1、七、反证法与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真
2、，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A 或者非 A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定推理否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾
3、，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 推导出矛盾 结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。在数学解题中经常使用反证法
4、，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。、再现性题组：1.已知函数 f(x)在其定义域内是减函数，则方程 f(x)0 _。A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根2.已知 aab ab B. ab aba C. aba ab D. ab ab a22 223.已知 l，a ，b ，若 a、b 为异面直线，则_。A. a、
5、b 都与 l 相交 B. a、b 中至少一条与 l 相交C. a、b 中至多有一条与 l 相交 D. a、b 都与 l 相交4.四面体顶点和各棱的中点共 10 个，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法有_。(97 年全国理)A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种【简解】1 小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选 A；2 小题：采用“特殊值法”，取 a1、b0.5，选 D；3 小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选 B；4 小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C C 436,选 D。1046、示范性题组：例 1. 如图，设 SA、
6、SB 是圆锥 SO 的两条母线，O 是底面圆心，C 是 SB 上一点。求证：AC 与平面 SOB 不垂直。【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。【证明】 假设 AC平面 SOB， 直线 SO 在平面 SOB 内， ACSO， SO底面圆 O， SOAB， SO平面 SAB， 平面 SAB底面圆 O，这显然出现矛盾，所以假设不成立。即 AC 与平面 SOB 不垂直。【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。例 2. 若下列方程： x 4ax 4a30， x (a1)x a 0,
7、x 2ax2a0 至2222少有一个方程有实根。试求实数 a 的取值范围。【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时 a 的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。【解】 设三个方程均无实根，则有：,解得 ,即 b1 D. ba17.如果|x| ,那么函数 f(x)cos xsinx 的最小值是_。 (89 年全国文) 42A. B. C. 1 D. 2121128.如果奇函数 f(x)在区间3,7上是增函数且最小值是 5，那么 f(x)的-7,-3上是_。(91 年全国)A.增函数且最小值为5 B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为5
8、 D.减函数且最大值为5 9.设全集 I(x,y)|x,yR，集合 M(x,y)| 1，N(x,y)|yx1，yx32那么 等于_。 (90 年全国)MNA. B. (2,3) C. (2,3) D. (x,y)|yx1 10. 如果 是第二象限的角，且满足 cos sin ,那么 是 2 sin 2_。A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角11. 已知集合 E|cos乙，选 A;2 小题：由已知画出对数曲线，选 B；3 小题：设 sinxt 后借助二次函数的图像求 f(x)的最小值，选 D；4 小题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选 B；5
9、小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选 B；6 小题：利用单位圆确定符号及象限；选 B；7 小题：利用单位圆，选 A；8 小题：将复数表示在复平面上，选 B；9 小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选 D；10 小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案 。32【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴（题）、图像（、题）、单位圆（、题）、复平面（、题）、方程曲线（题）。、示范性题组：例 1. 若方程 lg(x 3xm)lg(3x)在 x(0,3)2内有唯一解，求实数 m 的取值范围。【分析】将对数方程进行等价变形，转
10、化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。【解】 原方程变形为 3032xx即：3021xm()设曲线 y (x2) , x(0,3)和直线 y 1m，图像如图所示。由图可知：122 当 1m0 时，有唯一解，m1; 当 11m0),椭圆中心 D(2 ,0)，焦点在 x 轴上，长p2p2半轴为 2，短半轴为 1，它的左顶点为 A。问 p 在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点 A 的距离等于该点到直线 L 的距离？【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p 为何值时，以 A 为焦点、L 为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题
