1、1高等数学第一章 函数、极限与连续一、函数1.函数分类概念分类 01sin)(ixxffm分 段 函 数初 等 函 数 类型分类 )()()(;,)(xfyxfydtdttayyFa抽 象 函 数积 分 上 限 函 数参 数 方 程 表 示 的 函 数隐 函 数研究函数的主要问题：初等性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性。分析性质：极限、连续性、可微性、可积性2. 例题 （仅限于对应）引例 ，求xf1)()(xf解 )2,1(21xf例 1 ，求 。0)(xxf )(f解 )()(fff210201)(101)(1xxx例 2 ，且 ，求 ，并写出定义域。fexf,)(2)()(x解 ， 。x
2、x1)(2 1ln01例 3 设 满足 ，其中 均为常数，且 ，求 的(f cbfaf)(cba, |ba)(xf表达式。解 ，消掉 得 。)2()(11 cxbfxaf )(xf )(2bxacf小结：上述四例均强调或说体现“对应” ，即自变量在抽象函数中的位置与具体函数中的位置相对应。抓住“对应”一点。函数问题基本解决。其他问题从略（本类题考率三年一次） 。3. 习题1 设 ，则 1 。1|0)(xf )(xf2 设 ，则 （D ）)(2f )(f（A） （B）0)()(2xxf 0)()2xxf（C） （D ）)(2f )(2f3 设 ，则 （B）1|0)(xxf )(xf（A）0 （B
3、）1 （C） （D） 。1|01|0x34 是（D ）)(|sin|)(cosxexf（A） 有界函数 （B）单调函数 （C）周期函数 （D）偶函数5 设 连续，则下列函数中为偶函数的是（D ） 。)(f（A） （B） （C） （D）xdt02xdtf02)(xdtft0)(ft)(二、极限1内容总结1）基本型： 型 ，“0落 必 达 法 则约 掉 “零 因 子 ”落 必 达 法 则同 除 分 母 最 高 阶 项型“2）等价代换 当 时x，1)ln(arctrsintasin xexaxln， ，l12o13）重要极限（ ）1sinlm0xsinl )1(lim)(li10 exexxx 其他
4、 )0(lian )1limnk1liaan 0liana极限不存在例： 0li;lili 1101xxxee4）用泰勒公式求极限5）用夹逼定理和单调有界原理求极限（主要用于数列极限问题）2、例题基础题目1 （ 型） ；“0437lim9xx 2134lim21xx（ 型） ；5023502369)6(14li x 2)(li1li00 xxxx ee42 （等价代换）；214lim2sn14li 233 xxx 523lim)51ln(3li2 nnn（ ）)l(,i 21li1cosli)1(coslni1coslni 0x20x0x0x 22 eex（注意 的处理。 ， 。 ）l“xcs
5、 123lim123lim)23(li 1n1nn nnnllilinn )ln(lnaeaan3幂指 xxxxxx xxeee sinco1ilm)1(sintalim)1sinl(talimsinlta2tan2 222li)(silm 10sinlicolm22exx4泰勒公式 6)(!3lisinl 3030 xxox )(!2)(1(!421limcosli 440420 xxe oxx1)(!li 440 xxo（注对泰勒公式只需熟悉 展开式）,ln,csi,e5夹逼定理与单调有界1） 表示取整函数x2lim05解 1 当 时， ，0xx2122)1(x，故lim,li00xx 2
6、li0x当 时， ，212x)1(，故li,li00 xxxx 2li0x从而 2lim0x解 2 ， 表示小数部分x2lili00 xx2）对于数列 ，已知 ， ，证明 。n0xnnx11 1limnx证：由归纳法易证， ，n又 ，即 当 时有下界121)(21nnn xxx nx1同时 ，即 单减，从而 收敛。0)(21 nnn nnx设 ，对递推式取极限得 ，解得 ， （舍） 。axnlim)1(a1a注： 为两点递推式，写成 连续型函数，若 ，则)(1f xfy0)(xf为单调数列，若 ，则 不是单调的，据此可以调整证明目标。nx0xnx3、专题训练类题目1） 重要极限与幂指型极限例
