1、 第二章 向量组的线性相关性 2-1 2-2 维向量，线性相关与线性无关（一） 一、 填空题 1. 设3 1 +2 2+ =5 3+ , 其中1=(2,5,1,3)T, 2=(10,1,5,10)T, 3=(4,1,1,1)T, 则= (1,2,3,4)T . 2. 设1=(1,1,1)T, 2=(2,1,1)T,3=(0,2,4)T, 则线性组合132+3= (5,0,2)T . 3. 设矩阵A= 137240115 ，设i为矩阵A的第i个列向量， 则21+23= (2,8,2)T . 二、 试确定下列向量组的线性相关性 1. 1=(2,1,0)T, 2=(1,2,1)T, 3=(1,1,1
2、)T 解：设k11+k22+k33=0, 则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000 即 2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=03k2k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，线性无关。 2. 1=(1,1,2)T, 2=(0,0,0)T, 3=(1,4,3)T 线性相关 三、设有向量组1=(1,1,0)T, 2=(1,3,1)T, 3=(5,3,t)T，问t取何值时该向量组线性相关。 解：设k11+k22+k33=0, 则k1 110 +k2 131 +k3 53t =0 即 k1+
3、k2+5k3=0k1+3k23k3=0k2+tk3=0 k1+k2+5k3=0k24k3=0k2+tk3=0 k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0(t4)k3=0 所以，t=4, 线性相关; t4, 线性无关 四、设 a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。 解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=k1a1k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k20，于是，b=k1k1+k2a1k2k1+k2a2. 五、已知向量组1,2,2n，令1=1+2,
4、2=2+3,2n=2n+1，求证向量组1,2,2n线性相关。 解：因为12+34+2n12n=0， 所以，向量组1,2,2n线性相关。 2-2线性相关与线性无关（二） 一、 设a1,a2线性相关，b1,b2线性相关，问a1+b1,a2+b2是否一定线性相关？并举例说明之。 解：取a1= 00 ,a2= 10 , b1= 00 ,b2= 01 . a1+b1,a2+b2线性相关。 取a1= 00 ,a2= 10 , b1= 01 ,b2= 00 . a1+b1,a2+b2线性无关。 二、举例说明下列各命题是错误的： 1若向量组a1,a2,am是线性相关的，则a1可由a2,am线性表示。 解：取a
5、1= 10 ,a2= 00 . 2若有不全为0的数1，2，m,使 1a1+2a2+mam+1b1+2b2+mbm=0 成立，则a1,a2,am是线性相关，b1,b2,bm是线性相关. 解：取a1= 01 ,a2= 10 , b1= 10 ,b2= 01 . 3 若只有当1，2，m全为0时，等式 1a1+2a2+mam+1b1+2b2+mbm=0 才能成立，则a1,a2,am是线性无关，b1,b2,bm是线性无关。 解：取a1= 00 ,a2= 10 , b1= 01 ,b2= 00 . 4若a1,a2,am是线性相关，b1,b2,bm是线性相关，则有不全为0的数1，2，m，使 1a1+2a2+
6、mam=0，1b1+2b2+mbm=0 同时成立。 解：取a1= 20 ,a2= 10 , b1= 10 ,b2= 10 . 三、 设向量组a1,a2,am线性相关，且a10,证明存在某个向量ak(2km)，使ak能由a1,ak1线性表示。 证明：因为向量组a1,a2,am线性相关，所以存在不全为零的1，2，,m使得1a1+2a2+mam=0。设1，2，,m中最后一个不为零的数是k，即k0，k+1=0,m=0，又因为a10，所以，k1。即有k0(2km)，使得1a1+2a2+kak=0，于是，ak=1ka1+2ka2+k1kak1，命题得证。 四、 已知R a1,a2,a3 =2,R a2,a
