线性代数第二章练习题.pdf

1、 1 第二章 矩 阵 一 、 选 择题 1 设 矩阵 4 2 0 3 a b a b d c + - = ， 则 （ C ） （ A ） 3 , 1 , 1 , 3a b c d= = - = = （ B ） 1 , 3 , 1 , 3a b c d= - = = = （ C ） 3 , 1 , 0 , 3a b c d= = - = = （ D ） 1 , 3 , 0 , 3a b c d= - = = = 2 设矩阵 ( )1 , 2A = ， 1 2 3 4 B = ， 1 2 3 4 5 6 C = ， 则 下 列矩阵运算 中 有意义 的是 （ B ） （ A ） A C B （ B

2、） A B C （ C ） B A C （ D ） C B A 3 设 A 、 B 均为 n 阶矩阵 ， 下 列 命题正 确的 是 C （ A ） 0B0A0A B = 或 （ B ） 0B0A0A B 且 （ C ） 00 = BA0A B 或 （ D ） 00 BA0A B 且 4 设 A 、 B 均为 n 阶矩阵 ， 满 足 2 2 A B= ， 则必 有 （ D ） （ A ） A B= （ B ） A B= - （ C ） A B= （ D ） 2 2 A B= 5 设 A 为 n 阶矩阵 , 且有 AA 2 = , 则 结 论正确 的是 _ _ D _ _ _ (A) 0A = （

3、 B ） EA = (C) 若 A 不可 逆 , 则 0A = (D ) 若 A 可逆 , 则 EA 2 = 6 设 BA , 都是 n 阶对 称矩 阵 ， 下 列结论 不正 确的 结论 是 （ A ） （ A ） AB 为对 称矩 阵 （ B ） 设 BA , 可逆 ， 则 11 - + BA 为对称 矩阵 （ C ） BA + 为对 称矩 阵 （ D ） k A 为对称 矩阵 7 设 A 为任 意 n 阶矩 阵 ， 下 列矩阵 中为 反对 称矩 阵的 是 （ B ） （ A ） T A A+ （ B ） T A A- （ C ） T AA （ D ） T A A 8 设 A 为 3 阶方

4、阵 ， 且 2A = ， 则 1 2 A - = （ D ） （ A ） - 4 （ B ） - 1 （ C ） 1 （ D ） 4 9 设 A 为 n 阶矩阵 ， * A 为其伴 随 矩阵 ， 则 = * Ak C （ A ） A n k （ B ） n k A （ C ） 1-n n k A （ D ） n n k A 1- 10 设 BA , 都是 n 阶可 逆矩 阵 ， 则 - - 1 0 0 2 B A T 等于 （ A ） （ A ） 1 2 )2( - - BA n （ B ） 1 )2( - - BA n （ C ） BA T 2- （ D ） 1 2 - - BA 1 1 设

5、 n 阶 方阵 CBA , 满 足 关系式 EA B C = ， 其中 E 为 n 阶单 位阵 ， 则 必有 （ D ） 。 （ A ） EA C B = （ B ） EC B A = （ C ） EB A C = ( D ) EB C A = 1 2 设 A 为 2 阶可 逆矩 阵 ， 且已知 ( ) 1 1 2 2 3 4 A - = ， 则 A = （ D ） （ A ） 1 2 2 3 4 （ B ） 1 2 1 3 42 （ C ） 1 1 2 2 3 4 - （ D ） 1 1 2 1 3 42 - 1 3 下 列命 题正 确的 是 D （ A ） 若 A 是 n 阶方 阵 ， 且

6、 0A ， 则 A 可逆 ； （ B ） 若 A 、 B 是 n 阶可逆 方阵 ， 则 BA + 也可 逆 ； （ C ） 若 A 是不可 逆方 阵 ， 则 必有 0A = ； （ D ） 若 A 是 n 阶方 阵 ， 则 A 可逆 T A 可逆 二 、 填 空题 1 . 设 n 阶矩 阵 CBA , ， 且 EC AB CA B = ， 则 =+ 222 CBA E3 2 设 aaaa , 321 均为 4 维 列向 量 ， ( )aaaa , 321 =A ， ( )baaa , 321 =B ， 且 2=A ， 3=B ， 则 =- BA 3 56 。 3 设三 阶矩 阵 A 的行列 式