7、1 21limcos1in0)sin1l(cos0cos120 022llim)in(lim eeexe xxxexxx x 6例 2 )0,(lim102babxxx )(lim)1(1lim)1ln(imln10 2020202i xxxxxxx babababax eee e abbxxba xxxxx 1ln21)lnlln2l(li1li)(1lim20020 例 3 )cos2ln(i1im00)cos(il)cos(inl ttttxx et 2)sin2co(lim1s2ilm00 eeetttt2）等价代换例 1 )1ln(2i)(si)2ln(cosi 0ttxxx例 2
8、)23(lim)3(lim2 xxxx )12(lim)1(li)11(li 33 xxxx 2(lilixx例 3 )0)(m12aann)1(li)(li 1212 nnnnaan l)(li123）反问题例 1 ，求 值2limeax7解 原式 ，故 。21limexaaxx1例 2 ，求 。0)(li236bx ,解 原式 ，由此，有1li2362xaxx 1a回代原式 1)(lim)(lim)(li 362362236 xb xxx01li62x例 3 ，求 。),(21)sin(lim0 aafxx 20)(limxf解 当 时， ，故 ，则0sin(1lf 0sin从而 ，由此
9、。2l)(ilnsi)(1)si(lni 2000 axffaxfx axfl21)(li0三、连续函数1定义： ，称 在 点连续。)(lim00fx )(f0 )(0()li 0xffxyx （本质上 ）)()lif2、问题分类1）讨论函数的连续性2）指出函数间断点，且分类3）介值定理应用4）连续性应用（ ）)(lim)lixf3、例题例 1 讨论 的连续性。nnxxf2li)(8解 当 时，0x1|0|1lim)(22xxfn考查 三点；（除以上三点外，函数连续）1,； ， 为第一类间断点li)(lim21xfx )(li)(li11xxf； 是第一类间断点（可去间断）m)(000 xf
10、0同法 ； ， 是第一类间断点。)(li01fxli1例 2 设 ，讨论 的间断点及其类型。xtfsinxtil)()(f解 )(lim)( sinsicolimsin|)l|(limsinlisn kxeeef txxtxxttxt tt 在 点 ， 为可去间断点。0fx)(00在 点 不存在， 为第二类k),321(xkxkxefsinl)(lik间断点（无穷间断点） 。例 3 设 在 点连续，求 与 的关系。0sin)(2xbaxf ab解 ， ，afxx )(lim)(li200 f)(于 点连续，则 。)(f b例 4 证明 ，恰有三个实根193x证 令 ，则 于 上连续，)(f )
11、(xf),而 ， ， ，03092f 01f 027)4(f由零点存在定理 ， ， ，使),3(1x),(x,3x2fff即方程有三个实根，又三次方程至多有三个实根，故恰有三实根。方程有根问题当与微分学结合时会很精彩。9例 5 设 在 上连续，且对 都 使 ，)(xf,ba,bax,1x|)(|21)(|xff证明在 上 。,ba0证： 在 上连续。则 有界，即 ，使 。)(xf,)(xf0Mxf|)(|又 ， 使 ，故又 使,1ba|21|,.2ba，|)(|)(|)(| 21xfxff同理 ，使,xn nn|0令 ，则有 。)(xf例 6 设 在 上连续，且 ，证明 ，使f1,0)1(0f
12、1,0x。)31()00xff证 设 ，假设 ，则)3(xfF)(xF， ，0)()f 0321f 0)1(32)(ffF相加 ，与 矛盾，即 恒大于 0，)(2310f1)(fx不可能。同理 （恒）也不可能，即 必有大于 0 的点，也有小于 0 的点，由连续)(xF)(xF性和介值定理， ，使 ，即 。1,032,00)31()xff第二章一元函数微分学及其应用一、导数概念的三类问题1 “分析”形式问题例 1 在 处可导，求 。)(xf0 hxffh )2()(lim00解 原式 xfh)(li 2)( 0000 xfff)(30xf10例 2 可导， ， 。求 。)(xf2)(af3)(f
