 上不变号， 又在(,)gxy 22()txyfxgy上连续，由此可知 在 上也连续. 由定理 7可知(),(fttt,，使得 ,有以下式子0,t0ty2 20(),(),(),()fxtygxtdfxtygxtytydt 成立.即 (,),(,)(,)CCfygsfds从而命题

10、得证.定理 9如果函数 在光滑有界闭曲线 : ,(,),fx,AB,()xtyt上连续可积， 在 上不变号,其中 , ，其中,tgmin()faMfx.则在曲线 上至少存在一点 ,把曲线 分为曲线 和曲线()xyC,ABO,1,AO,使得2OB1 2(,) (,)(,)CCACOBfxydsgxydsgyds成立.证明 由定理 8知 ，记 ，则有,fxyfx(,)fk.mkM记 1 2(,) (,)(,)CAOCOBCQkgdsmgdsMgyds是关于点 的函数.(,)Oxy(1)当 时，显然成立.0Cgds（2）当 ,(,)当 时，1则有；1(,)(,)()(,)CAOCCQkgxydsmg

11、xydskmgxyds由于 ，于是有0km1(,)(,)()(,)0A 即.1 2(,) (,)(,)COCOBCkgxydsgxydsMgxyds当 时，2则有楚雄师范学院本科论文(设计)4；1(,)(,)(,CAOCCQkgxydsMgxydskMgxyds由于 ， ，于是有0kM0,1(,)(,)()(,)0CACCsss即.1 2(,) (,)(,)OOBQkgxydmgxydgxyd（3）当 ,类似可讨论.(,)0Cxys综上由零点存在定理，则至少有一点 ，使得 ,即C0Q1 2(,) (,)(,) 0AOCOBCkgxydsgxydsMgxyds即 1 2(,) (,),Cfm从而

12、命题得证.以上给出了二元函数的第一型曲线积分中值定理的三种形式及证明，而我们仅仅讨论了曲线形如 的情形，对于直角坐标的情形，是否也能得到类似的三个定理，C(),xtyt类似可讨论.2.1.2（第二型曲线积分中值定理）第二型曲线积分中值定理定理是否成立，接下来我们对其进行探讨.如果成立，则有如下命题.函数 在光滑有向曲线 上连续，其中 为光滑有向曲线 在 轴正向上的投影，其中(,)fxyCICx符号“ ”是由曲线 的方向确定的，则在曲线 上至少存在一点 ，使得 (,)(1)(,)(,)fxydf成立. 但有如下例子，设 ,曲线 为圆，方程为 .如图 1(,)fxyC2图 1由积分的对称性知 ,可

13、得 ，而 ,故不可能存在点0CIdx(,)0fI0Cydx使（1）成立.于是第二型曲线积分中值定理在此不成立.(,)由此可见第二型曲线积分中值定理一般不成立，下面我们探讨特殊形式的第二型曲线积分中值定理.定理 10 设 ， 在定向光滑曲线 上连续，曲线 上任意一点 处与 方1(,)Pxy(,)QLL(,)xyL向一致的切线方向与 轴余弦为 ，且 在曲线 上不变号，则在 至少存在一点cos(,)xyO XY1楚雄师范学院本科论文(设计)5，使得(,)(,)(,),LLPxyQdPQxyd证明 因为 且 ， 在 上连续，(,), cosLxydxy ()(,)xyL在曲线 上不变号，由于曲线 光滑

14、，从而 在线 上连续，由定理 8知，存在(,)cosQxy,使得(,),cos(,)(,s(,)(,L LLPPdPd即 ,),L LxyQdxQxy从而命题得证.定理 11 设曲线 关于坐标 是无反向的， ， 为定义在 上的二元函数，满6 (,fy(,g足 ， 沿曲线 从 到 关于坐标 第二型可积， 在 上是可介值的，(,)fxy(,)gAB)f在 上不变号.则至少存在一点 , ,使得L(,)PAB()(L Lfxygdxfxyd成立.证明过程参考文献6.推论 1设曲线 关于坐标 是无反向的， 为定义在 上的二元函数， 在 上(,)fy(,)fxyL是可介值的.则至少存在一点 , ,使得(,

15、)PABLLfxdfdx成立.即 (,)(,)CfyfI为光滑有向曲线 在 轴正向上的投影.Ix类似的，可以推广到对坐标 的曲线积分以及空间曲线积分上的情形.y2.2 二重积分中值定理的探究及推广下面给出二重积分中值定理的三种形式.定理 12假设函数 在有界是 的面积，则在 上至少存在一点 使得(,)fxyD(,)(,)(,)Dfxydsfds成立.证明 由于函数 在闭区域 上连续，假设 在闭区域 上的最大值和最小值分(,)fxy,fxy别为 ，即 .对不等式在区域 上进行二重积分可得,MmM()DDmdsfdsM即 ,fxy其中 为闭区域 的面积，我们不妨记 .Dds Dds有 (,)mfx

16、y由于 ，将不等式除以 可得0楚雄师范学院本科论文(设计)61(,)DmfxydsM由于函数 在闭区域 上连续，由二元函数的介值性定理知，则在 上至少存在一点(,)fxy D使得 (,)1(,)(,)Dfxydsf成立.将上式两边同乘以 即可得到,Dffs从而命题得证.定理 13假设函数 在闭区域 上连续， 在 上可积且不变号，其中 是 的(,)fxy(,)gxyD面积，则在 上至少存在一点 使得D(,),(,)DDfdsfd成立.证明 不妨设 由于函数 在闭区域 上连续， 在闭区域(,)0,gxy(,)fxy(,)fxy上的最大值和最小值分别为 ，即 ,从而MmM,(,),(,)DDDdfg

