1、1等腰三角形知识精讲等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角 底底 底底底底等腰三角形的性质：1等腰三角形的两个底角相等，两条腰相等2等腰三角形的三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 DCBA证明： 是等腰三角形， ，作底边 的高 ，ABCABCBAD由等腰三角形是轴对称图形，底边上的高 是 的对称轴可知，对称轴左右两边的三角形完全相等，即 ，得 ， C等腰三角形三线合一及其逆定理：一个三角形如果一条边上的中线，高线以及这条边所对角的平分线有两条互相重合，则这个三角形是等腰三角
2、形等腰三角形的判定：1如果一个三角形有两个角相等，那么着两个角所对的边也相等补充：1如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形（需要证明）补充：角平分线遇平行线产生等腰三角形，分 ， 两种情况：ab2图甲432OD ECBA1图乙a如图甲：一直线与角的一边平行，即 为等腰三角形32131GDOAOC b如图乙：一直线与角的平分线平行，即 为等腰三角形34241ECDE 等腰三角形遇角平分线产生平行线a 如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行 1323CODCDOAb 如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行 1334213BE CDEABAO等腰三角形遇平行
3、线产生角平分线a 如图甲：与一腰平行 3212OADCb 如图乙：与底边平行 341212EDOC角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或者作其二，寻找发现其三这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能等腰三角形因为有两条边相等，两个角相等，天然具备证明三角形全等的一些条件，再结合等腰三角形三线合一及其逆定理，使得等腰三角形与全等三角形的综合问题经常作为各种考试中的重3难点题目来考察另外轴对称的两个图形是全等的，同时我们也可以利用轴对称主动翻折来构造全等三角形，这也是考试中的一个难点三点剖析重难点1等腰三
4、角形的三线合一及其逆定理2角平分线、平行线、等腰三角形知二推一3等腰三角形与全等三角形综合问题考点1等腰三角形的性质和判定2等腰三角形的三线合一及其逆定理3角平分线、平行线、等腰三角形知二推一4等腰三角形与全等三角形综合问题易错点1等腰三角形边或者周长的计算问题容易忽略“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”这个隐含的限制条件2等腰三角形的三线合一及可以直接使用，但是三线合一的逆定理需要证明之后才能用3角平分线、平行线、等腰三角形知二推一要非常熟练，在使用的时候是需要简单证明的，不可直接得出结论题模精讲题模一：等边对等角例 1.1.1 如图，在ABA 1中，B=20，AB=A 1B，在
5、 A1B 上取一点 C，延长 AA1到 A2，使得A1A2=A1C；在 A2C 上取一点 D，延长 A1A2到 A3，使得 A2A3=A2D；，按此做法进行下去，A n的度数为 (_)【答案】 80 2 n-1【解析】 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出CA 2A1，DA 3A2及EA 4A3的度数，找出规律是解答此题的关键在ABA 1中，B=20，AB=A 1B，BA 1A= = =80，80220A 1A2=A1C，BA 1A 是A 1A2C 的外角，4CA 2A1= = =40；B80同理可得，DA 3A2=20，EA 4A3=10，A n= 180故答案为：
6、2题模二：三线合一例 1.2.1 如图， ABC 中， ， ， AD 是 BC 边上的中线，且 ，则ABC10BDE的度数为（ ）ADEAB CDEA 10B 20C 40D 70【答案】B【解析】 该题考查的是三角形的性质 ，BC ， ，10A ，4 AD 是 BC 边上的中线， ，DBC ，90 ，E ，7 ，2A故该题答案为 B例 1.2.2 在 RtABC 中， ，CDAB 于 D，BAC 的平分线 AF 交 CD 于 E，交 BC 于90ACBF，CMAF 于 M，求证： EF【答案】 见解析【解析】 ，CDAB，90ACB ，D5 ， ，90AED90CFEA又BAC 的平分线 A
