1、11第二章 矩阵及其运算课后习题答案1已知线性变换： ,325,132yyx求从变量 到变量 的线性变换1,解由已知： 21325yx故 32121xy 3214769y321324769y2已知两个线性变换,54,32132yx,32,312zy求从 到 的线性变换1,z3,解 由已知 2132540yx 32105421z3216094z所以有 321321609zz3设 , 求1A,154B.23BAT及解 B20213 192658294073121504231BAT 096584计算下列乘积：(1) ; (2) ; 127053123,(3) ; (4) ;,3 20413(5) ;
2、 (6) .321231321),(xax 303012解 (1) 705410275)(44965(2)123)(3(3) 323)(164(4) 204112 5087(5)321231321 xax 323132121 xaxaa 2113221 xax(6) 01309034255设 , ，问：12A21B(1) 吗?(2) 吗?2)(A13(3) 吗?2)(BABA解 (1) , . 则 312106438321BABA(2) 5)( 298但 22BA430114275故 2)(3) 0596而 2BA4318782故 )(BA6举反列说明下列命题是错误的:（）若 ,则 ;02（）
3、若 ,则 或 ;AE（）若 ,且 ,则 .YXYX解 (1) 取 , ,但102A(2) 取 , ,但 且0E(3) 取 , , . 且 但 .1A1X10YAYX0YX7设 ,求 .kA,32解 ; 10102 130123 A利用数学归纳法证明: k当 时,显然成立,假设 时成立,则 时1k1)(010A由数学归纳法原理知: k8设 ,求 .01解 首先观察, 0102A2201323230A14由此推测 kkkkA02)1(21 )(用数学归纳法证明:当 时,显然成立.2k假设 时成立，则 时，1k 0102)(121 kkkkkA 11110)(2)(kkkk由数学归纳法原理知: kk
4、kk02)(1219设 为 阶矩阵，且 为对称矩阵，证明 也是对称矩阵.BA,nAABT证明 已知： T则 BT)()(从而 也是对称矩阵.10设 都是 阶对称矩阵，证明 是对称矩阵的充分必要条件是 .BA,nABA证明 由已知： TT充分性： BT)(ABT即 是对称矩阵.必要性： .ABT)(A11求下列矩阵的逆矩阵：(1) ； (2) ； (3) ; 521cosini 14523(4) na021 )0(21n解 (1) , .52AA.1 ),(2 ),1( 211 A. 2 15(2) 故 存在0A1 cossinsincos 21221 A15从而 cosin1A(3) , 故
5、存在202431116322 423AA故 11763(4) . 由对角矩阵的性质知 naA021 naaA101212解下列矩阵方程：(1) ; (2) ;1264315X 2341102X(3) ; (4) .03 0100解(1) 126435X12645823(2) 10 0313 32581(3) 112324X 21421064(4) 11000 0034214313利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) (2) ;353,121x.0523,131x16解 (1) 方程组可表示为 3215321x故 011321x从而有 0321(2) 方程组可表示为 01253x故 352312x
6、故有 0532114设 ( 为正整数), 证明： .OAk 121)( kAEA证明 一方面， )1E另一方面，由 有k )()( 12 kk )(12AEEk故 1两端同时右乘 1A就有 12)( kAE15设方阵 满足 ,证明 及 都可逆,并求 及 .O2 E21A1)2(E证明 由 得2两端同时取行列式: 即 ,故 . 所以 可逆,而EA02故 也可逆.22A2由 OE)(EA11)( )(1EA又由 2 4343)2(11 )2(4)()( EA3416设 为 3 阶矩阵， ，求 。21*13)(A解 因 ，故 可逆，于是由021A17= = 及 = ,*A121)(A2得 = - =
7、 ,*3)( 1两端取行列式得 = = =-2.*13)( 13)(A17.设矩阵 可逆，证明其伴随阵 也可逆，且 。A *1)(证 因 = ，由 的可逆性及 ，可知 可逆，且*110 ；1)()(另一方面，由伴随阵的性质，有 = .*1)(AE用 左乘此式两边得 = = = ,A*1)(比较上面两个式子，即知结论成立。18. 设 阶矩阵 的伴随矩阵为 ，证明：(1) 若 ,则 ; (2) .n0A1nA证明 (1) 用反证法证明假设 则有 .0AE1)(由此得 .OE1)(这与 矛盾，故当 时, 有 .0 (2) 由于取行列式得到: nA若 则0A1若 由(1)知 此时命题也成立0故有 1n
8、19.设 , ,求 .320ABA2解 由 可得BE)(故 1)( 3210231 013220. 设 ,且 ,求 .102ABAE解 由方程 ，合并含有未知矩阵 的项，得B2。)()(2E又 ，其行列式 -1 ,故 可逆，用 左乘上式两边，A10detEA0EA1)(18即得 =)(EAB201321.设 ， ，求 。,diagEBA8*解 由于所给矩阵方程中含有 及其伴随矩阵 ，因此仍从公式 = 着手。为此，AE用 左乘所给方程两边，得，AB82*又， =2AB-8E =8E =4E.)2()(注意到 = = ,是可逆矩阵，且E1,1diagdiag2i1)(= ,)(于是 4 = .B1
9、A)24(i22.已知矩阵 的伴随阵，8031A且 ，求 。EB解 首先由 来确定 ，由题 18 知 = =8,故 2，其次化简所给矩阵A3*A方程： 1A3)(。(用 左乘 式两边)EB11BE3(因 = )2(*A*2=6 (因( )可逆)1103623设 ,其中 , ,求 .AP14201A解 故 所以1P1PA33而 1112019故 31420141A 68427324. 设 ,其中 , ,求 .P15)5()(28AEA解 因 =-6 ,故 可逆，且可求得012361从而有 = .)65()(28AEA128)65(PEP又因为 =80,1diagi )0,(diag所以 1201
10、230425.设矩阵 A、 及 都可逆，证明 也可逆，并求其逆阵。B1BA证 要证 可逆，由于无法直接寻找一个 X,使（ ）X=E,所以，考虑把1 1BA用“和化积”思想表示乘可逆矩阵的乘积。1因 A、 已及 都可逆， ， ，于是E1 E1= =1E= =11)()(这样， 已表示成上最后一个等号三个可逆矩阵的乘积，于是 可逆，由可逆矩阵的性B 1BA质，有= = = .11)(1)(A11)()BA)(26.计算 3023012解 30213012 90342527取 , 验证 .1DCBADCBA检验: 1010240220而 , 故 01DCBADCBA28设 ,求 及2034O84A解
11、 ， 令 , . 则 . A341 202 21AO故 . .8218O821A168218218 0A4644214 205OA29设 阶矩阵 及 阶矩阵 都可逆,求 nsB1A解 将 分块为 . 1OBA4321C其中, 为 矩阵, 为 矩阵. 为 矩阵, 为 矩阵.1Cnss3n4Cs则 s4321EsnO由此得到 1221144 )(BCEBAAsn存 在存 在故 O130. 求下列矩阵的逆阵：（1） （2）503824103解（1）这里矩阵 是一个分块对角矩阵，其中21AO ， 。1A2253821因 ， ，1A5212A853故得 121O85032（2）记所给矩阵为 ，伴随矩阵为 ，其中 为 的代数余子式。ijaAAijijAija令 ， ， ，则10A4132 212， ， 0115342于是，由第 29 题之(2)的结果，得 。 12121AOA 6253841
