1、例 1 求下列函数的定义域:(1) 21)(xf；(2) )sinl()(xf ；(3) arcot.分析 求函数的定义域,主要是使所给函数的数学式子有意义,要注意以下几种情况:(a)分式的分母不能为零；(b)偶次根号内的式子应大于或等于零；(c)对数的真数应大于零；(d) xarcsin或 ros,其 1 x；(e)若函数的表达式由几项组成,则它的定义域是各项定义域的交集；(f)分段函数的定义域是各段定义域的并集.解 (1)要使函数 )(f有意义,应有021x, 即 21x.故所给函数的定义域是不等于 1 和 2 的所有实数.(2)要使函数 )(f有意义,应有 0sinx,解得 61.故所给
2、函数的定义域是) ,.(3)要使 xcot有意义,必须 k , 即 x Zk().要使 2arsin有意义,必须 120, 即 0.故所给函数的定义域是 且 ,2.例 2 求下列函数的值域:(1) 13xy； (2) 2xy.(1)分析 本题可用求其反函数定义域的方法来求直接函数的值域.解 由于 的反函数为yx23, 其定义域为 2y,故直接函数的值域为 )()(.(2)分析 本题可以利用不等式来求值域.解 由基本不等式, x12,所以12xy,即所求值域为 1,.例 3 设 3)e(f,求 )(xf.分析 本题是求函数的表达式,可以用凑元法或换元法.解法一 (凑元法) 因为 1eln,所以
3、1)(2xx即 eln31f,故 )0.解法二 (换元法) 令 1xu,则 1lnu,所以 2)(luf 3)0(故 n3x.例 4 下列各题中,函数 (xf和 g是否相同?为什么?(1) 2)(f, xgarcosrsin)；(2) 1x,2)1(；(3)f)(, x.分析 要判断两个函数相同,关键是要判断它们的定义域相同,并且对应法则也要相同.解 (1) 由于 )(xf的定义域为 ),(, (g的定义域为 1,.所以这两个函数不相同.(2) 由于 和 g的定义域均为 ,所以这两个函数定义域相同.但是在区间 )1,(内,它们的对应法则不相同. 所以这两个函数不相同.(3) 由于 )(xf和
4、的定义域均为 2,1,所以这两个函数定义域相同,并且在 2,内, 1恒成立,从而对应法则也相同,所以这两个函数相同.例 5 设2e)(xf, xf)(且 0)(,求 )(x及其定义域.分析 此题是考查复合函数的概念解 x2 )(, 1ln2,而 0)(, )1ln(；再求定义域: 00)l( x,即定义域为 0,(.例 6 若对任意 x,有 ff 2)(2,求 )xf.分析 此题可以用解函数方程组的方法求出 )(f.解 令 t1,则 11)( 2tttftf ,即 1)2(2f ,与原式联立,消去 f,得到 (3)xx.例 7 判断下列函数的奇偶性:(1) 1)(4xf；(2) )1ln()2
5、xxf；(3) 0, 1)(xxf.分析 要判断函数的奇偶性,只需用定义来证明.解 (1) 由于 )(f的定义域为 的全体实数,不关于原点对称,所以所给函数是非奇非偶函数.(2) 由于 xf )1ln(2x+ )1ln(2x)1ln(2= 0.得到 ff.所以所给函数是奇函数.(3) 由于 0, )(1)(xxf,即 , f )(f.所以所给函数是偶函数.例 8 单项选择题: 设xxfcosein)(, ),则 (xf是( ).(A)有界函数；(B)单调函数；(C)周期函数；(D)偶函数.分析 此题主要是考察函数的性质,用定义来分析.解 当 2nx时,只要 ,则e)2()nxf,所以 )(xf
6、无界.又,)(f显然不是单调函数,周期函数,并且很容易证明它是偶函数.所以答案是(D).例 9 单项选择题: 设 0 , )(2xxf,则( ).(A) ,)( )(2xf； (B) 0 , )2xf；(C) 0 , 2xf； (D) ,(2xf.分析 此题是考查函数及分段函数的概念.解 ,)( )(2xf 0 ,2x,答案是(D)例 10 设 )(x是 f的反函数 ,求) (xf的反函数.分析 此题关键是对反函数定义的理解解 因为 是 的反函数 ,所以 f对一切 x都成立,用 2x代 ,得到 2) (xf,由此推出 xf) 2(故) 2(xf的反函数为 2 )(x.例 11 设函数 0, )
7、(f, 0, 2)(xxg,求 xg.分析 本题是将两个分段函数复合成一个分段函数.解 首先需写出以 )(xf为自变量的函数 )(f的表达式,得到0, 2)(xffg由 )(xf的定义可知,当 0x时, ；当 时, 0)(2xf.代入 的表达式 ,得到0, 2)(xfg.例 12 单项选择题:“对任意给定的 )1,(,总存在正整数 N,当 n时,恒有2axn”是数列 nx收敛于 a的( ).（A）充分条件但非必要条件 （B）必要条件但非充分条件（C）充分必要条件 （D）既非充分条件又非必要条件分析 此题必须对数列极限的定义有深刻的了解.解 只是用来刻划 nx与 无限接近的程度的,所以选 )1,