17、dgxyd若 0xy则 (,),Df成立.即对任意 ,等式成立；(,)若 0Dgxyd (,),DfxygdxymM由二元函数的介值性定理，存在 .(,)使得 (,),(,)Dfxygdxyf即 (,),(,)(,)DDfxygdsfgxyd从而命题得证.定理 14假设函数 在闭区域 上连续， 在 上可积且不变号，其中 是 的,f , D面积，存在两个区域满足 , ， 在 ， 上都可积，记1212()fxy12， ,其中 .则有min(,)fxyax()Mfy(,x）楚雄师范学院本科论文(设计)71 2(,),(,),DDDfxygdsmgxydMgxyd成立.证明参照定理 9的方法及思想即可

18、以得到.2.3 曲面积分中值定理的探究及推广下面分别给出第一型曲面积分与第二型曲面积分中值定理的几种形式.2.3.1（第一型曲面积分中值定理）定理 15设 为 平面上的有界闭区域，其中 为光滑曲面 ，并且函数Dxoy(,)zxyS, 在 上连续， 在 上不变号，则在曲面 上至少存在一点 ，()fxyz(,)gzS(,)gxyS(,)使 ,(,)(,)S Sfzdfgzds 成立，其中 是曲面 的面积.A证明 因为 2(,)(,),1xyS Dfxygfxyzxyzd因为 ， 在曲面 上连续,可得(,)fxyzz 2()(,)1xyfgz在 上也连续，由于 在 上不变号，所以 在 上不变号.由D

19、,)gxyS2(,)xyyD二重积分的中值定理(定理 13)，可知存在 ,使得 ，且(,)(,2 2,(),(1 (,)1xy xyDfxyzzzdfzgzzd )(,)(,)S Sgxydsfgxs从而命题得证.推论 2 设 为 平面上的有界闭区域，其中 为光滑曲面 ，并且函数 ,在Do,zyS()fxyz上连续，在 上不变号，则在曲面 上至少存在一点 ，使S ()(,),SfxydfA成立，其中 是曲面 的面积.AS定理 16设 为 平面上的有界闭区域，其中 为光滑曲面 ，并且函数xoy(,)zxyS, 在 上连续， 在 上不变号，存在两个光滑曲面满足 ,()fxyz(,)gz(,)g 1

20、2S, 在 , 上都可积，记 ， .其中12Sf12min,fzmax(,)Mfyz,则有 1 2(,)(,)(,)(,)S SSfxyzgdgxydsgds成立.证明方法参照定理 9.在这里我们证明了第一型曲面积分的积分中值定理的几种类型，并进行了推广探究，得到了相关的定理.2.3.2（第二型曲面积分中值定理）接下来我们对第二型曲面积分的积分中值定理是否成立?以及有几种类型进行探讨.若成立，则有如下面命题.楚雄师范学院本科论文(设计)8若有光滑曲面 ，其中 是有界闭区域，函数 在 上连续，:(,)yzSzxyDyz ,fxyzS是 的投影 的面积，由此在曲面 上至少存在一点 ，使AyDS(,

21、)（2）,(,)SfdfA成立.但有如下例子，设 是 在 的部分，并取球面外侧为正，把曲面表示为参量方程S221xyz0， ， sincoxsincosz,02)（可得 2(,)sincoyzAz他们在 平面上的投影区域如图 2，yz图 2可知 ,2200(,)sincosincosSDDyzAdzddd 从而 ,取 ，(,)0f3,fx则有.254542002,sincosincos05SDfxyzddd 故曲面 上不存在一点 ，使（2）成立. 于是第二型曲面积分中值定理在此不成立.(,)由此可见第二型曲面积分中值定理一般不成立，下面我们探讨特殊形式的第二型曲面积分中值定理.定理 17 设

22、， 在定侧光滑曲面 ： ， 上连续，1(,)Fxyz(,)QxyzS(,)zxy,D在 上不变号，则在 上至少存在一点 ，使得(,)QxyzSS(,), ,S SdFQd 证明 不妨设曲面 ： ， 取上侧，曲面 上点 处外法向量()zD(,)zxy的方向角为 ， ， ，则 ，21cosxyz楚雄师范学院本科论文(设计)9(,)(,)(,)(,cosS SFxyzQdxyFxyzQdS由于 ， 在定侧光滑曲面 上连续， 在 上不变号，曲面 光滑，从(,)xyz而 在曲面 上连续不变号，由定理 15知，在曲面 上至少存在一点 ，使cosQ (,)得(,)(,)cos(,)(,)cosS Sxyzd

23、SxyzdS 又由于 ,SFQzFQ即 ()()()()S Sxyxyxyz从而命题得证.结论本论文主要介绍了二元函数的曲线、曲面以及重积分的各类积分中值定理.另外，曲线积分中值定理的坐标形式，三元及三元以上函数的积分中值定理在此论文中未进行探究，望大家继续研究这些问题，进一步完善积分中值定理.楚雄师范学院本科论文(设计)10参考文献1杜红霞.曲线积分与曲面积分中值定理J.赣南师范学院报，2006，6:1-2.2冯美强.关于积分中值定理的改进J.北京机械工业学院学报，2007,22（4）:1-4.3皱成.二重积分中值定理的改进J.石河子大学学报，2006,24（5）：1-4.4王旭光.二重积分中值定理的推广J.徐州师范大学，2007,23（4）：1-6.5华东师范大学数学系.数学分析下册M.高等教育出版社，2001:197-288.6唐国吉.第二型曲线积分中值定理J.广西民族大学，2008,23:1-6.楚雄师范学院本科论文(设计)11致谢本论文是在我的导师李云霞教授的亲切关怀和悉心指导下完成的，她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我 .在论文即将完成之际，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!