1、1广州市广铁一中等四校联考 2013 届高二下学期期中考试数学（理）（广铁一中、广大附中、广州七中、广州十六中）一选择题（每小题 5 分，共 40 分）1复数 31iz对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 c第三象限 D第四象限2.已知集合 |()24x， 2|log(1)x，则 AB等于 （ ）A （- ，5） B （-，2） C （1，2） D 2,53已知平面向量 (1,)(,)abm，且 /ab，则 m 的值为（ ）A-4 B-1 C4 D14设 ,b是两条直线， ,是两个平面，则 的一个充分条件是（ ）A /a B ,/abC ,/ D5函数 2sinco3syxx的图像的一条对称
2、轴是（ ）A B 6C 12x D 4x6. 某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的值为 31，则 a等于（ ）A. 0 B. 1C. 2 D. 37下列命题中是假命题的是 ( )A. ),0(,)(, 342 且 在是 幂 函 数使 mxxfmR上递减B 有 零 点函 数 aaln02C sicocos,使D )i(y函 数 都不是偶函数8.对于三次函数 32()(0)fxabxd，给出定义：设 ()fx是函数()yf的导数， 是 ()f的导数，若方程 (fx有实数解 0，则称点20(,)xf为函数 ()yfx的“ 拐点”。某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数
3、都有对称中心，且“拐点” 就是对称中心。设函数12531)(g23xx，则 2013.2013gg=( )A.2011 B.2012 C.2013 D.2014二填空题（每小题 5 分，共 30 分）9. 已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体， 其三视图如图，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为 ,则该几何体的体积为 10若变量 x， y满足约束条件1,236,xy则2z的最小值为 11已知抛物线 )0(2pxy的准线与圆 0542xy相切，则 P 值为 .12已知 na为等比数列，且 214,8a，则 212loga 13与直线 1l： 0ymx垂直于点 P（2，1）的直线 2l的方程
4、为 14.某单位为了制定节能减排目标，先调查了用电量 y（单位：度）与气温 x（单位：0C）之间的关系，随机统计了某 4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归直线方程 2yxb，当气温不低于 05时，预测用电量最多为 度.三解答题（共 80 分）x18310y2486315.（本小题满分 12 分）如图，角 A为钝角，且 53sinA，点 P、 Q分别是在角A的两边上不同于点 的动点.（1）若 P=5， Q = ，求 的长；（2）设 )2sin(,13cos, 求且的值.16 （本小题满分 12 分）已知实数 a0，函数 )(2)(Rxaxf有极大值 8。（）求函数 的单
5、调区间；（）求实数 a 的值。17在如图所示的四棱锥 PABCD中，已知 PA平面 ,/,90,BCDABPAD1,2,M为 的中点。（1）求证： /平 面 ；（2）求证：平面 PAC平面 B；（3）求直线 与平面 所成角的余弦值。418.（本题满分 14 分）已知椭圆2:1(0)xyCab的离心率为 12；直线 l过点 (4,0)A， (,2)B， 且与椭圆 相切于点 P.（）求椭圆 的方程；（）是否存在过点 (4,0)A的直线 m与椭圆 C相交于不同的两点 M、 N，使得2365MN? 若存在，试求出直线 的方程；若不存在,请说明理由.19.（本小题满分 14 分）已知数列 ,nab中，
6、1，且当 2n时， 10na，12nb.记 的阶乘 ()23 ！ （1）求数列 n的通项公式；（2）求证：数列 2nb为等差数列；（3）若 2nnacb，求 nc的前 n 项和. 20 （本题满分 14 分）已知函数 ()ln1)fxmx，当 0时，函数 ()fx取得极大值.（）求实数 m的值；（）已知结论：若函数 ()l)fxx在区间 (,)ab内导数都存在，且 1a，则存在 0(,)xab，使得 0(fb。试用这个结论证明：若 2x，函数 121()(ffxgfx，则对任意 12(,)x，都有 ()fg。56参考答案一选择题：DCABCDDB二填空题：9. 43 10. 3 11. 2 1