8、0(的意义是一样的.同样,由于 是可以任意小的,所以 2也是可以任意小的 .答案是(C).例 13 用 N定义证明0 1lim3nn.分析 证明的关键是,对于任意给定的正数 ,要确实找出正整数 N,使得当 n时,0213n成立,并且在找的过程中,可以进行适当放大.证 任给 , nn21021 331 3,所以要使0213n,只需,即.因此,取 N,则当 N时,必有0213n成立.所以0 21lim3nn.例 14 用 定义证明0 4limx.分析 证明的关键是 ,对于任意给定的正数 ,要确实找出正数 ,使得当40x时,04x成立,并且在找的过程中 ,可以进行适当放大.证 任给 , 34 x(当
9、 140x时)所以要使0x,只需34x,即 .因此,取 13min,则当 时,必有x成立.所以0 4lx.例 15 求极限nni.分析 此类题目常常采用分子有理化.解 原式 nn34lim21314limn.例 16 已知0)1(li2baxx,则 a ,b .分析 此类题目实际上是计算题.解 )(li2x 0)1(li2xx,得到 01baa.例 17 求cos12limxnx.分析 这类函数的极限要注意 )s(k的等价无穷小,并且将分子适当进行化简,化简的过程中要有一定的技巧.解 n2cs )2coscs (o1 xx)3c o( xxx o( )12sns1lim 0x c2xxxcos
10、3cslim0 1)o(soli0 nnx.而 时,21k所以,原极限 202020)(lim)3(li )(lim1xnxx 1612n.例 18 设 nu2cos4cos, )( Zkx,求 nuli.分析 此题只需将 n化简,并且利用重要极限来求 .解 nnnxu2sii2cos42cosnxsi.xxnnn isilimsil .例 19 求xxie12 li410分析 函数的表达式中含有绝对值符号,或指数函数的指数趋向于无穷大时,解题时必须求其求左、右极限,并判断是否相等.解 10sin1e2limsine12lim430410 xxxx,2silisili 4040 xxxx.因为
11、左、右极限存在并且相等, 1sine12 lim410xx.例 20 如果)(1 li20fx,求 xfx)(6 li0.分析 本题是已知一个函数的极限,求另一个函数的极限.解本题的关键是将所给的函数 2)(1f变形,分解出f)(6部分,而后求极限 .解 201 limxfx)(6xxfxxx lim)1( li 020xfxx )(6 lim)12(6 lim0220 13 )(6 li80xfx.故 li0fx.例 21 求极限 121e limxx.分析 求指数函数 a当 时的极限,必须区分正、负无穷.解 121 lixx, 0e xx.故原极限不存在.例 22 求极限 xx1cos2i
12、n lm.分析 此极限为 1型,可以化为重要极限来求 . 解 令t,则有 ttxx 10 cosin2t lcos2inl 1)-(it1limt-i1-costin20 t 2tcoslimtltcosn2 00ttt2ei lxx.例 23 已知极限8 lixxa,问 ?分析 此极限为 1型,可以转化为重要极限来求 .解 axxxx aa 31 lim3 li2 lim而 x3li. 所以,原极限= 8e3a.故 2ln81a.例 24 求极限 )1ln(cos(i3 lm20xx.分析 将有不等于零的极限分离出来,并且用等价无穷小替代.解 )1ln(cossi3 lm)co( li)l(
13、cs1(in l 20020 xxxx 1sn3lim )o( li 200xx 23)0( )colisli21 200 xx.例 25 单项选择题: 时,变量 x1sin2是( ).(A)无穷小量 (B)无穷大量(C)有界的,但不是无穷小量 (D)无界的,但不是无穷大量分析 此题主要是区分无穷大量与无界变量.解 答案是(D).因为,取 21nx, 时, 0x.而此时2six,但是,取 n21, 时,仍有 0x.而此时0six.所以, x时,变量12不是无穷大量,更不可能是无穷小量,而是无界变量.例 26 设 0a, 1x,21 ,) (21nxann,证明数列 nx收敛,并求数列 n的极限