7、 3=A ， 则 =- - *1 23 AA - 9 4 A m 阶 ， B n 阶 ， 且 0 , , 0 A A a B b C B = = = ， 则 C = ab m n )1( - 5. 设 ( ) ( )3 , 2 , 1 , 1 , 1 , 2 , T T a b= - 且 T A a b= ， 则 n A = 1 3 3 6 3 2 2 4 1 1 2 n - - - 6. 设 A 为 3 阶 方 阵 ， * A 为 A 的 伴 随 矩 阵 ， 2 1 =A ， 求 行 列 式 - *- A AA 0 02)3( 2 1 的值 。 【 分析 】 已知 条件 与 * A 有关 ，

8、 立马 想到 公式 EAAAA A = * 。 2 7 5 1 2 3 2 2 2 1 2 3 1 22 3 1 2 2)3 (22)3(2 0 02)3( 2 3 6616 1616 1 -= -=-=-= -=-= - *- *-*- *- EEAAAA AAAAAA A AA 7 已知 - = qq qq c o ss i n s i nc o s A 则 = - 1 A c os s i n s i n c os q q q q - 三 、 计 算题 1. 设 = 34 21 A , = y x 2 1 B , 求 yx 与 的关系 , 使 A 与 B 是可 交换的 。 解 : + +

9、 = = yx yx y x 3464 214 2 1 34 21 A B + + = = yy xx y x 3442 324 34 21 2 1 B A 故要使 A , B 可交换 , 即 B AA B = 的充 要条件 是 +=+ +=+ +=+ +=+ yy yx xy xx 3434 4264 3221 44 即 1-= yx . 2 设 = 31 12 01 A ， -= 04 10 12 B ， 求矩 阵 X ， 使 BXA =+ 23 成立 解 ： ( ) - - - =-= 91 46 11 2 1 3 2 1 ABX 3. 设 = 134 030 201 A , 求 X ,

10、 使 XAEA X 2 +=+ 解 : 对 方程 移项 得 EAXA X 2 -=- 根据矩 阵乘 法分 配律 得 EAE ) X( A 2 -=- 由于 016 034 020 200 -=- EA , 故 EA - 可逆 . 方程左 右两 边同 时左 乘以 ( ) 1- - EA , 得 ( ) ( ) E )( AEAE )( AEAE )( AX 121 +-=-= - =+= 234 040 202 E )( A 4. 设 = - 000 000 000 000 1 2 1 L L MOMMM L L n n a a a a A ),2,1,0( nia i L= ， 求 1- A

11、。 2 【 分析 】 E a a a a a a a a n n n n = - - - - - - 000 000 000 000 000 000 000 000 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 L MMOMM L L L L L MOMMM L L 5. 设 方阵 A 满 足方 程 OEAA =- 1 03 2 ， 证 明 A 、 A 4 E 都可 逆 ， 并求 它们 的逆矩 阵 . 分析 已 知 A 的 关系 式 ， 要求证 明 f ( A ) 可逆 ， 一般 是将关 系式 化简 ， 得到 f ( A ) g ( A )= E 的 形式 ， 从 而 可证 f ( A ) 和 g

12、( A ) 互 为逆 矩 阵 。 解 OEAA =- 1 03 2 EEAA 1 0)3( =- EEAA = - )3( 1 0 1 A 可逆 ， 且 )3( 1 0 1 1 EAA -= - OEAA =- 1 03 2 EEAEA 6) (4( =+- EEAEA = +- )( 6 1 )4( EA 4- 可逆 ， 且 )( 6 1 )4( 1 EAEA +=- - 6 设 A 、 B 均为 n 阶方阵 ， 若 ABBA =+ ， 求 ( ) 1- - EA 。 解答 ： 由于 A BBA =+ BA BA -= ( ) BEAA -= （ 但是 B 不 一 定 可 逆 ， 不 能 同

