1、1【新】承前启后的大学数学四川大学数学学院，马洪2010-07-20 于拉萨西藏大学2010-07-28 于成都四川大学个人简介马洪，1969 年毕业于四川大学数学系基础数学专业，现为四川大学数学学院教授、博士生导师，研究方向为随机信号处理。读书心得有人说数学是艰深的、抽象的、枯燥的；但其实数学也是简单的、直观的、有趣的。我对数学的理解数学的框架是简单的、数学的原理是直观的、数学的思想是有趣的。承前启后的大学数学1、中学数学：初等数学研究静止的、不变的各种自然现象、社会现象、工程现象的数学2、大学数学：高等数学研究运动的、变化的各种自然现象、社会现象、工程现象的数学2从初等数学到高等数学的历史
2、沿革（一）中学数学回顾：初等数学在中学数学中学习了几种初等函数，其中最简单的就是线性函数：1 一元线性函数： y = )(xfba从“一维实线性空间”到“一维实线性空间”的“线性映射”原像空间 像空间Rf(.)2 多元线性函数： Y= = Xf bxaxan21从“n 维实线性 空间”到 “一维实线性空间”的“线性映射”原像空间 像空间Rfn(.)（二）大学数学回顾：高等数学（1） 线性代数：数字信号处理的基础线性代数在做什么？其实它就做了一件事情，就是将中学的线性函数的像空间从一维扩展到多维，研究“多维实线性空间”到“多维实线性空间”的“线性映射”： ，即XTY从“n 维实线性 空间”到 “
3、m 维实线性空间”的“ 线性映射”nR(.)函数（映射）的三要素：定义域、值域、对应关系线性代数首先研究的就是线性映射的定义域和值域：它的定义域和值域都是“有穷维的向量空间” （也称有穷维线性空间） ，所以线性代数首先讲的就是有穷维向量空间的定义及性质；然后再研究对应关系：从“n 维线性空间”到“m 维线性空间”的一个线性对应关系表现出来就是一个矩阵，因此线性代数主要研究矩阵，它研究了各种各样的矩阵及其性质。所以线性代数的研究内容用一句话来说就是：研究“有穷维线性空间”到“有穷维线性空间”的“线性映射”有穷维线性空间：映射的“原像空间”和“像空间”3有穷维线性映射：矩阵（2） 泛函分析：现代信
4、号处理的理论基础！数学作为一种工具要应用到各个领域中去解决实际问题，而在实际应用中我们遇到得最多的是连续参数函数，比如语音信号、雷达信号、股市行情、气温变化。以手机通话为例，手机作为一个系统：完成语音信号与无线电信号的相互转化。因此它可以被看作为映射（或曰算子） 。如果我们把输入的一个语音信号看作一个向量的话，这个向量的维数是多少？无穷维！工程中这样的东西多了，手机、雷达、电视机、录音机，这些系统实际上都可看作我们数学上的映射：把一个无穷维的向量（信号）和另一个无穷维的向量（信号）对应起来。比如手机具有发送（把语音信号转换为无线电信号）和接受（把无线电信号转换为语音信号）两种功能，这两种功能分
5、别由两个电子信息子系统来实现，这两个子系统实际就是两个算子。我们知道，语音信号、无线电信号都是能量有限信号，用数学的语言来描述，就是平方可积函数，而平方可积函数的全体就是 空间，从而是 Hilbert 空间。所以一部手机实际上就是“Hilbert2L空间”到“Hilbert 空间” 的一个算子。如果电子信息系统是线性系统，就意味着我们的映射作为算子是线性算子，这就是为什么线性泛函分析构成了现代信号处理的理论基础的原因。如果我们也用一句话来描述线性泛函分析这门课程的主要内容，那就是：研究“无穷维线性空间”到“无穷维线性空间”的“线性映射”无穷维线性空间：线性算子的“原像空间”和“像空间”无穷维线
6、性映射：线性算子 RT.比较一下线性代数与线性泛函分析的一句话描述，我们惊奇地发现，它们是那样的相似，唯一的区别是“有”与“无” 。但失之毫厘，谬以千里，一字之差，带来的是“有穷”与“无穷”的本质区别。因此，在学习泛函分析的时候，我们要注意比较线性代数和线性泛函分析研究内容的异同：相同之处：它们共同关心的问题是映射的“线性性”不同之处：其“原像空间” 、 “像空间”分别为“有穷维”与“无穷维”典型的无穷维线性空间如，完备的线性距离空间完备的线性赋泛空间（Banach 空间）4完备的线性内积空间（Hilbert 空间）（3） 数学分析 （又称微积分 ）的基本框架、核心内容：数学分析的核心内容：用
7、“极限”这一手段，研究实函数的“连续性”和“光滑性”1函数的“连续性 ”：用 表示定义于 上的连续函数的全)(0RC),(体。2函数的“光滑性 ”：用 表示定义于 上的光滑函数的全体。)(1 ),(我们用 表示定义于 上的 m 阶可微 (m 阶光滑)(RCm),(函数的全体显然，我们有 )(0 )()(1RCm微分映射（微分算子） ： ，T)(1mT ,2积分映射（积分算子） ： ，)()(1m 定理 1 函数 黎曼积分存在的充分必要条件：函数几乎处处连续)(xf注 1 微分运算把“光滑”变“粗糙” ，故可称“微分算子”为“粗糙子” ；积分运算把“粗糙”变“光滑” ，故可称“积分算子”为“光滑
