1、合力做功与动能变化关系(二)例题分析例 1 在平直公路上，汽车由静止开始作匀加速运动，当速度达到 vm 后立即关闭发动机直到停止，v-t 图像如图 5-28 所示设汽车的牵引力为 F，摩擦力为 f，全过程中牵引力做功 W1，克服摩擦力做功 W2，则 AFf=13 BFf=41 CW1W2=11 DW1W2=13分析 在 t=01s 内，汽车受牵引力 F 和摩擦力 f 共同作用作匀加速运动，设加速度为 a1由牛顿第二定律得 F-f=ma1在 t=14s 内，汽车仅受摩擦力作用匀减速滑行，设加速度为 a2，则-f=ma2由于两过程中加速度大小之比为在前、后两过程中，根据合力的功与动能变化的关系可知
2、，所以 WF=Wf1+Wf2=Wf即全过程中牵引力做功(W1=WF)和汽车克服摩擦力做功(W2=Wf)相等答 B、C说明 本题还可以从全过程考虑：因为汽车在始、末两状态都处于静止，则 Ek=0，所以整个过程中各个力做功之和 W=0即(F-f)s1-fs2=0，或 Fs1-f(s1+s2)=0于是立即可得WF=Wf，即 W1=W2 这种从全过程上考虑的方法，是动能定理的一个应用特点，尤其在 Ek=0 的情况，往往更为简捷，请加以体会例 2 质量为 m 的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内作半径为 R 的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为 7m
3、g，此后小球继续作圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为 分析 设小球通过最低点 A 的速度为 v1，绳子张力 T1=7mg在最低点时，由下式设小球恰通过最高点的速度为 v2，此时绳子张力 T2=0，正好由小球重力提供向心力，即小球由最低点运动到最高点 B 过程中，小球重力和空气阻力都对小球做负功，根据动能定理，由答 C例 3 在光滑水平面上有一静止的物体现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为 32J则在整个过程中，恒力甲做的功和恒力乙做的功各等
4、于多少？分析 物体先作匀加速运动，后作匀减速运动回到原处，整个过程中的位移为零根据牛顿第二定律和运动学公式即可确定两个力的大小关系，然后根据全过程中两个力做的功和动能的变化即可得解或者根据两个力作用时间相同、两个过程中的位移大小相等，由平均速度的大小相等找出两者末速度的关系，也可得解解 方法 1 物体从静止起受水平恒力 F 甲作用，做匀加速运动，经一段时间 t 后的速度为后回到原处整个时间内物体的位移为零由得 F 乙=3F 甲设在 F 甲作用下物体的位移为 s，对全过程用动能定理得F 甲 sF 乙 s=Ek ，即 F 甲 s 十 3F 甲 s=Ek所以，恒力甲和乙做的功分别为方法 2 设恒力
5、F 甲作用时间 t，使物体通过位移 s 后的速度为 v1，恒力 F 乙使物体回到原点的速度为 v2，作用时间也是 t前、后两段相同时间 t 内的位移大小相等，由已知 EK2=32J，故 Ek1=8J根据动能定理可知，恒力 F 甲和 F 乙做的功分别为W 甲Ek1=8J，W 乙=Ek2-Ek1=32J-8J=24J说明 本题也可以利用 v-t 图，更直观地得到启发设 F 甲作用时间 t 后物体的速度为 v1，这就是匀加速运动的末速度接着在 F 乙作用下物体作匀减速运动，物体先按原方向运动，设经时间 t0 后速度减小为零，然后反向运动因此，物体运动过程的 v-t 图如图 5-30 所示物体回到原点
6、，意味着图线上下方与 t 轴间的面积相等设甲、乙两力作用时的加速度大小分别为 a1、a2，则v1=a1t，v2=a2(t2-t0)， 又 a1t=a2t0 联立、两式得 所以两力做功之比 所以 W 甲=8J， W 乙=24J例 4 如图 5-31 所示，轻质长绳水平地跨在相距 2l 的两个小定滑轮 A、B 上，质量为 m 的物块悬挂在绳上 O 点，O 与 A、B 两滑轮的距离相等在轻绳两端 C、D 分别施加竖直向下的恒力F=mg先托住物块、使绳处于水平拉直状态，然后静止释放物块，在物块下落过程中，保持 C、D 两端的拉力 F 不变(1)当物块下落距离 h 为多大时，物块的加速度为零？(2)在物
7、块下落上述距离的过程中，克服 C 端恒力 F 做功 W 为多少？(3)求物块下落过程中的最大速度 vm 和最大距离 H分析 下落至加速度为零时，AO、BO 两绳的合力应等于重力 mg此时AOB=120于是即可算出下落距离和 C、D 两端上升距离，克服 C 端恒力的功即可求出在物块的下落过程中，AO、BO 两绳中拉力不断变化开始时，其重力大于两绳拉力的合力，物块加速下落，速度增大；当重力等于两绳拉力的合力时，下落加速度为零，速度达最大值 vmax；以后，重力小于两绳拉力的合力，物块减速下落，直至 v=0 时，达下落的最大距离 H由于物块作的是变加速运动，所以必须根据功与动能变化的关系才可求出最大距离解 (1)物块下落时受到三个力的作用：重力 mg、绳 AO、BO 的拉力 F当两绳拉力的向上合力 R 等于重力 mg 时，三力互成 120夹角由图可知，下落距离hltgltg30(2)物块下落 h 时，C、D 两端上升距离所以物块克服 C 端恒力 F 做功(3)由上面的分析可知，物块下落 h 时的速度就是最大速度根据做功与动能变化的关系得最大速度当物块下落最大距离 H 时，C、D 两端上升的距离为同理，由 mgH-2Fh0，
