1、 数字图像处理论文学院：_专业：_学号：_姓名：_指导教师：_年 月 日基于改进二进制小波变换的图像边缘检测算法的研究胡阳(北京科技大学信息工程学院,北京 100083) 摘 要:针对传统二进制小波变换在图像边缘检测应用中的不足,提出了基于改进二进制小波变换的图像边缘检测算法. 该算法首先按水平、垂直和对角方向对图像进行改进的多尺度二进制小波变换,提取三个方向的小波系数. 然后采用相邻尺度小波系数相乘的方法去除图像的噪声,再对去噪后的小波系数乘积极大值点进行检测. 最后将这3 个方向上的极大点进行融合,形成图像的边缘.关键词:二进制小波变换;边缘检测;小波系数相乘Abstract : In v
2、iew of t he shortage of t raditional dyadic wavelet transform on the application of edge detection for image , the edge detection algorit hm is presented based on improved dyadic wavelet transform for image in the paper . The processes of the algorit hm are as follows : firstly improved multiscale d
3、yadic wavelet transform is utilized with horizontal , vertical and diagonal directions respectivelyto obtain wavelet coefficient s of the three orientations. Secondly the met- hod of coefficients multiplication of wavelets in adjacent scales is applied to remove noise and to take out the maxima of t
4、he wavelet coefficients product after denoising. Lastly merge the maximum points of the three directions to conform the image edges.Key words :dyadic wavelet transform ; edge detection ; wavelet coefficients multiplication.图像边缘是图像的基本特征之一，它存在于目标与背景、目标与目标、区域与区域、基元与基元之间1 .。图像的边缘检测是数字图像处理、图像分析和机器视觉领域的重要
5、的研究内容。在图像中，灰度值的突变点一般位于重要目标的边界上，边缘检测就是要找出这些突变点。目前广泛使用的图像边缘检测算法有:Sobel 、Priwt t 、Canny、Laplacian 等,这些算法的核心思想是假设边缘点对应于原始图像灰度级梯度的局部极值点。但是当图像含有噪声时，这些算法对噪声非常敏感，常常会把噪声当做边缘点一并检测出来，而真正的边缘由于噪声的干扰也可能被漏检。为此,Marr 2 提出了首先对原始图像用Gauss函数作平滑，然后再用Laplacian 算子作用于平滑后的结果用提取零交叉的方法提取边缘，这就是著名的LOG 边缘检测算法 。LOG边缘检测算法的优点是可以对噪声进
6、行很好地去除，缺点是可能将原有的边缘也给平滑了,这不利于真正的边缘检测。小波变换被誉为分析信号的数学显微镜，在时频两域上有突出信号局部特征的能力和进行多分辨率分析的能力，已经成功地应用在图像边缘检测领域。文献 3 中给出的算法虽然有较强的去噪能力和较好的边缘检测效果，但算法比较复杂,计算量也比较大。 因此，如何使图像边缘的算法既简单又能更好地消除噪声对边缘检测的影响，目前仍然是研究的热点问题。文献 4-5 给出了利用快速二进制小波变换对图像进行多尺度的小波分解，然后，对各尺度下的小波系数进行融合直接确定图像的边缘。他们的算法虽然具有算法简单、易于编程实现等特点，也有过扼杀边缘小波系数的可能。
7、针对文献 4-5 算法中的不足，笔者提出了一种基于改进二进制小波变换的图像边缘检测算法，该算法在很好地提取图像边缘的同时，也能有效地去除图像的噪声，大大地减少了噪声对图像边缘的影响。1 小波变换的图像边缘检测原理设 ( x , y) 是二维平滑函数,将其沿x , y 两个方向的一阶导数作为两个基本小波:取尺度为二进制序列 2j j Z ,对1 k 2 及u = ( x , y) ,记:对1 k 2 标记的两个方向, f L2 ( R2 ) 在n = ( n1 , n2 ) 点的二进制小波变换为 :由式(3) 表明:W k f 反映了f 在 ( x , y) 方向上的梯度. 因此, 可得二进制小
8、波变换的梯度的模值和幅角为:利用小波变换对图像边缘的检测,就是寻找图像二进制小波变换的梯度模值沿幅角方向上的局部极大值点的集合,这就是经典的利用小波变换对图像进行边缘检测的算法. 由于小波变换的多尺度多分辨率特性与紧支性提供了描述信号局部化信息的能力,故上述边缘检测算法具有较好的边缘检测特性,但该算法也具有运算量比较大和算法较复杂的不足. 文献4-5 给出了直接用水平、垂直和对角3 个方向上的小波系数检测图像边缘的算法,但该算法有过扼杀边缘小波系数的可能. 本文针对文献 4-5 的算法提出了一种改进二进制小波变换的图像边缘检测算法.2 改进的快速二进制小波变换2. 1 传统的快速二进制小波变换
9、一维离散正交小波变换可以很容易地推广到二维情况. 设一维尺度函数为 ( x) , 相应的小波为 ( x) ,则L2 ( R2 ) 的可分离小波正交基用尺度函数 ( x) 和小波 ( x) 的可分离乘积构造,即:以式(1) 为基础 ,Mallat 3 给出了快速的二进制小波分解算法,该算法简单叙述如下:在所有尺度上,对任意n = ( n1 , n2 ) ,记:对任意一维滤波器对y n和z n ,记乘积滤波器y z n = y n1 z n2 , y m = y - m ,记h m和g m是与小波 关联的共轭镜像滤波器. 在尺度2j + 1上的小波系数可以使用二维可分离卷积及子采样从aj 算出.