7、2. 30 13. 30xy 14.7015. 解：（1） A是钝角， sin5， 4cos5A1 分在 PQ中，由余弦定理得： 22cosPQPQA所以 2804 分解得 或 1（舍去负值） ，所以 6 分（2）由 35sin,3cos得 7 分在三角形 APQ 中， A又 in()i()si,58 分4cosco9 分i(2)si()sinco()csin()11 分6531541216 （） axaxf4)(2 .483)(2axf令 0 得 083 .,2x 3x或 a0，当 .0)(,2(),( xf时或函数 xf的单调递增区间为 ),23,和当 0)(),32(f时 ， ，函数 x
8、f的单调递减区间为 , 8 分（） )(,(xf时 0)2,3x时 ， 0)(,2xf时 (f在 时，取得极大值。 10 分7即 8)23(a 解得 .427a 12 分17. 解：解法一. （1） M是 PB的中点，取 A的中点 E，则 E2A，又 CD12 1 分四边形 为平行四边形， C/， 面 PAD， 面 PAD2 分P平 面. 3 分（2）以 A为原点， 、 AB、 所在直线为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系，4 分则 D（1，0，0） ，C（1,1，0） ，B（0，2，0） ，P（0,0，1 ） ，M （0，1, 12） ，AP（0,0，1） ， A（1,1，0） ，则面
9、 PAC 的法向量为 1n（1,1，0）5 分B（0，2,1） ， BC（1，1,0） ，则面 PBC 的法向量为 2（ 1,1，2） 6 分而 1n 2110，面 PAC面 PBC. 7 分（3）设直线 MC与平面 PA所成的角为 ， CM（1,0， 12） ， 8 分则 sin 1| 152 010 分 cos 5. 12 分解法二：（1）同上. 3 分（2）证明：PA平面 ABCD，PABC， 4 分又 AC2+BC2=2+2=AB2， ACB， 5 分 PBC平面 PAC， 6 分又 BC平面 PBC，所以平面 PAC平面 PBC； 7 分8（3）解：取 PC 中点 N，则 MNBC，
10、 8 分由（2）知 BC平面 PAC，则 MN平面 PAC所以MCN 为直线 MC 与平面 PAC 所成角，设为 ， 9 分NC 12PC 3，MC 12PB 5 11 分cos 5. 12 分18.（本题满分 14 分）解: （）由题得过两点 (4,0)A， (,2)B直线 l的方程为 240xy. 1 分因为 12ca，所以 c， 3b. -2 分设椭圆方程为214xy, 3 分由 20,3xyc消去 x得， 224130yc. -4 分又因为直线 l与椭圆 C相切,所以 22(),解得 21c. -5 分所以椭圆方程为2143xy. 6 分（）易知直线 m的斜率存在,设直线 m的方程为
11、(4)ykx， 7 分由 2()1,43ykx消去 y，整理得 222(34)610. 8 分由题意知 22()4()61)0kk，解得 . 9 分设 1(,)Mxy， 2(,)Ny， 则21234kx，21643kx. 10 分又直线 :40l与椭圆 :yC相切，9由 240,13xy解得 3,2xy，所以 (1,)P. 11 分则 254AP. 所以 645837AMN.又 221()()xyxy2214(4)kkx22()()x1212()6222631463kk22().所以 22681(1)347k，解得 4k.经检验成立. 所以直线 m的方程为 ()yx. 14 分19. 解：（1
12、） 10na, 2n， 1a3()()2na13！ 2 分又 !1a， na！ 3分（2）由 12nnb两边同时除以 2n得 12nb即 12nb 4 分数列 是以 为首项，公差为 的等差数列 5 分1()122n n，故 (1)2nb 6 分（3）因为 12 ,() nnna 8 分记 A= 313452na101111()()()()23452nAnn 10 分记 nb的前 n 项和为 nB则 0121B 2()2nnn 由-得： 0121nnn (1)2nn13 分 123nScc= ()2nAB14 分20(本题满分 14 分)解：（） (fxm. 由 (0)f，得 1m，此时 ()1xf. 2 分当 1,0)时， ()f，函数 x在区间 (,0上单调递增； 3 分当 (x时， x，函数 ()f在区间 )上单调递减. 4 分函数 )f在 处取得极大值，故 1m.5 分（）令 121()()()(fxfhxfgxxf ，6 分则 12()fff. 7 分Q函数 fx在 12(,)x上可导， 存在 012(,)x，使得 012()fff. 8 分()fx， 0001()()(1)xhxffx 9 分 Q当 10,时， 0， 单调递增， ()h； 11 分当 2()x时， ()hx， ()单调递减， 2x； 13 分故对任意 1,，都有 fgx.14 分