7、F 交 CD 于 E， ， ，又 ，AEF ，C又CMAF， M题模三：等角对等边例 1.3.1 已知：如图， 平分 ， 求证： 是等腰三角形OABC1=2ABC【答案】 见解析【解析】 作 于 ， 于 OEABFAC平分 ， ， AC34OE， ，12Rtt， ，即 ，561526B， 是等腰三角形B例 1.3.2 如图，在 中， ， 、 分别是 和 的角平分线，且ABC5cmBPCABC， ，则 的周长是_PDAB E PD6【答案】 5【解析】 、 分别是 和 的角平分线，BPCABC， ADE， ， ， ， E PDPE， ， ， ， 的周长 5Bcm题模四：角平分线，平行线，等腰三角
8、形知二推一例 1.4.1 如图， D 为 内一点， CD 平分 ， ， ，若 ，ABC ACDABD5AC，则 BD 的长为（ ）3BCABCD（第 6 题）A 2 B 1 C 52D 32【答案】A【解析】 该题考查的是等腰三角形三线合一逆定理延长 BD 与 AC 交于点 E， ，ABD ，E ，C ， CD 平分 ， ，B ，E BEC 为等腰三角形， ，C7 ，BECD ，2 ， ，5A3 ， ，2 ，2BE 1D所以答案选 A例 1.4.2 如图，在梯形 ABCD 中，ABDC，ADC 的平分线与BCD 的平分线的交点 E 恰在 AB上若 AD=7cm，BC=8cm，则 AB 的长度是
9、_cm【答案】 15 【解析】 ADC 的平分线与BCD 的平分线的交点 E 恰在 AB 上，1=2，3=4，ABDC，2=5，3=6，1=5，4=6，AE=AD，BE=BC，AD=7cm，BC=8cm，AB=AE+BE=AD+BC=7+8=15（cm） 故答案为：15例 1.4.3 如图，在ABC 中，AB=AC，AD 是高，AM 是ABC 外角CAE 的平分线8（1）用尺规作图方法，作ADC 的平分线 DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设 DN 与 AM 交于点 F，判断ADF 的形状 （只写结果）【答案】 （1）见解析；（2）等腰直角三角形【解析】 （1）如图所示：（2）ADF
10、 的形状是等腰直角三角形，理由是：AB=AC，ADBC，BAD=CAD，AF 平分EAC，EAF=FAC，FAD=FAC+DAC= EAC+ BAC= 180=90，1212即ADF 是直角三角形，AB=AC，B=ACB，EAC=2EAF=B+ACB，EAF=B，AFBC，AFD=FDC，DF 平分ADC，ADF=FDC=AFD，AD=AF，即直角三角形 ADF 是等腰直角三角形题模五：等腰三角形与全等三角形综合9例 1.5.1 如图 1，在 中， ， 的平分线 AO 交 BC 于点 D，点 H 为 AO 上一ABC 2BAC动点，过点 H 作直线 于 H，分别交直线 AB、 AC、 BC 于
11、点 N、 E、 MlOAB C MEl NHDOl NHA AB BC CDOOD E图 1 图 2 图 3（1）当直线 l 经过点 C 时（如图 2） ，证明： ；N（2）当 M 是 BC 中点时，写出 CE 和 CD 之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出 BN、 CE、 CD 之间的等量关系【答案】 （1）见解析（2） （3）当点 M 在线段 BC 上时， ；当点 M 在DECDBNEBC 的延长线上时， ；当点 M 在 CB 的延长线上时，BN 【解析】 该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质（1）证明：连接 ND AO 平分 BAC， ，2直线 l AO 于
12、H， ，4590 ，67 ，ANC ， AH 是线段 NC 的中垂线， ，D 89 ，ANCB ， ，32AB ， ；D（2）如图，当 M 是 BC 中点时， CE 和 CD 之间的等量关系为 2CDE证明：过点 C 作 CN AO 交 AB 于 N由（1）可得 ， ， BNDACA10 ， 43NCE过点 C 作 CG AB 交直线 l 于 G ， 21B G M 是 BC 中点， C在 BNM 和 CGM 中，1.1BNG BNM CGM （ASA） E 2CDCE（3） BN、 CE、 CD 之间的等量关系：当点 M 在线段 BC 上时， ；DBN当点 M 在 BC 的延长线上时， ；当
13、点 M 在 CB 的延长线上时， CE随堂练习随练 1.1 如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，BD 平分ABC，A=36，则1 的度数为（ ）A 36 B 60 C 72 D 108【答案】C【解析】 A=36，AB=AC，ABC=C=72，BD 平分ABC，ABD=36，1=A+ABD=72随练 1.2 如图，在ABC 中， ， ，AD 平分 ， 于 G，交54B72ACBACMEDAB、AC 及 BC 的延长线于 E、M、F，则 _E11M【答案】 9【解析】 该题考查的是等腰三角形三线合一 ， ，AD 平分54B72ACBAC 1805427D又ADEF 即 9GM 63F又CF