13、 nnaf)(1lim解 原式 axn fnnaffafnfn eee )(l1)(l)(lim)(l)1(l iim。23)()(afxfa例 3 设 在 点可导，且 ，求 。F00)(F20tan)cos1(lixFx分析： 0(cos1)litan)cos1(li020xxx 例 4 设 有导数，且 ，求 。)(f )(f )(ln1sim0xfx分析：原式 0)(l)(lnsisi)0(nlim0 xffxffx例 5 设 是周期为 5 的连续函数，且于 的某邻域内满足)(f 1 （*）)(8)sin1(3)sin1fx其中 是当 时比 高阶无穷小量，且 于 处可导，求曲线于)(x0x
14、f点的切线方程。6,f分析：由(*)式，令 )06()1(ffx（凑定义）： xfxf sin)(8sin133)si1( 令 ， ， 。0x84f 2)(f切线方程： ， 。6)(6XfY 012)6(0XYY2 “隐式”导数问题例 1 在 点连续，且 ，求 。)(xf03)(lim0xf)(f解 ，由分母 ，则 （连续）3lim0x 0li11则 3)0()(lim)(li00 fxfxf例 2 设曲线 在原点与 相切，试求极限 。)(fyxysin)2(lim1nfn解 在 点两曲线相切， ，0x0i)(f |(si)0xf。2)(2)(lim)2(li1 fnffnfn3导数物理解释问
15、题（速度，变化率） （相关变化率）例 1 有一底半径为 Rcm，高为 h 的锥形容器，现以 Acm /s 的速率向容器内注水，试3求当容器内水位上升到 时，水面上升的速率和液面面积的变化率。2解 设坐标系如图 yy dyhRdxv020)1()(tttA2令 ，则 ；2hy2hydt224)1(/RAA22)1()(hRxSdtydtyst )1(2令 ，则 。hhARt 422注：体会物理解释， “以 速率注水” ， “水面上升速度“sAcm/3dtvdty“面积变化率“ dts例 2 一动点 P 在曲线 上运动。已知 P 点横坐标的速率位 30cm/s。当 P 点运249xy动到 点时，从
16、原点到 P 点的距离的变化率是多少？（设坐标轴长度单位为 1cm） 。)4,3(解 方程 两边对 求导，得 ， 。29xytdtxty8xy380912记 ，则 ，对 求导，得SOP22yxt xydtxtydtxts 380222， 。)380(1dtst scmdts /)38043(51)4,3( 例 3 设雨滴为球状体，若雨滴聚集水分的速率与其表面积成正比。证明雨滴半径增加的速率为一常数。证 , ,则 。34RV22Rkdtdtkdt二、导数计算（的四个重点）重点掌握：隐函数求导（含二阶导数） ；分段函数求导；积分上限函数求导；参数方程所确定函数求导。1复合函数求导）例 1 ，求 。x
17、ylnsi2dy解 ；xxxxd )ln1(2siln)1(l1coslsi 2 例 2 ， ，求 。23xfyartn)(f 0xdy解 ，2)(1fd0x 43)1arctn(3)1(2f例 3 ，求 。xfcos)( f解 法（1）方程两边对 求导 xxf 2sin)si(co。f4)(4法（2） ， ， 。xf2cs)(o 1s212xxf)(2隐含数求导例 1 ，求 。2lnartyy;解 ，两边对 求导得)l(ctxx 2211yxyx整理 (1) (2)yxy yx13(1)两边对 求导： ，xyy21322 )(1yxyxyx例 2设 ，求 。eyx)0(解 令 得 ，方程两边
18、对 求导： （1）0x0)1(yxeyx由（1）得 。eyx对（1）再求导得： （2）0)1(2 yxyexy当 时 ， ，代入（2） ， 。0x0 )(3参数方程求导, .)(tyxtxyd 32 ttttxyydx例 1. ，求 ， ， 。te2123y解 ， ， 。ttdxy2 ttedxy3221 tttedxy5234例 2 且 ，求 。)(tftfct2y解 ， 。ttfdxy)( )(12tfdx例 3设 是由方程组 所确定的函数，求 。01sin3ytexy 02tdxy解 ，方程两边对 微分得1,0yxt cossin)26(ytetdexyy从而 ， ， ， 。sincot