7、3,a4 =3, 证明：（1）a1能由a2,a3线性表示。（2）a4不能由a1,a2,a3线性表示。 证明：（1）因为R a2,a3,a4 =3，所以a2,a3,a4线性无关，由定理1知a2,a3也线性无关；又因为R a1,a2,a3 =2，所以，a1,a2,a3线性相关，由定理3得a1能由a2,a3线性表示。 （2）反证法。假设a4能由a1,a2,a3线性表示。再利用（1）的结果，可推出a4能由a2,a3线性表示，由定理2得a2,a3,a4线性相关，与R a2,a3,a4 =3矛盾。所以，a4不能由a1,a2,a3线性表示。 五、 设b1=a1,b2=a1+a2,br=a1+a2+ar，且向
8、量a1,a2,ar线性无关，证明向量组b1，b2，br线性无关。 证明：设k1b1+k2b2+krbr=0 ，则 k1a1+k2 a1+a2 +kr(a1+a2+ar)=0 (k1+k2+kr)a1+(k2+kr)a2+krar=0 而向量a1,a2,ar线性无关，所以， k1+k2+kr=0k2+kr=0kr=0 k1=0k2=0kr=0 所以，向量组b1，b2，br线性无关。 2-3 极大无关组（一） 一、 证明n阶单位矩阵的秩为n. 证明：n阶单位矩阵的列向量组为ei=(0,0,1,0,0)T,i=1,n, 设k1e1+k2e2+knen=0, 则 k1 100 +k2 010 +kn
9、001 = 000 k1k2kn = 000 k1=0k2=0kr=0 所以，e1,e2,en线性无关，秩为n，则n阶单位矩阵的秩为n. 二、 设矩阵A= a11a120a22a1na2n00ann (其中a11a22ann0)则R A =n. 证明：设矩阵A的列向量组为 a1= a1100 ,a2= a12a220 ,an= a1na2nann 设k1a1+k2a2+knan=0, 则 k1 a1100 +k2 a12a220 +kn a1na2nann = 000 k1a11+k2a12+kna1nk2a22+kna2nknann = 000 k1=0k2=0kn=0 所以，a1,a2,a
10、n线性无关，秩为n，则R A =n. 三、 求下列向量组的秩 1. 1=(1,1,0)T, 2=(2,1,1)T, 3=(1,3,1)T R=3 2. 1=(1,2,1,3)T, 2=(4,1,5,6)T, 3=(1,3,4,7)T 解：A=(1,2,3)= 1 4 1213154367 r22r1r3r1r43r1 1 4 10 9 50 9 501810 r3r2r42r2 1 4 109 50 0 00 0 0 所以，R (1,2,3)=2, 1,2为极大无关组。 四、 设a1,a2,an是一组n维向量，已知n维单位坐标向量e1,e2,en能由它们线性表示，证明a1,a2,an线性无关。
11、 证明：因为n维单位坐标向量e1,e2,en能由a1,a2,an线性表示，所以，R(e1,e2,en)R(a1,a2,an)，而R e1,e2,en =n，R(a1,a2,an)n，所以，R a1,a2,an =n，于是，a1,a2,an线性无关。 五、 设a1,a2,an是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示。 证明：充分性：如果任一n维向量都可由a1,a2,an线性表示，则n维单位坐标向量e1,e2,en能由a1,a2,an线性表示，利用上一题的结果，a1,a2,an线性无关。 必要性：如果a1,a2,an线性无关，对于任一n维向量a. 如果a=a
12、i(i=1,2,n),则a=0a1+0ai1+1ai+0ai+1+0an，所以，向量a能由a1,a2,an线性表示。 如果aai(i=1,2,n)，则a,a1,a2,an这n+1个n维向量线性相关，而a1,a2,an线性无关，由定理3得向量a能由a1,a2,an线性表示。 （另证：如果a1,a2,an线性无关，而n的维数是n，所以a1,a2,an为n的一组基，所以n中的一n维向量都可由它们线性表示。） 2-3 极大无关组（二） 一、 设A,B为同阶矩阵，求证R A+B R(A,B)R A +R(B)。 证明：设A的列向量组为a1，a2，an，极大无关组为a1，a2，as；B的列向量组为b1，b
13、2，bn，极大无关组为b1，b2，br. 则A+B的列向量组为a1+b1，a2+b2，an+bn能由(A,B)的列向量组a1，a2，an，b1，b2，bn线性表示，所以，R A+B R(A,B). 又(A,B)的列向量组a1，a2，an，b1，b2，bn能由a1，a2，as，b1，b2，br，所以， R A,B R(a1，as，b1，br)s+r=R A +R(B). 二、设向量组B:b1，b2，br能由向量组A:a1，a2，as线性表示 (b1，b2，br)= a1，a2，as K 其中K为sr矩阵，且A线性无关。证明B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩为R K =r. 证明： 必要性. 已