13、 时 右 乘 以 1- B ） ( ) ( ) BEAEEA -=+- ( ) ( ) EEBEA =- ， 故 ( ) E )(BEA 1 -=- - 7 . 设 A ， B 均为 n 阶矩阵 ， 且 A 和 A BE - 可逆 ， 证明 B AE - 也可 逆 。 【 分析 】 解法 一 ： 用反 证 法 设 B AE - 不可逆 ， 则 存在 0 0 x ， 使 得 0)( 0 =- xBAE ， 即 00 BA xx = 左右两 边同 乘矩 阵 A 得 ， 00 AB AxAx = ， 令 00 Axy = ， 则 0 0 y ， 否 则 ， 若 0 0 =y 则有 0 000 = B

14、yAxBx ， 这与 0 0 x 矛盾 ， 从 而有 00 AB yy = ， 0 0 y 即 0)( 0 =- yABE ， 0 0 y ， 这与 A BE - 可逆 矛盾 ， 故 B AE - 可逆 。 解法二 ： 0 )()()()( 11111 -= -=-=-=-=-=- - ABE BAABAAABAABABAAABAE 故 B AE - 可逆 。 8. 设 = 100 010 101 A ， 求 n A 【 分析 】 方法 一 ： 数学 归纳 法 因为 = 100 010 101 A ， = 100 010 201 2 A AA ， = 100 010 301 23 AAA -

15、= - 100 010 101 1 n A n ， = - = - 100 010 01 100 010 101 100 010 101 1 nn AAA nn 由数学 归纳 法知 = 100 010 01 n A n 方 法二 ： 将 A 分 解为 对角阵和 主对角线 上元素 为零的上 三角 阵之和 进行 计算 。 令 BEA += + = = 000 000 100 100 010 001 100 010 101 则 nnnnnnn Bn E BBE nn Bn EEBEA + - +=+= - 1221 !2 )1( )( L 因 为 0 2 =B ， 所 以 )2(0 = kB k ，

16、 故 有 =+=+= - 100 010 01 1 n n BEBn EEA nnn 9 . 设 A 的 伴 随 矩 阵 - = 8030 0101 0010 0001 * A , 求 B , 使 得 3 EB AAB A 11 += - 。 【 分析 】 根 据 3 EB AAB A 11 += - , 得到 ( ) 3EB AEA 1 =- - 故 AE ,A - 皆是可 逆的 , 并 且 ( ) ( ) ( ) 1 1 11 AEAAEAB - - - -=-= 33 11 1 1 )A( EE ) ( A( A - - - -=-= 33 又由 1n * AA - = , 8 * =A

17、 , 4=n , 故 2=A 1 *1*11 )AE()A( E)A( EB - - -=-=-= 2 2 1 3 2 1 33 1 1* 1 * 6030 0101 0010 0001 6)2(6)2( 2 1 3 - - - - - =-= -= AEAEB - = 1030 0606 0060 0006 。 10. 设 4 阶 矩阵 = 4444 3333 2222 1111 A ， 求 1 0 0 A 。 解 ： 由 于 ( )1111 4 3 2 1 4444 3333 2222 1111 = =A ， 所以 ， ( ) ( ) ( ) 444444444 3444444444 21 L A A 个1 0 0 1 0 0 1111 4 3 2 1 1111 4 3 2 1 1111 4 3 2 1 = ( ) ( ) ( ) ( )1111 4 3 2 1 1111 4 3 2 1 1111 4 3 2 1 1111 4 3 2 1 9 9 = 444444444 3444444444 21 L 组 由于 ( ) 10 4 3 2 1 1111 = ， 所以 ( ) = = 4444 3333 2222 1111 101111 4 3 2 1 10 9 99 91 0 0 A