19、eyyt et0| )26(i1(cotdxyy 2|0xt14txydx)(2 32)6(sin1( )2(si)cotettyyty i)sin(cotet yytyy将 代入得 。1,30xt edxt23|024绝对值函数与分段函数求导1设 ，则使 存在的最高阶导数|)(23f)(nf ?n解 0,4|323xxf由于 2lim)(li)0( 30ff xx 4li)(li)( 300 ff xx因而 ，从而)(f 0,6,12)(xf类似地可求得 ，以及0)(f ,12,4)(xf而 0limli)0(0xfff xx 4)(0因而 不存在。)(f可见， 存在的最高阶数为 。)(n
20、2n例 2设 在 x=0 可导，求 之值。032)(xbaxf ba,解 要在 点连续，则0)0()(fff， ，则32(lim)(li0xxfx baxx )(limli0315，23lim)0(li)0( 2 xxff xx axaf xx 00lim3li)(，由于在 可导，所以 a5、积分上限求导，xadtfF)( )(xfF， 。)(xG )()xfG,atf xadtfx,),()例 1 ，求 。xdtfFln1()(F解 ，xtfln1)()( )1()(l)()( 2ln1 xfxfdtfxFx ；)()(ln)ln1fftfx例 2 连续 ，求 。(fxdttfF02)(xF
21、解 令 ，utx2 xtxtfdtfF02202 )()(1)(1)(2 )x u；()()(2xff例 3设 由方程 确定，求（1） ；（2）过 点切y012yudey0x线方程（3） 。02|xd解 在 ，对方程求导 （1）1,0y 0)1(2)yex再求导 （2）)(22)(2)( yxeyx将 代入（1） ，切线 ，将 代入,0y|0ex xe)(1,0y16得 代入（2） ，得 ，1)0(ey2ey6关于高阶导数例 1 ，求 。xxf44sinco)( )(fn解 ， 。x2cossi)(222 )2cos(2)(nxfnn例 2 ，求 。xxytan1cotsi)(ny解 xx2s
22、i1sicsin33 )n(21)( yn例 4 ，求 。l2x)06(解 ，(43)1ln( xo)l(2xy )(12165xo则 ，即 。)0(!6!14)(yf !4)(6注：1. 高阶导数直接用公式的已推广到 )1ln(,)(,cos,inbxexax2结合泰勒公式如 3，4 尤其 4 应注意。例 5、 三阶导数存在，求 ， 。)(xydy32,解 ，ydx1 322 1yx。5262333 1yyydxyy 三、微分中值定理与 Taylor 公式1内容小结1）费马引理： 在 点处取得极值，并且在 处可导，那么 。)(xf0 0x0)(xf2）罗尔定理： 满足（1）在闭区间 上连续；
23、（2）在开区间 内可导；,ba,ba17（3）在区间端点处的函数值相等，即 ，那么在 内至少有一点)(bfaf),(ba，使得 。)(ba0)(f3）拉格朗日中值定理 满足（1）在闭区间 上连续；（2）在开区间)(xf ,内可导，那么在 内至少有一点 ，使 ),(),(ba)ba)()(abfaf4）柯西中值定理 满足（1）在闭区间 上连续；（2）在开区间 内可xf , ,导；（3）对任一 ， ，那么在 内至少有一点 ，使),(F0)()()(fabf5）泰勒中值定理 含有 的某个开区间 内具有直到 阶的导数，则xf0,ba)1(n对任一 ，有),(bax )()(!1)(!2)( 0)(20