10、对任意n = ( n1 , n2 ) ,可得到如下分解公式:可分离二维卷积可因式分解成沿着图像的行和列的一维卷积, 式(3) 中的“* ”表示卷积. 即:首先aj 的行和h 、g 做卷积,并以因子2 做子采样. 然后将这两个输出图像的列分别和h、g 做卷积,再做子采样,就生成了4 个子采样图像aj + 1，aj + 2，aj + 3，aj + 4图像的快速二进制小波变换如图1 所示. 其中, j为对应的尺度; aj + 1为图像的近似表示,即为图像的低频信息; aj + 2为水平方向上的小波系数; aj + 3为垂直方向上的小波系数 ;aj + 4为对角线方向上的小波系数. 由于图像的边缘信号
11、表现为信号的不连续性,对应着图像中的高频信息,故aj + 1，aj + 2和aj + 3包含着图像的边缘信息,文献 4-5 就是利用这3 部分小波系数提取图像边缘的.2. 2 改进的二进制小波变换由图1 中可以看出,水平方向上的小波系数是信号首先经低通滤波器行变换后,再通过高频滤波器滤波的列变换得到的. 垂直方向上的小波系数是信号经高通滤波器行变换后,再通过低频滤波器滤波的列变换得到的. 因此,在获得这两个方向上的小波系数时,都有低通滤波器参与滤波平滑,如果将这两个小波系数用于边缘检测,则势必造成信号边缘信息的丢失或模糊了信号的边缘,虽然有利于信号噪声的去除,但不利于信号边缘的检测. 为此,本
12、文提出了一种适合于图像边缘检测的改进二进制小波变换,具体变换原理如图2 所示.图中, cd1j+ 1 为水平方上的小波系数; cd2j+ 1 为垂直方向上的小波系数; cd3j+ 1 为对角线方向上的小波系数. cd1j+ 1 、cd 2j+ 1和cd3j+ 1直接反映了图像的细节信息 ,利用改进后的小波系数可以很好地进行边缘检测,并且改进后的算法比传统的算法减少了一次滤波运算.本文采用的快速二进制小波变换与上述有所不同,主要区别是在进行二进制小波变换分解的时候并没有向下抽样,而是将原始分解滤波器h 和g 相邻系数间内插2j 个“0”得到尺度j 的分解滤波器hj 和gj ,然后再进行小波变换.