14、知B:b1，b2，br线性无关. 则R B =r, 设矩阵B=(b1，b2，br), 矩阵A= a1，a2，as ，则B=AK，所以，r=R B R(Ksr)r，得R K =r. 充分性. 已知R K =r，则K的列向量组k1，k2，kr线性无关。 设 1b1+2b2+rbr=0 (b1，b2，br) 12r =0 a1，a2，as K 12r =0 A:a1，a2，as线性无关 K 12r =0 k1，k2，kr 12r =0 k1，k2，kr线性无关 1=2=r=0 B:b1，b2，br线性无关。 三、设 1= a2+a3+an2= a1 +a3+ann= a1+ a2+an1 证明：向量
15、组a1,a2,an与向量组1,2,n等价。 证明：因为 1= 0a1+a2+a3+an2= a1+0a2+a3+ann= a1+ a2+an1+0an 所以，向量组1,2,n可以由向量组a1,a2,an线性表示。 把 1= a2+a3+an2= a1 +a3+ann= a1+ a2+an1 各式相加后得 1+2+n= n1 a1+ a2+an 1n1(1+2+n)= a1+ a2+an 可得 a1= 1n1(1+2+n)1a2= 1n1(1+2+n)2an= 1n1(1+2+n)n 所以，向量组a1,a2,an可以由向量组1,2,n线性表示。 由上，向量组a1,a2,an与向量组1,2,n等价
16、。 四、已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x=3AxA2x，且向量组x,Ax,A2x线性无关，记P=(x,Ax,A2x)，求3阶矩阵B使AP=PB. 解：设B= b11b12 b13b21b22 b23b31b32b33 ， AP=PBA x,Ax,A2x =(x,Ax,A2x) B Ax,A2x,3AxA2x =(x,Ax,A2x) b11b12 b13b21b22 b23b31b32b33 Ax=b11x+b21Ax+b31A2xA2x=b12x+b22Ax+b32A2x3AxA2x=b13x+b23Ax+b33A2x b11x+ b211 Ax+b31A2x=0b12x+b22Ax+(
17、b321)A2x=0b13x+ b233 Ax+(b33+1)A2x=0 由向量组x,Ax,A2x线性无关得B= 00 010 3011 . 2-4，2-5 向量空间，内积与标准正交基 一、设V1=x= x1,x2,xn T|x1+x2+xn=0, V2=x= x1,x2,xn T|x1+x2+xn=1, V3=x= x1,x2,xn T|x1=2x2,x3=4x4, 问V1,V2,V3是不是向量空间，为什么？ 答： V1是，V2不是，V3是 二、 验证：1=(0,1,1)T, 2=(1,0,1)T, 3=(1,1,0)T为3的一个基, 并把 =(2,5,8)T用这个基线性表示. 解：(1,2
18、,3,)= 011011121508 r1r2r3r1r43r1 100101151213 r3r2r3(12)r43r1 100100151211/2 r2r3r1r3 100100011/205/211/2 所以，=1121+522123. 三、 证明n中不存在n+1个线性无关的向量，从而n中不存在n+1个两两正交的非零向量。 证明：因为n的维数是n，所以n中不存在n+1个线性无关的向量。 又因为两两正交的非零向量必是线性无关的，所以，n中不存在n+1个两两正交的非零向量。 四、用施密特法把下列向量组规范正交化 1,2,3 = 111124139 解：1=1= 111 ; 2=2(1,2)
19、(1,1)1= 123 63 111 = 101 ; 3=3 1,3 1,1 1 2,3 2,2 2; = 149 143 111 82 101 =13 121 所以，e1=(1 3,1 3,1 3)T, e2=(1 2,0,1 2)T, e3=(1 6,2 6,1 6)T. 六、证明下列各题 (1) x为n维列向量，且xTx=1,求证：H=E2xxT是对称的正交阵。 (2) 设A,B为同阶正交阵，证明：AB也是正交阵。 证明： (1) HT= E2xxT T=ET2(xT)TxT=E2xxT=H ，H对称； HTH= E2xxT E2xxT =E4xxT+4x(xTx)xT=E，H正交。 (2) 因为A,B为同阶正交阵，所以，ATA=E，BTB=E，于是， AB T AB =BTATAB=BTB=E，所以，AB也是正交阵。