8、子” 。注 2数学分析 中映射“连续性”概念的一般化、抽象化属于拓扑学注 3数学分析 中映射“光滑性”概念的一般化、抽象化属于微分几何注 4微积分 在工程中的应用数学中的“无穷维向量” （函数） ，工程中称为“信号”5数学中的“映射” ，工程中称为“系统” ， “线性映射”对应“线性系统” ；“映射”的自变量、因变量，工程上称为“系统”的输入、输出。在电子信息理论中，可以通过电子电路搭建“微分器”和“积分器” ，也就是说，工程中对“信号” （函数）的微积分运算，可以通过电路来实现。（4） 拓扑学 （略）（5） 微分几何 （略）数学学科发展线索框架（一）研究映射的线性性、连续性、光滑性线性性 连
9、续性、光滑性线性代数 数学分析 泛函分析 拓扑学 微分几何线性性、连续性； 连续性； 光滑性线性代数：研究映射的线性性（on 实有穷维向量空间）数学分析：研究映射的连续性、光滑性（on 实有穷维向量空间）泛函分析：研究映射的线性性、连续性（on 抽象无穷维向量空间）拓扑学： 研究映射的连续性（on 抽象空间）微分几何：研究映射的光滑性（on 抽象空间）（二）研究函数（映射 ）在连续性、可测性条件下的“积分理论”数学分析 实变函数 测度论 概率论数学分析：研究“实空间” 到“实空间”的“连续函数”的积分实变函数：研究“实可测空间”到“实可测空间”的“可测函数”的积分概率论：研究“抽象可测空间”到
10、“实可测空间”的“可测函数”的积分测度论：研究“抽象可测空间”到“实可测空间”的“可测函数”的积分不同类型积分的异同6数学分析：实空间上连续函数 的黎曼积分；on 诺当测度空间)(f ),(nAR 连续函数 的黎曼积分),(nFR),(BnRdxf)(实变函数：实空间上可测函数 的勒贝格积分；on 勒贝格测度空间)(f),(mn 可测函数 的勒贝格积分FR),(1fB)(f RfRxdmfn 1)(概率论：抽象空间上可测函数 的勒贝格积分；on 概率测度空间X),(PF 可测函数 的“勒贝格积分”),(P),(1X)( RXx1)测度论：抽象空间上可测函数 的勒贝格积分；on 测度空间 ,(
11、可测函数 的“勒贝格积分”),(F),(1XBR)(f RXxd1)（三）概率论与随机过程的基本框架1、从概率论到随机过程的基本概念（1）有穷维随机向量（概率论 ）1一维随机向量：随机变量 X1,BRPF2n 维随机向量：随机向量 n,21n,由于有穷维随机向量的可测性， 在其像空间 上诱导出测度X),(nBR，即1XP1,XnXPBRF此处的测度 称为随机向量 的分布。1（2）无穷维随机向量（随机过程 ）“一族随机变量”71可数无穷维随机向量：离散参数随机过程 ,21 nXX（随机序列） ,2,1,2,1, nnXBRPF2不可数无穷维随机向量：连续参数随机过程 ),0t),0),X注 关于
12、“随机过程 ”的三种理解：1、 是一族随机变量（一元函数）：,),(TtX对任意给定 ， 1,:),(XPBRFtX2、 是一族普通实函数（一元函数）：t),(对任意给定 ， （称为随机过程的轨道）:),(3、 是一个二元函数：TtX),(BRF,:2、随机序列（按统计特性分类）（1）马尔可夫序列（马氏性，即无后效性）（2）平稳序列（平稳性）随机向量 有穷维随机向量 无穷维随机向量 )1(XntX),(（概率论 ） （随机过程 ） 可数无穷维随机向量 不可数无穷维随机向量 )1(nRt),(（离散参数随机过程） （连续参数随机过程）（随机序列） 平稳随机序列 马尔可夫随机序列 （按统计特性分类
13、）8（平稳性） （无后效性） 时间序列分析 根据“信号与系统”理论， 时间序列分析研究：将“白噪声 ”输入“线n性时不变系统 T.”的输出 “X(n)”。即 T. X(n)n输入 系统 输出根据系统的不同，经典时间序列主要研究：（1）AR(p)模型（只有反馈的模型） ；= ，这里 是白噪声， 取整数。nXTjnpjXa1nnT.为带 q 阶时延的线性时不变因果稳定系统，白噪声 为输入，X(n)为输出。n（2）MA(q) 模型（只有时延的模型） ；= nXTnjnqjb1T.为带 q 阶时延的线性时不变因果稳定系统，白噪声 为输入，X(n)为输出。n（3）ARMA(p,q)模型（既有时延，又有反馈的模型） nXjnpja1jnqjb0T.为带 p 阶反馈 q 阶时延的线性时不变因果稳定系统，白噪声 为输入，X(n)为n9输出。