14、M 的外角 ACB 729CF随练 1.3 如图， ABC 中， AD 是 BAC 的平分线， DE/AB 交 AC 于点 E，若 ， ，则7D5CE（ ）AA 11 B 12 C 13 D 14【答案】B【解析】 该题考查的是等腰三角形的判定 DE/AB， ，又BDEADE A 7 512C该题的答案是 B随练 1.4 如图，在ABC 中，B 与C 的平分线交于点 O，过点 O 作 DEBC，分别交 AB、AC 于点 D、E若 AB=5，AC=4，则ADE 的周长是_12【答案】 9 【解析】 此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质此题难度适中，注意证得DOB 与E
15、OC 是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用由在ABC 中，B 与C 的平分线交于点 O，过点 O 作 DEBC，易证得DOB 与EOC 是等腰三角形，即 DO=DB，EO=EC，继而可得ADE 的周长等于 AB+AC，即可求得答案在ABC 中，B 与C 的平分线交于点 O，DBO=CBO，ECO=BCO，DEBC，DOB=CBO，EOC=BCO，DBO=DOB，ECO=EOC，OD=BD，OE=CE，AB=5，AC=4，ADE 的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9故答案为：9随练 1.5 如图，在ADC
16、中，AD，BE 分别为边 BC，AC 上的高，D，E 为垂足，M 为 AB 的中点，N为 DE 的中点，求证：（1）MDE 是等腰三角形；（2）MNDE【答案】 见解析【解析】 （1）如图，在ABD 中，ADBD，则ABD 是直角三角形，AB 是斜边M 是 AB 的中点， ，同理2MDAB12EAB EMDE 是等腰三角形；（2）由（1）知，MDE 是等腰三角形13N 是 ED 的中点，MN 平分 DE，MNDE随练 1.6 已知：如图，AF 平分BAC，BCAF，垂足为 E，点 D 与点 A 关于点 E 对称，PB 分别与线段 CF，AF 相交于 P，M（1）求证：AB=CD；（2）若BAC
17、=2MPC，请你判断F 与MCD 的数量关系，并说明理由【答案】 （1）见解析（2）F=MCD；理由见解析【解析】 （1）证明：AF 平分BAC，CAD=DAB= BAC，12D 与 A 关于 E 对称，E 为 AD 中点，BCAD，BC 为 AD 的中垂线，AC=CD在 RtACE 和 RtABE 中， （注：证全等也可得到 AC=CD）CAD+ACE=DAB+ABE=90，CAD=DAB，ACE=ABE，AC=AB（注：证全等也可得到 AC=AB） ，AB=CD（2）解：F=MCD，理由如下：BAC=2MPC，又BAC=2CAD，MPC=CAD，AC=CD，CAD=CDA，MPC=CDA，
18、MPF=CDM，AC=AB，AEBC，14CE=BE（注：证全等也可得到 CE=BE） ，AM 为 BC 的中垂线，CM=BM （注：证全等也可得到 CM=BM）EMBC，EM 平分CMB（等腰三角形三线合一） CME=BME（注：证全等也可得到CME=BME ） ，BME=PMF，PMF=CME，MCD=F （注：证三角形相似也可得到MCD=F）随练 1.7 如图，已知BAD 和BCE 均为等腰直角三角形，BAD=BCE=90，点 M 为 DE 的中点，过点 E 与 AD 平行的直线交射线 AM 于点 N（1）当 A，B，C 三点在同一直线上时（如图 1） ，求证：M 为 AN 的中点；（2
19、）将图 1 中的BCE 绕点 B 旋转，当 A，B，E 三点在同一直线上时（如图 2） ，求证：ACN 为等腰直角三角形；（3）将图 1 中BCE 绕点 B 旋转到图 3 位置时， （2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由【答案】 （1）见解析（2）见解析（3）成立，证明见解析【解析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、多边形的内角与外角等知识，渗透了变中有不变的辩证思想，是一道好题（1）证明：如图 1，ENAD，MAD=MNE，ADM=NEM15点 M 为 DE 的中点，DM=EM在ADM 和NEM 中， ADNEADMNEM
20、AM=MNM 为 AN 的中点（2）证明：如图 2，BAD 和BCE 均为等腰直角三角形，AB=AD，CB=CE，CBE=CEB=45ADNE，DAE+NEA=180DAE=90，NEA=90NEC=135A，B，E 三点在同一直线上，ABC=180-CBE=135ABC=NECADMNEM（已证） ，AD=NEAD=AB，AB=NE在ABC 和NEC 中，ABNEC16ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN 为等腰直角三角形（3）ACN 仍为等腰直角三角形证明：如图 3，延长 AB 交 NE 于点 F，ADNE，M 为中点，易得ADMNEM，AD=NEAD=AB，A