13、 这种变换可以得到分解后的图像与原图像有相同的大小,这样做便于后续处理.3 图像噪声的消除在获取图像时,往往含有噪声,而这部分噪声大部分符合高斯随机分布的. 噪声的存在对图像的边缘检测是极为不利的,因此在进行图像边缘检测前,应尽可能地消除图像的噪声. 由于信号在小波域内其能量主要集中于有限的几个系数中,而噪声能量却分布于整个小波域内. 小波变换的特点是能把信号的局部性规律检测出来,并用奇异指数来度量6 .则称f ( x) 在点x 0 处奇异指数为 (称为Lip schitz 指数) . 越大则函数越光滑. 已被证明,冲激函数具有负的奇异指数,高斯白噪声是一个处处奇异的随机分布,且有负的奇异指数
14、 = - 1/ 2 - , P 0. 信号的奇异指数 大于零,因此,根据 的正负,可以消除信号的噪声. 另外,理论证明白噪声的小波变换的局部极大值与尺度成反比,而信号与此正好相反. 既尺度越大,噪声的局部极大值越小,并且有近一半的噪声小波系数不能向下一尺度传递,信号的局部极大值可以向下一尺度传递,并有增大的趋势.由于计算奇异指数 的过程比较繁琐,不利于快速处理,因此,本文给出了另一种信号去噪方法. 该方法采用相邻尺度的小波系数相乘结合阈值的方法, 去除信号的噪声. 该方法的具体实现步骤见图像边缘检测算法.4 图像边缘检测算法图像边缘对应信号的奇异点,奇异点在多尺度小波变换下的极大值具有传播性,
15、而噪声的极大值随着尺度的增加而迅速地衰减. 本文描述的边缘检测算法就是在此基础上提出来的,具体的边缘检测算法描述如下:（1）利用改进的快速二进制小波变换对图像进行多尺度分解,产生aj 、cd1、cd2、cd3其中,0 j J , J为分解的级数 ,本文取J = 2.（2）按下式将相邻尺度小波系数相乘.式中“* ”表示两个矩阵的点积.（3）在不同方向上选取适当的阈值T ,对mcdkj 的小波系数进行阈值处理,去除噪声,具体算法如下:（4）将mcdk0 和mcdk1 进行相乘后开方,完成三个方向上的多尺度小波系数的融合,生成融合小波系数,即:（5）对融合小波系数mcd1 、mcd2 和mcd3 进
16、行极大值检测,得到3 个方向上的小波系数极大值点集Max1 、Ma x2 和Max 3 .(6) 将Ma x1 、Max2 和Max3 进行相或,生成图像的二值边缘,即:式中“| ”表示或运算 .(7) 对边缘像素点进行细化.5 实验结果对于图像的边缘检测,小波函数应采用反对称为好, 为此, 本文采用的是2 次B-样条小波7 . 2 次B-样条小波系数见附表所示, h( n) 表示低通滤波器系数, g ( n) 表示高通滤波器系数.实验图像采用的是Lena (256 256 8) 图像,如图3 所示,其中图3 (a) 为无噪声的原始图像;图3(b) 为含有高斯白噪声的污染图像 ,噪声的强度为:
17、 = 15. 为说明本文给出的边缘检测算法的有效性,对比较常用的Sobel 和Robert s 边缘检测算子进行了实验,并将其边缘检测结果和本文算法对图像的边缘检测结果进行了比较. 另外,为了验证在边缘检测应用中,改进二进制小波变换比传统二进制小波变换的优点,实验中还对传统二进制小波变换的小波系数利用本文算法进行了边缘检测实验. 实验结果如图4 、5 所示 . 图4 是对原始图像的边缘检测结果;图5 是对含有污染高斯白噪声图像的边缘检测结果 .本文算法是使用Matlab6. 0 软件编程,Sobel 和 Robert s 边缘检测算子采用的是 Matlab6. 0 提供的边缘检测程序,所有的程
18、序均在计算机上运行过。从实验结果可以看出,本文提出的边缘检测算法所获得的图像边缘效果明显地好于Sobel 、Robert s 边缘检测算子和利用传统二进制小波变换的小波系数得到的图像边缘,尤其对含有噪声的图像, Sobel 、Robert s 边缘检测算子对噪声非常敏感 ,抗噪性能差. 和本文给出的边缘检测算法的主要区别体现在: (1) Sobel 、Robert s 边缘检测算子不能检测出较多的边缘,即边缘信息有大量的丢失而采用本文的算法可以检测出大量的边缘信息; (2)Sobel 、Robert s 边缘检测算子对噪声比较敏感,由于噪声的影响,有些真正的边缘被漏检了,而本文算法仍然能检测出
19、较多的边缘. 另外,本文算法检测到的边缘信息量也比利用传统的二进制小波变换获得的边缘要多. 通过实验结果可以得出如下结论:本文算法具有算法简单、计算量小、能够检测出较多的边缘信息和有较好的抑制噪声的能力.参考文献: 1 郑南宁. 计算机视觉与模式识别M . 北京:国防工业出版社, 1998 :3. 2 MARR D ,HILDRETH E C. Theory of edge detectionJ . Proc Roy Soc London :B ,1980 ,207 :1872217. 3 MALLAT S , ZHANG S. Characterization of signals f ro
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