1、勾股定理、实数学习点拨翻褰数学习点江西省鹰潭铁路中学童严明数学名言数学思想是数学的灵魂和精髓.掌握了它才意味着真正拥有了数学.勾股定理是几何中一个十分重要的定理,它有着悠久的历史,在数学发展中起着重要的作用,在现实世界中有着广泛的应用.它的发现,验证及应用的过程蕴涵着丰富的文化价值.由于实际生活中存在着大量的非有理数.我们引入无理数的概念,数的范围扩充到实数.并由此引入对算术平方根,平方根及立方根的学习,并能用计算器开方,学会估算的方法.1-探索勾股定理课本通过测量及利用直角三角形和正方形的性质,通过拼图推导出勾股定理.在通过拼图探索勾股定理的过程中,主要清楚如下两点:图形经过割补拼接后,只要
2、没有重叠,没有空隙,面积不会改变;根据同一种图形面积的不同表示方法列出等式是推导出勾股定理的很重要的一种方法.例 l(2003 年吉林省中考题)如图 l 所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为 7cm,则正方形 A,B,C,D 的面积的和是 cm.分析:本题是由勾股定理的证明所衍生的,立意新,有创意;由勾股定理的证明着手,避免了复杂的计算,重在考察同学们解决问题的能力.由图形,结合勾股壁熏壹图 1定理设正方形 A,B,C,D 的边长分别为 a,b,C,.中间的两个正方形的边长分别为,大正一方形的边长为,由勾股定理和正方形的面积一公式有 SA+
3、SB+S(+SDa+b:+C!+d:一!+:一一 7.一 49.=例 2(2003 年泰州市中考题)如图 2,将矩形ABCD(ABAD)沿 BD折叠后,点 C 落在点 E 处,且 BE 交 AD 于 F,若 AB一4,BC 一 8.求 DF 的长.BC图 2j 毛师大龋分析:由折叠知BDEBDC, 故 1 一 2.又 .ABCD 是矩形,.AD/BC,.1 一 3,.2 一 3.故.FDFB.设 FDFB,则 AF 一 8 一.在 Rt ABF 中,由勾股定理,得!一4:+(8 一). 解得一 5.j即 DF 的长为 5.雩注:勾股定理揭示的是直角三角形三边平舀方关系的定理,主要应用有:已知直
4、角三角爱奠睁 0J,i已知a+b 一2004;.则+=圈北慷史躐一,一一娃师大躐善 j.直岔善形的两边求第三边;已知直角三角形的一边-|.:二求另两边的关系;证明平方关系的问题等.2.探索直角三角形成立的条件如果三角形的 Z_IKn,6,f 满足 n+6 一f!,那么这个三角形是直角三角形.i 满足 a.+b.一 f 的三个正整数 ,称为勾股_数.兰例 3 如图 3,四边形 AB 一FCD 中,B 一 90.,AB,BC,CD,;jjDA 的长依次是 3,4,12,13,求1.四边形 ABCD 的面积.1一分析:四边形 ABCD 的面AB北积不直接求得,但注意到 B 一图 3D师 I9o.,一
5、 3,Bc 一,故连接 ,由勾股定理易-AB4AC知 AC 一 5?而 5,12,13 恰为一组勾股数组,由勾股定理的逆定理知 ACD 一 90.,所以11一s 口)l;AB(,DSRt 加 f+SRtA(,D 一34+寺一注:在应用上述定理判断三角形的形状:时,应用较小的两边的平方和与最大边的平方0 作比较,才能判断是否为直角三角形;勾股数是一种重要的数组,学习时应熟悉一些常用的姓勾股数组.在解题时应注意勾股定理及其逆定呻理的区别和联系:区别在于勾股定理是在直角三角形的前提下应用的,而其逆定理是在已知三角形的三边的前提下来判断这个三角形是.否为直角三角形.联系在于它们都与直角三角一形及其三边
6、有关.j 例 4(2000 年上海MNP女 4P塞和公路 Q 在点处,一交汇,且 QPN 一 30.,点图 4A 处有一所中学,AP 一160 米.假设拖拉机行驶时,周围 100 米以内会聪受到噪声的影响,那么拖拉机在公路 MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?圈Rt ABP 中,.ABP=90.,APB0.,AP=160,.?.AB=IAp=80.C,驶到点处学校开始受到噪声影响,那么 AC 一 100 网18-7-/N 一南时一 24 秒?注:新教材强调同学们用数学的意识.勾有着非常广泛的应用.在应用勾股定理解决实3.掌握实数及其有关性质任何实数 a 都有一个相反数一 a;非
7、零数 a的倒数为;一个正实数的绝对值等于它本身,负实数的绝对值等于它的相反数,0 的绝对譬髯!擎 e 历已知 a 是一质数 ,6 是一个奇数 ,且 a.+6=2003,则 2n+6=除,乘方等运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍适应.例 5(2003 年江西省.中考题)如图 6,在数轴上 0cAB表示 l,对称点分别为图 6A,B,点 B 关于点 A 的对应点为 C,则点 C 所表示的数是.分析:由图可知 AB 一,/2 一 l,因为点 B 关于点 A 的对称点为 C,故 CAAB=,/2 一 l,所以 0COAAC=l(,/2 一 1)一 272,即点C 所表示的数是 2 一2.例 6
8、(2003 年杭州市中考题)在图 7 所示的集合圈中,有 5 个实数,请计算其中的有理数的和与无理数的积的差.分析:本题必须区别有理数和无理数.易知有理数有3,一 2;无理数有,7(百.2故其中的有理数的和与无理数的积的差为3.+(一 23)去7(.伺一卜 2 疋图 74.掌握算术平方根,平方根及立方根的概念如果一个正数的平方等于 a,即一 a,那么这个正数就叫做 a 的算术平方根 ,记作“.算术平方根a 具有双重非负性 :a 0;0.如果一个数的平方等于 a,即一 a,那么这个数就叫做 a 的平方根 (也叫做二次方根).正数 a 有两个平方根, 一个是 a 的算术平方根“ a“,另一个是“一
9、a“,即 a 的算术平方根的相反数,它们互为相反数;0 只有一个平方根,它是 0 本身;负数没有平方根.如果一个数的立方等于 a,即.一 a,那璺熏壹么这个数就叫做 a 的立方根 (也叫三次方根),记作“;正数的立方根是一个正数,.的立方嚣根是 o,负数的立方根是一个负数.例 7 求满足 4(2x1)一 322 的的磁值.分析:本题是一元二次方程,没有学过,不二二会求解.但若把(2x1)z 看做一个整体,可得(21)!一,再根据平方根的定义得 2x-1 兰一一学.即 2 一一_薹 I 或 2 一一一_耋 I.7.解得一或一一号师敬 0苏如图所示,在 3 米宽的小巷中交叉放着两架长为 5 米的梯子,问行人(按高度为 1.8 米计算) 能否从中问顺利通过?国