21、B=NEADNE，AFNE，在四边形 BCEF 中，ACN=BFE=90FBC+FEC=360-180=180FBC+ABC=180ABC=FEC在ABC 和NEC 中，ABNECABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN 为等腰直角三角形自我总结17课后作业作业 1 如图，已知 AB=A1B，A 1B1=A1A2，A 2B2=A2A3，A 3B3=A3A4，若A=70，则A n的度数为（ ）A 702nB 1702nC 1702nD 270n【答案】C【解析】 在ABA 1中，A=70，AB=A 1B，BA 1A=70，A 1A2=A1B1，BA 1A 是A 1A2B1
22、的外角，B 1A2A1= =35；同理可得，B 2A3A2=17.5，B 3A4A3= 17.5= ，12354A n1 AnBn1 = 7018作业 2 如图，在ABC 中，BAC=120，B=40，若将ABC 分割成两个等腰三角形，则这两个等腰三角形的顶角的度数分别是（ ）A 100、140或 100、20B 100、140C 100、20D 140、20【答案】A【解析】 本题考查的是等腰三角形分两种情况：如图 1，把 的角分为 和 ，20102则 ABD 与 ACD 都是等腰三角形，其顶角的度数分别是 ， ；104把 的角分为 和 ，48则 ABD 与 ACD 都是等腰三角形，其顶角的
23、度数分别是 ， 2故此题选 A作业 3 如图，已知：ABC 中， ，D 是 BC 上一点，且 ， ，求BAC 的ABCADBCA度数【答案】 108BAC【解析】 题中所要求的BAC 在ABC 中，但仅靠 是无法求出来的因此需要考虑ABC和 在题目中的作用此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系因此D19可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求因为 ，所以ABCBC因为 ，所以 ；DDA因为 ，所以 （等边对等角）而 AB所以 22CAB，所以 3又因为 180B即 ，所以36B即求得 0AC作业 4 如图，在 RtABC 中，D，E 为斜边 AB 上的两个点，且 BD=BC，A
24、E=AC，则DCE 的大小为_【答案】 45 【解析】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键设DCE=x，ACD=y，则ACE=x+y，BCE=90-ACE=90-x-y，根据等边对等角得出ACE=AEC=x+y，BDC=BCD=BCE+DCE=90-y然后在DCE 中，利用三角形内角和定理列出方程 x+（90-y）+（x+y）=180，解方程即可求出DCE 的大小设DCE=x，ACD=y，则ACE=x+y，BCE=90-ACE=90-x-yAE=AC，ACE=AEC=x+y，BD=BC，BDC=BCD=BCE+DCE=90-x-y+x=90-y在
25、DCE 中，DCE+CDE+DEC=180，x+（90-y）+（x+y）=180，解得 x=45，DCE=45故答案为：45作业 5 如图所示，三角形 ABC 的面积为 AP 垂直 的平分线 BP 于 P则三角形 PBC 的面21cmB20积是_.ACBP【答案】 12【解析】 该题考查的是面积问题过 P 点 作 PE BP， 垂 足 为 P， 交 BC 于 E， AP 垂 直 的 平 分 线 BP 于 P， ，AEBP又 ， ，B90AE ABP BEP， ， APC 和 CPE 等 底 同 高 ， ，S 三 角 形 PBC 的 面 积 三 角 形 ABC 的 面 积1212作业 6 如图所
26、示， ABC 中，已知 和 的平分线相交于点 F，过点 F 作 DEBC，交 AB 于点D，交 AC 于点 E求证： DE【答案】 见解析【解析】 该题考查的是等腰三角形的性质BF 和 CF 分别是 和 的角平分线ABC ，DBFEF又DEBC ，C212. ，DBFEFC ，3. CD即 E作业 7 已知：如图，在 中， ， ，且 ， 为 内部一ABCABC6012PABC点，且 ， P120用含 的代数式表示 ；P求证： ；B求 的度数C【答案】 （1） （2）见解析（3）030【解析】 该题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的角度计算 ， ， ，ABCPCA ， ，PB ，180 26230BACPQ过 AP 向右作等边三角形 APQ，连结 QC， ，306302QAC 302BAP ，BP ，ACQ B22 ACQB 12062P 6