24、000 xRxfnxfxff n其中 。10)1(!nnnxR或者 )()(!)()( 000)(00 nonnxxfxfxf 前者展开到项常用于求极限，后者余项确切常用于估计误差。要点:中值定理：证等式（含方程有根） ，放缩一下也可以证不等式。泰勒公式：“建立两点连续” ， “一点在另一点展开” ， “寻求函数和其导数之间的联系。2例题1）关于罗尔定理直接法例 1 设抛物线 与 轴有两个交点 和 ，又 二阶CBxy2 axb)(xfy可导，且 ，同时上述两曲线在 上有一交点。证明 使0)(bfaf ),(b,a。2)(f证 令 ，则 ， （在 点两曲线相)(2CBxxfF )()(0bFxa
25、0x交） ，由罗尔定理 ，使 ， ，使 ，从而,01a0)(1F,2218，使 ，即 。),(,(21ba0)(F2)(f倒推法例 2 在 上连续，在 可导，证明 ，使)(xf,ba),(ba),(ba。baff)()(分析： ，0)()( affF。)(xfx，验证)()(abfx)()(bFf例 3 设 在 上连续，在 上可导，且 ，证明 正整数 ，x1,01,001f2n使 。)1,0(x)()(fnf分析 。 。00xn )1(),()(,)( FxfFxfFnn （乘一因子，使之易求原函数，考题难度合适！）其他1） 欲证 ，fxff )()(xf2） ；0gfgF3） f4） ；)(
26、0xfeFf5） 6） ；)(xffxnn7） gFg08） 200 )()(xdtfdtf9） 0)xgtftf2）关于拉格朗日中值定理例 1 求极限 。)1tan(arctlim2n19解 原式 ， 介于 之annann)1(lim11lim22 1,na间例 2 设 在 内有界。可导且 存在，证明)(xf),0)(lixfx 0)(limxfx证 ，若 ，则xf2,()(lifx，)(2limfx但 矛盾，说明Mffxf |)(|)2(| 0)(lifx小注：（1）凡遇到 先用一下中值定理往往有效。)(afb（2）有时要刻意构造同一类函数在两点做差。3）关于泰勒公式问题已知一点信息例 1
27、 设 二阶可导， ，求 。)(xf 2)0(,1)(,0)(fff 20)(limxf解 原式 1)(li!20lim20xxoox已知多点信息例 2 设 在 上具有三阶连续导数，且 ，证明)(f1, 0)(,)1(,)(fff，使 。1,(3分析：（1）求证 泰勒公式，余项三阶)(f（2） ，故在 点展开可去掉一阶项0)(fx（3）两端在中点展开相减可去掉二阶项（4）三阶导数连续用介值定理证 10,)1(!32)0(1)()1 3 ffff 0,)(!0( 2322 f相减： ，若 ，则 ，由 的连续性)()(621ff )(1f2f(xf及介值定理， 使 ，若 否则可取 。,331展开中再
28、展开例 1 设 ，又有 ，证明)(!)()( )hxfnxfhfxf 0)(1xfn20。1lim0nh证 )()!1()!)()( 1( nnnn hoxffhxffhxf 与假设式比较 )()!(!)(! 1)()() nnnn fxff整理 hoffhoxffh nnnn 1)()()(1 )(1，令 ，得 。ffnn)()1(10lim0nh四、利用导数研究函数性态1小结1）用极值定义判别极值（常用极限保号性）2）用一阶导数判别极值3）用二阶导数（或 2n 阶）导数判别极值2习题例 1 ，求极值点与极值。321)()xf解 ，0)1(3)1(323令xx得驻点 ，及不可导点 。310x
29、,021x如上三点充分小的 邻域内，)3(， ，故 是极大值。0)3(,0)31(ff 41f，不是极值,ff， 是极小值0)1()( )1(f用一阶导数，注意不可导点，画图 ， ，反映。例 2 求 所确定隐含数 是极值。32yx)(xy解 方程两边对 求导 令 得*02x0yx2代入原方程 得驻点 ，422xx1对（*）式再求导： 。)(2 yyx211） 将 代入上式， ， 是极大值。2,10yxy 032yy2） 将 代入， ， 是极小值。用二阶导数，隐含数，对*求导直接代入，计算技巧。3单调性，凹凸性，拐点，渐近线，曲率等1）概念 单调性判别定理： ， ， ， 0)(xy)(0)(xy