14、.分析 此题关键是用单调有界数列有极限这个准则来证明.证 由于 axaxnnn ) (21.并且02 1 nnn得到:数列 nx单调递减有下界 ,从而数列 x有极限.记 nlim.在等式) (21nna两边取极限得到 :) (21xa解得 ,xa(舍去,因为 0n).故 nlim.例 27 设 10, nnx6, ),21(,试证数列 nx的极限存在,并求此极限.分析 此类题目应该采用极限存在准则进行证明.证:(1)有界性： 31x,设 n,则 361nn,由归纳法可知,对一切 n,有3nx,即数列 n有下界；(2)单调减少： 124,设 1nx,则nnnx16,由归纳法可知,数列 nx单调减
15、少；故数列x极限存在；(3)设 lxnlim,对 nn1,令 ,得 ll6,由 0,解得 3l.例 28 单项选择题:数列 n和 y满足 0liny,则下列断言正确的是 ( ).（A）若 x发散 ,则 必发散；（B）若 n无界 ,则 n必无界；（C）若 有界 ,则 y必为无穷小；（D）若 nx1为无穷小,则 n必为无穷小.分析 本题考查的是无穷小量与有界变量的性质.解 (A)不成立.只需举一反例 .如nx)1(,y时,虽然 nx发散,并且0nyx.但是 ny不发散；(B)不成立.因为两个无界变量之积不可能是无穷小量.(C)不成立.只需举一反例.如 0, yn时,虽然 nx有界,并且 0ny.但
16、n不是无穷小；(D)成立.1limli nnxy.所以,答案是(D).例 29 证明 3)21(li1nn.分析 利用两边夹定理来证明此题.证 因为 nn11)2()0(3 nn13)3(.由于 ,3limn所以,根据两边夹定理有 3)21(lim1nn.例 30 已知4cos)li0xfx,求xxf1 0( li.分析 本题是已知一个函数的极限,求另一个函数的极限.解本题的关键是将所给的函数适当变形,分解出xf1 )( 部分,而后求极限.解 xcoslim0 4)(li220fx,2)(lim0xf,于是0)(li0xf,xxf1 0)( li2)()( 0 e li2xff.例 31 求
17、2coslix.分析 将分子拆开,并且用等价无穷小来替换.解 分子 )1()1(cos1s 2xx202020 limlicolimxxxx 而 )( ,)(s. 12li1li1coli 02020 xxxx.例 32 设 )(m)(1ff ,其中 )(f存在,求 )(xf.分析 两边求极限即可.解 设 afxli1,则 axxf2,令 1,得 a2,a,故 )(2.例 33 若函数 0 ,sinxaefx在 ,上连续,求 的值 .分析 本题只需根据连续的定义做.解 )(lim)0(xffaxea12sinl0eaxx 12snli20,2.例 34 讨论函数 )1/()(xf的间断点及其类
18、型.分析 只需用定义判断间断点的类型.解 间断点为 x及 0,0)(lim1xf, 1)(li1xf,所以 x为(第一类)跳跃间断点；0,所以 为(第二类)无穷型间断点.例 35 设函数 nnf2 lim(,讨论 )(f的间断点.分析 因为极限中有两个变量,而 是真正的变量,在极限过程中 x是常量.解本题的关键是先求出 )xf,再讨论连续性.解 当 1时, 0(f,当 时, x1),当 x时, f,当 时, (,而 0)1(f, 2), 0)(f, 0)1(f.所以, 的间断点为 1,是第一类间断点.例 36 设函数 (xf在闭区间 ,上连续,并且在 ,上,都有 1)(xf,证明在,0上至少存
19、在一点 ,使得 ).分析 构造一个连续函数,利用连续函数的零点定理进行证明.证 令 fF)(, ( f在 1,0上连续, )( xF在 ,0上也连续,如果(1) 0或 1,则结论显然成立.(2) 且 ,则有 )f, 01)(f,所以,根据连续函数的零点定理,必定存在一点 ,(,使得 (.即)(f.所以 .根据(1)及(2)可知,必定在 1,0上至少存在一点 ,使得 )(f.例 37 设函数 )(xf在区间 ) a上连续,并且 6limxx,证明: )(xf在区间), a上有界.分析 要利用连续函数的最值定理及极限的性质来证明.证 因为 6)(limfx,所以,对于 01, aX ,当 时,必定有16)(xf,即 75,从而有 7 )(xf.又因为函数 )(f在区间 a上连续,所以 )(f在区间 1, 上连续.由闭区间上连续函数的最值定理, Xc,使得 c在区间 上满足 )(cfxf.故,取 7,)(maxfM,则当 , 时,有 Mx,即 )(xf在区间 ) , a上有界.
