1、安徽工业大学硕士研究生学位课程随机过程试卷答案一填空题（每空 2 分，共 34 分）1设随机变量 服从参数为 的泊松分布，则 的特征函数为 。XX)1(tie2设随机过程 其中 为正常数， 和 是相ttAt,)(cos)(A互独立的随机变量，且 和 服从在区间 上的均匀分布，则 的数学期望为 10 )(t； 。2)sin()1si(tt3计数过程 称为参数为 的 Poisson 过程，如果0,)(tN)0(（1） ；（2）过程有独立增量；（3） ，,ts； ，)(nstP !)(net,2104强度为 的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。 5保险公司接到的索
2、赔次数是一个泊松过程 , 每次的赔付金额 是一0,)(tNnY族独立随机变量序列，且有相同分布，索赔数额与它发生的时刻无关则在 时间内,0(t保险公司赔付的总金额可表示为 ；若保险公司以平均每月两次的速率接到索赔要求,itNiY)(1每次赔付为均值是 2000 元的正态分布,则它的年平均赔付金额为 48000 元6袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的 ，对应随机变量 ，则这个随机过程的状态空间t 其tetXt3)(。 ,3212e其其7设马氏链的一步转移概率矩阵 ， 步转移矩阵 ，二者之间)(jipPn)()njipP的关系为 。nP)(8设 为马氏
3、链，状态空间 ，初始概率 ，绝对概率0,Xn I)(0iXpi， 步转移概率 ，三者之间的关系为 。)(jpj )(njip)(njiIijp9在马氏链 中，记 0,nX， ， ，若1, 0)( iXnvjjPfvnnji 1n)(1njijiff，则称状态 为非常返的。1ji i10非周期的正常返状态称为遍历态。 11状态 常返的充要条件为 。i)(0nip12以 表示泊松过程 中事件首次发生的时刻，则对于 ，求条件概率1T0),(tNts=)(|1tsPts二解答题（每题 6 分，共 66 分）1.设 是独立增量过程, 且 , 证明 是一个马尔科夫0,tXn 0)(X0,tn(Markov
4、)过程。证明：当 时，ttn21 )(,)(,)()( 21 nxtxxtP )0(),0)0221 nnnn xXtXXttX ，又因为)( )(nttP故)() nnnxtxtP)x)(,)( 21 ntXXtX)nt2. 设 为马尔科夫(Markov) 链，状态空间为 ，则对任意整数 ,0,n I0和 ， 步转移概率 ，称此式为切普曼科尔莫l1Iji)()( lnjkliIknijpp哥洛夫(ChapmanKolmogorov) 方程，证明并说明其意义。证明： )0()()( iXjnPpnji )0()(,)( iXljPIk,klXIk )(,)()()()( iljnilI 0kX
5、PPIk )()lnjkliIp其意义为 步转移概率可以用较低步数的转移概率来表示。n3.就泊松(Poisson)过程，证明： 。tNEtM)()(证明： )()(tNEtM1tFn1tTPn dxent 101)(dxent !)(10 dxet0t0t4.设二维随机变量 的联合概率密度函数为：,YX试求:在 时,求 。其,01)(24),( xyxyxf 10y)|(yYXE解： dyffY),()(其,0)(241dy当 时，其,01)1(22y 1y)(,yfxY于是其,)(2xy )(XEdf)(dxyfY)( xy)1(2)1()1(32y5.抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：
6、， ，设TtHtX,cos)(),(t，求（1） 的样本函数集合；（2）一维分布2)(TPH),(,)t函数 ，0;xF;解：（1）样本函数集合为 ；),(,cost（2）当 时， ，0t 210)(XP故 ； 同理1,20,);(xxF1,)1;(xxF6.设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在 2 分钟内到达的顾客不超过 3人的概率。解：设 是顾客到达数的泊松过程， ，故 ，0)(tN其 4!)(ekNP则 3)2(P)2(1)2(NP2)(3)(4e48e4437e7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为 ，而今天无雨明天
7、有雨的概率为 ；规定有雨天气为状态 0，无雨天气为状态 1。设 ， ，求今天有雨且第四天无雨的概率。6.03.解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为 ，7.034610pP于是 ，61.039.52482)(P四步转移概率矩阵为 ，5749.021.683)2()4(P从而得到今天有雨且第四天无雨的概率为 。)4(p8.一质点在 1,2,3 三个点上作随机游动，1 和 3 是两个反射壁，当质点处于 2 时，下一时刻处于 1,2,3 是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。解：一步转移概率矩阵 ，013P31972)(P由 知，此链具有遍历性；0)2(jip设
8、极限分布为 ，解方程组 得),(3211312125351329. 已知齐次马氏链 的状态空间为 ，状态转移,0,nX,E矩阵为 41302P（1）画出概率转移图；（2）求二步转移矩阵及转移概率 ； )(31p（3）此链是否为遍历的，试求其平稳分布。解 （1） 1/41/21/31/3 3/41/41/31 2 3（2） 41302P4130282375因 齐次马氏链，有 ，故,10,nX 24)(P)2(31)2(3)2(3)4(31 ppp85475=0.4568（3）因对任意 i，jE，有 ，P 是正则阵，根据遍历性定理此马氏链0)2(ijp是遍历的，且正则(遍历) 马氏链的极限分布是平
9、稳分布，需求 P 的不动点概率向量 ，即满足),(321和21),(321P410 3131231iiii pp1/432132132121 443 解得 平稳分布为 )98(),(32110.假定某天文台观测到的流星流是一个泊松过程，据以往资料统计为每小时平均观察到 3颗流星. 试求（1）在上午 8 点到 12 点期间，该天文台没有观察到流星的概率.（2）下午（12 点以后）该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数.解：（1）设早晨 8 时为 0 时刻，以 N(t)表示 0 时到 t 时观测到的流星数，则 N(t)是强度为 3（颗/小时）的泊松过程 ).434P； )(4NP12e（2）记下
10、午（12 点以后）该天文台观察到第一颗流星的时间为 ，则其密度函数为1T相应的分布函数为 .0,3)(tetf 0,01)(3tetFt11某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客到达商场的人数分别独立地服从每分钟 2 人与每分钟 3 人的泊松过程。(1) 试计算 时间内到达商场顾客的总人数服从的分布；,0(t(2) 在已知 时刻已有 50 人到达的前提下，问其中有 30 位女性顾客的概率有多大，平均有多少位女性顾客？解：(1)分别以 , 记 时间内到达商场的男女顾客人数，则)(1tN2t,0(t与 分别是速率 (单位：均为人/分钟)0,)(1t )3,21的泊
11、松过程从而在 时间内到达商场的顾客总人数为 ,它,(t )(21tNtt服从参数为 的泊松分布：521， tketNP5!)()(,210(2) 首先在已知 时刻已有 人到达的前提下，其中有 位女性顾客的概率为tnkktP)(|)(2ntNP)(,2ntNPkk)(,12 tntktke)(2112112!)(!， .kkkn2121,0故在已知 时刻已有 50 人到达的前提下，其中有 30 位女性顾客的概率为 .t 302530平均有 位女性顾客.30502113、投掷一枚硬币定义一个随机过程 ，其中HttX其,2sin)(21)(P求： ；)1,(xF)23,1(xHX ,4/3 ,sin)2(其 ,/10si)(4/3,2/1,0 1,/,)2/3,1;(21xxxF其其