30、)( 凹凸性判别定理： ， 下凸（上凹） ； ， 上凸（下凹）)(xy在 两边 变号， 称为拐点，特殊情况 不存在。0)(xyy)(,0xf 0 斜率： ， 。23)1(|kkR12）例题例 1 求 的单调区间，极值，凸性及拐点。axyln0解 定义域 ， ，令 及驻点 ， ，),(xaefln(2 0)(faex),0(e， 单增。 ， ， 单减， 是极大值点，0)(xff),x是极大值；ea1得 ，当 ， ， 0ln2)(33令xaexf 231ae),0(1x0(f),(1x， 为拐点。0)(f),(2下凸区间 ，上凸区间 。,23ae),0(23ae例 2 依图 的特点判断函数 的图形
31、特征。)(xf xfy单增区间， 单减区间， ：拐点， 极值点,(43),54564,x， ，)01x0(f(f)(,),00xfx极小值22， 单增 ， ， ， ， ，0)(,(20xf)(f1x0)(1f1x0f1x0f是拐点，下凸区间 ， 上凸区间 ，1,5),3),(5， 极大值， ，不可导点，尖点。)(,(32xf)(2f3x例 3 对数曲线 上的那点曲率半径最小，并求该点的曲率半径。yln解 ， ， ，xl12x 232323)1()()1(| xxyk，xR2)1( 222312 )()(3xx令 得 ，在 两边附近 异号，由负到正，故在 点曲率半径最小，020R 0此时 。3R
32、第三章一元函数积分学及其应用一、不定积分本节重点掌握（1）不定积分概念；（2）换元法；（3）分布积分法。1. 概念， 。 的原函数的一般式或全体cxFdf)()( )(xff2. 性质,或 ; ,或记作 )()(ffxdxffd)()(CxF)()(.Cd3. 例题例 1 ，求 。cxdf33)()(xf解 ，则 ， 。3223f 32)(xf cxf359)(例 2 设 是 的一个原函数，求 。2sinx)(fdf223解 (1) 2222 sinisin)( dxxdxfxc2o(2) cssin)(xxf cxxdI 22222 osinino例 3 的一个原函数 满足 ，求 。,1ma
33、)(xf )(F1)0()(F解 ，则1)(22xf 131)(213xcx可导，必连续。)(xF；即 ，则 ，)(lim)(li11xFxx2131limli cxcx213c。23c；即 ，则 ，)(li)(li11xx 3121lilicxcx 32c。23c记 ，则c21321|)(3xcxF满足 ，则 ，故1)0(Fc1351|)(2xxF二、不定积分计算1凑分法简例例 1. ；)1(xdcxxdartn2)(224例 2.xed ceedxxxartn122例 3. 。xexx)l()(2拆项，补项积分例 1 )1(13335 xddx)1()()()( 3132 xdcxx323
34、5)1()(1例 2 xdxdxd cosinosicosincosin33223x|ta|lt1tata2例 3 dxdxdxd )1()()(1)1( 222242x 2222 11cxln4arct例 4 dxxxdos2si)i()(ios2sin3 c|os2in|lcn例 5 dxxdxxdx 11)(11 6224264；c3artnarct例 6 cttdxexedxex 1ln)()1()1(；cxln253一般换元法注意积分中含有 令 ， 令 ， 令2xatasin2xtan2axtxsec例 1 )0(2dx解 令 tasintacosdtI 22incCttatasi1
35、)os1(22xxrcin224分布积分法例 1 xdxxdx ln21ln21l)2(lCll)(ln例 2 dx)1arct( 2)1()1arctn()1arctn(tn xdxxx)()(2)1arct( dxx令 tx cttttttI )1ln()1(1 2222cx)ln(1例 3 dxxdxddx 222 )(ln1lln)(ll)(lCln例 4 2222 )cosin(s)cosi( xxdxd26dxxxx222)cosin(sinisco(dx22 )cosi()csin( dxxxx 22)in(scosi1iodx 22)cosi(sin)i(csinsoi注意分母