11、（研究方程组解的情况）。【解】 由已知得：a2，b1, A( ,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有：2，消 y 得：x (47p)x(2p )0ypx241()2p24所以1664p48p 0,即 6p 8p20，解得：p1。2213结合范围( ,4+ )内两根，设 f(x)x (47p)x(2p )，p2p24所以 0、f(4+ )0 即 p43 。24721p结合以上，所以43 0,故式不可能有实数解。所以不存在 a、b，使得 AB 与(a,b)C 同时成立、巩固性题组：1. 已知 5x12y60，则 的最小值是_。xy2A. B. C. D. 16013532. 已知集合 P(x,y)|y
12、 、Q(x,y)|yxb，若 PQ，则 b 的取92值范围是_。A. |b|x1|x1|的解集是非空数集，那么实数 m 的取值范围是_。6. 设 zcos 且|z|1,那么 argz 的取值范围是_。27. 若方程 x 3ax2a 0 的一个根小于 1，而另一根大于 1，则实数 a 的取值范围是_。8. sin 20 cos 80 sin20cos80_ 。2239. 解不等式： bx10.设 Ax|0、a0、a2时分 a0、a0 和 a0 且 a1，plog (a a1)，qlog (a a1)，则 p、q 的大小关系是32_。A. pq B. pq D.当 a1 时，pq；当 00、a0、
13、a1、00、x0 且 a1，比较|log (1x)|与|log (1x)|的大小。aa【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数 a 有关，所以对底数 a 分两类情况进行讨论。【解】 01 当 00，log (1x)0;a aa2 当 a1 时，log (1x)0，所以aa|log (1x)|log (1x)|log (1x) log (1x)log (1x )a aa20；由、可知，|log (1x)|log (1x)|。aa【注】本题要求对对数函数 ylog x 的单调性的两种情况十分熟悉，即当 a1 时其是增函数，当 00，使得lgSn2n1lg （S c）成立？并证明
14、结论。(95 年全国理)l()l()ccnn2n1【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前 n 项和的公式时，由于公式的要求，分 q1 和 q1 两种情况。【解】 设a 的公比 q，则 a 0，q0 1当 q1 时，S na ，从而 S S S na (n2)a (n1) a ann2n1212110, 使得 lg（S c）成立。lg()l()Sccnn2n1【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明log S ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是 0.5 时，logl05052Snn05.n1对数函数为单
15、调递减。例 1、例 2、例 3 属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。例 4. 设函数 f(x)ax 2x2，对于满足 10，求实数 a的取值范围。【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。【解】当 a0 时，f(x)a（x ） 21a 或120fa ()4120fa()或146820fa () a1 或 ；12当 a 。121 4 x1 4 x【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项
16、系数 a 分 a0、a0 时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。例 5. 解不等式 0 (a 为常数，a )()xa462112【分析】 含参数的不等式，参数 a 决定了 2a1 的符号和两根4a、6a 的大小，故对参数 a 分四种情况 a0、a0、 0 时，a ； 4a0 。 所以分以下四种情况讨论：12当 a0 时，(x4a)(x6a)0，解得：x6a；当 a0 时，x 0，解得：x0；2当 0，解得: x4a；1当 a 时，(x4a)(x6a)0 时，x6a；当 a0 时，x0；当 4
17、a；当 a 时，6a0)， y 2y a 解得：y1 2 1（0a1）由上可得，z(1 )或(1 )1a1【注】本题用标准解法（设 zxy再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对 z 分两类讨论则简化了数学问题。【另解】 设 zxy，代入得 x y 2 2xya； xy2 a220当 y0 时，x 2|x|a，解得 x(1 )，所以 z(1 )；2 aa当 x0 时，y 2|y|a，解得 y(1 )，所以 (1 )。由上可得，z(1 )或(1 )【注】此题属于复数问题的标准解法，即设代数形式求解。其中抓住 2xy0 而分x0 和 y0 两种情况进行讨论求解。实际上，每
18、种情况中绝对值方程的求解，也渗透了分类讨论思想。例 7. 在 xoy 平面上给定曲线 y 2x，设点 A(a,0)，aR，曲线上的点到点 A 的距离2的最小值为 f(a)，求 f(a)的函数表达式。 （本题难度 0.40）【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件 x0 下的最小值问题，而引起对参数 a 的取值讨论。【解】 设 M(x,y)为曲线 y 2x 上任意一点，则2|MA| (xa) y (xa) 2xx 2(a1)xa x(a1) (2a1)22 222由于 y 2x 限定 x0，所以分以下情况讨论：当 a10 时，xa1 取最小值，即|MA 2a1；2min当 a1log (x a) (a0 且 a1)a2a211.设首项为 1，公比为 q (q0)的等比数列的前 n 项和为 S ，又设 T ，求nnS1T 。limn 12. 若复数 z、z 、z 在复平面上所对应三点 A、B、C 组成直角三角形，且|z|2，23求 z 。13. 有卡片 9 张，将 0、1、2、8 这 9 个数字分别写在每张卡片上。现从中任取 3张排成三位数，若 6 可以当作 9 用，问可组成多少个不同的三位数。14. 函数 f(x)(|m|1)x 2(m1)x1 的图像与 x 轴只有一个公共点，求参数 m的值及交点坐标。
