1、正、余弦函数图象与性质的复习回顾湖南祁东育贤中学 周友良 421600衡阳县三中 曾新华一.基础知识回顾1y=sinx，xR 和 y=cosx， xR 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线-11yx-6 -5 65-4 -3 -2 - 0 432fx = sinx-11yx-6 -5 65-4 -3 -2 - 0 432fx = cosx2用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数 y=sinx，x0 ，2 的图象中，五个关键点是：(0,0) ( ,1) (,0) ( ,-1) (2,0)23余弦函数y=cosx x0,2的五个点关键是(0,1) ( ,0) (,-1) ( ,0)
2、(2,1)23.图象和性质图表解函数 正弦函数 余弦函数 正切函数图象定义域 R R Zkx,2值域 1，最大值为 1，最小值为-11，最大值为 1，最小值为-1R无最大值，最小值周期性 最小正周期为 2最小正周期为 2最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数yxo1-12232单调性在 上2,2k都是增函数；在上3,都是减函数（k Z）在（ ）上12k,)都是增函数；在 都是减函)(,数 Zk在 （)2,(k上都是增函数)Zk对称性既是轴对称又是中心对称图形对称轴 2kx对称中心坐标 ，以)0,(上的 Z既是轴对称又是中心对称图形对称轴 kx对称中心坐标为，以上的)0,2(Zk是中心对称
3、图形对称中心坐标 ,)02(k(k Z)二、讲解范例：例 1 求函数 ysin 的单调增区间 奎 屯王 新 敞新 疆21x误解：令 ysin 在2 k ，2 k ( kZ)上递增2 k 2 k 1x解得4 k x4 k2原函数的单调递增区间为4 k，4 k2( kZ)分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令 ，忽视了 是21xx 的减函数，未考虑复合后单调性的变化 奎 屯王 新 敞新 疆正解如下：解法一：令 ，则 u 是 x 的减函数21x又 ysin 在2 k ，2 k ( kZ)上为减函数，3原函数在2 k ，2 k ( kZ)上递增设 2k 2 k 1x解得4 k2 x4 k(
4、kZ)原函数在4 k2，4 k( kZ)上单调递增解法二：将原函数变形为 ysin 21x因此只需求 sin y 的减区间即可21x 为增函数只需求 sin 的递减区间2 k 2 k 21x23解之得：4 k+2 x4 k+4(kZ)原函数的单调递增区间为4 k2，4 k4( kZ)例 2 a、 b 是不相等的正数 奎 屯王 新 敞新 疆求 y 的最大值和最小值 奎 屯王 新 敞新 疆xbax22 cossinsico解： y 是正值，故使 y2达到最大(或最小)的 x 值也使 y 达到最大(或最小) 奎 屯王 新 敞新 疆y2 acos2x bsin2x2 asin2x bcos2x22ic
5、oba22cosin a b asin)(4 a b，( a b)20，0sin 22x1当 sin2x1 时，即 x (kZ)时， y 有最大值 ；)(2ba当 sinx0 时，即 x (kZ)时， y 有最小值 奎 屯王 新 敞新 疆评析:利用三角函数的有界性如sin x1，cos x1 来求三角函数的最值 奎 屯王 新 敞新 疆例 3 在 0 x 条件下，求 ycos 2xsin xcosx3sin 2x 的最大值和最小值 奎 屯王 新 敞新 疆2解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有y 2sin2 x3 2(cos2 xsin2 x)1cos1cos12 (cos2xcos sin2 x
6、sin )1442 cos(2x )10 x ， 2 x 5cos(2x )在0， ）上是减函数483故当 x0 时有最大值 2当 x 时有最小值183cos(2x )在 ， 上是增函数4832故当 x 时，有最小值1当 x 时，有最大值22综上所述，当 x0 时， ymax1当 x 时， ymin2 183评析:如果 f(x)在 ， 上是增函数，则 f(x)在 ， 上有最大值 f( )，最小值 f( )；如果 f(x)在 ， 上是减函数，则 f(x)在 ， 上有最大值 f( )，最小值 f( ) 奎 屯王 新 敞新 疆例 4 求 f(x)sin 4x2sin 3xcosxsin 2xcos2
7、x2sin xcos3xcos 4x 的最大值和最小值 奎 屯王 新 敞新 疆解： f(x)(sin 2xcos 2x)22sin 2xcos2x2sin xcosx(sin2xcos 2x)sin 2xcos2x=12sin xcosxsin 2xcos2x令 sin2x1 2f( )12 2( 1) 22 在的范围内求的最值当 ，即 x k (kZ)时， f(x)max447当 ，即 x k (kZ)时， f(x)min231评析:利用变量代换，我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解 奎 屯王 新 敞新 疆例 5.对函数 y=lg(2sinx)，回答下列问题（1）求定义域； （2
8、）当 x 分别为何值时，y=0、y 最大，并求出maxy（3）当 x 从 0 逐渐增加到 时，函数怎样变化？（4）y 是否是周期函数，若是求其周期。分析与解答：（1）根据对数函数的性质，须真数 2sinx0 解得，所以函数的定义域为 。)()2(Zkk Zkxk,)12(（2）要使 y=0，须 2sinx=1，解得 或 。62x65当 或 时，y=0。62kx)(652Zkx令 u=2sinx，则 y=lgu， ，函数 y=lgu 在区间 上是增函数，当,0u2,0sinx=1,u=2sinx=2 时 y 最大。 。lg)(2取 得 最 大 值时 ， ykx（3）令 u=2sinx，则 y=l
9、gu， ，函数 y=lgu 在区间 上是增函数，当 x 由,0 逐渐增加到 时，u=2sinx 由 0 增加到 2，y=lgu 由 增加到 lg2。2当 x 由 逐渐增加到 时，u=2sinx 由 2 减小到 0，y=lgu 由 lg2 减小到 。（4）lg ,y=lg(2sinx) 是周期函数，且周期与函数 sinx)sinlg()sin(xx的相同，周期 T=2例 6 试判断下列各函数的奇偶性：（ ）（ ）1522fxx()cosins解 （1） 的定义域 ，因为fx()xRfxxxcossin,()()()sin5222所以 是奇函数。ff)。（2）先考虑函数的定义域： 1024142s
10、incosinsinxxx， ， ，即有 ，因此，定义域关于原点不对称，函数无kkZ2且 （ ）奇偶性。例如令 无意义，因此 ，xfxf12则 ， ， 而 fxf()(并且 ，故 是非奇非偶函数。ff()()f()小结 研究函数性质之前应考虑函数的定义域。处理有关函数问题时，化简必须是等价变换，否则可能发生错误。例如： 22sincossinico1sinco 2tanxxxx 由于函数 是奇函数得出原函数也是奇函数的错误结论，事实上，最后的约ta2y分步骤破坏了变换的等价性，sin cos 0 的限制被取消是导致错误的根本原因。x2电子邮箱周友良 ,手机号码 13187209109；湖南祁东育贤中学 周友良 421600衡阳县一中 谭云峰