36、为平方项，原函数分母为一次方项，求导至此，因此积分中先要营造在分子中出现分母的导数项，而分母的导数易求得们为 ，类似可完成下题。xcos例 4 xxdsinco)s(sin22三、定积分与不定积分相联系，计算定级分，只须将原函数带上下限即可解决问题了。因此本节只须解决或说注重一些特殊解即可，特殊问题有那些呢？1和式极限问题由定积分定义： niiba xfdxf10)(lm)(实际和式极限问题多是采用等分区间。 （例 ） 取分点 。ni1ink引例：求 12lipnn )0(p解 原式 ；kpndx101lim（注意：识 ，定限方法： （下限） （上限） ） （ 有界）dx,nn)(xf例 1
37、nnnn 1321lim322li （以上为标准和式极限） 。12310dx27例 2 ， 连续。n nfff 21lim0)(xf（乘积变为和式！） 101)(lnllimln2ln1li dxfkffffn eeekn例 3 （夹挤一下）计算 nnn 1si21siilm解 knkx11sisi；nk d1102iilmnkn dx1102sinsilim故 。 （放大、缩小无关紧要小量）nnn si21siil2定积分计算中的几个特殊问题1）奇函数、偶函数在对称区间上的积分（1）若 在 上连续且为偶函数，则 )(xf,aaadxfdxf0)(2)(（2）若 在 上连续且为奇函数，则 a上
38、述结论可推广到关于 对称函数积分0x200sinsinxdxd 0cos01xdn2）绝对值函数和分段函数积分：分区间去绝对值符号积之。3）注意公式 奇偶nknxdxdnn 12,!)(cossi2020 例 ；3s20 32546si20x4）周期函数积分 )()Tfx2820)()()(dxfxfdxfTTa TnTadxfdxf0)()(5） （证：令 代换即可证得，此处 连续）00sinsinff tf例 0334 si2ii xddxx4insin20303四、定积分与微分学相联系问题定积分与微分学相联系“桥梁”是积分上限函数。引入这个函数。重写微分学讨论的到问题，使问题形式新颖，丰
39、富多彩。1、极限与连续问题例 1 3204sin04sin0 cosin)si1ln(im21)l(lm1)l(lm22 xxdtxdt xxxx 2cossinl30x例 2 200 1)arctn(lim)cos1(artnlim2xdutxdutxuxu 63)1artn(li23artli 2002 xxtxXx例 3 0)()(20xAdteft求 A 为何值时， 在 点可导，且求 。)(xf )(f解 使 在 可导，则 （连续）0lim)(0fx而 024li21li)1(lim04020 exdtexxxtx即 ，A 38)1(li)(li)( 300 dteff txx292、
40、导数例 1设 由方程 确定， （1）求 （2）求过 点的切)(xy012yxudey0x线方程（3）求 。02xd解 在 ， ，方程两边对 求导，得 （1）1yx0)1(2)(yeyx，过 点切线方程为 。2)(xey0ex0xe对（1）两边求导： ，)1(2)( yxyy 2)(20( e3中值定理例 1设 ， 均为 上的连续函数，证明至少存在一点 ，使)(xfg,ba ),(ba。abdxfdgf )()(证 令 ，则 ，故 使 ，bttF)( 0)(bF),(0(F即，移项得证 。adxfgxf)()(4积分1 ，计算xdtf0sin)(0)(f解 0sin)()( dxfdxf0 00
41、 2sisinsi xxt5不等式与零点例 1设 在 上连续，且单增，证明)(f,ba babadtfdtf)()(证 令 xaxadtfdtF)(20F)(21)()(1)( fxfff b02x单增， 即)(xF)(aFbbabadtfdtf)()(例 2设 在 上连续，单减，设 ，对 满足 ，证f1, 0x,10明 。00)()(dxfdx30证 记 ，令 ， ，ttdxfxftF00)()()( 0)(F，则 ， （)(0 tdxf t 0)(F得证。t例 3设 ，且 。证 在 上有且仅有一个实1,)(xf 1)(xfxdtf01)(2),0(根。证 令 ， ，xdtfF0)(2)( )(F0)(121010dtfdtf故 使 ， ，又 ，故
