1、第七章 平行线的证明,数学(北师大.八年级 上册),三角形内角和定理,你还记得上节课学过的常见公理及证明、证明的步骤吗？,2. 线段公理：两点之间线段最短。,公理：人们在长期实践中总结出的大家公认为正确的道理, 叫做公理。,想一想,1.直线公理：两点确定一条直线。,3.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。,4.垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。,5.平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。,6. 三角形全等的判断公理：SAS ASA SSS。,7.全等三角形性质公理：对应角相等，对应边相等。,8：等式的有关性质和不等式的有
2、关性质都可以看作公理,在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也看作公理,称为“等量代换”.,其它公理,证明的一般步骤： 第一步：分析条件、结论，画出图形第二步：根据条件、结论、结合图形，写出 已 知、求证。第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，第四步：结合图形，写出证明过程,证明：运用学过的公理、定理、定义、性质, 用推理的方法判定一个命题是真命题的过程叫证明,三角形蓝和三角形红见面了，蓝炫耀的说：“我的体积比你大，所以我的内角和也比你大！”红不服气的说：“那可不好说噢，你自己量量看！”蓝用量角器量了量自己的内角和，就不再说话了！,同学
3、们，你们知道其中的道理吗？,问题1,命题：三角形的三个内角和是180,你能验证这个命题吗？你还记得这个结论的探索过程吗?,演示,下一页,三角形的三个内角和是多少?,方法一: 将各角沿着某一条直线折叠,验证：三角形的三个内角和是180,图1,图2,图3,A,B,C,A,A,B,B,C,C,(2)根据前面的公理和定理, 你能用自己的语言说说这 一结论的证明思路吗?你能 用比较简捷的语言写出 这一证明过程吗?.,结论：三角形的内角和等于1800.,证明：过点A作EFBC, B=2（两直线平行,内错角相等） 同理C=1,2+1+BAC=1800（平角定义）, B+C+BAC=1800（等量代换）,已知
4、：如图，ABC.,求证：A +B +C =180,E F,如果一个图形是三角形,那么这个三角形三个内角和是180,E F,这里EF称为辅助线, 通常画成虚线., EFBC,在这里，为了证明的需要，在原来的图形上自己加上的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。注意要说明所加辅助线的位置、名称和性质。,思路总结：,为了证明三角形三个内角的和为180,通常应用转化思想。转化为：,平角或利用两直线平行，同旁内角互补,结论：三角形的内角和等于1800., B+BAC +C =180（等量代换）,已知：ABC. 求证： A +B +C =180,证明：过点A作AEBC，,则B=1(两直线平行,内
5、错角相等),1+BAC+C=180(两直线平行,同旁内角互补),已知:如图6-9,ABC. 求证:A+B+C=1800.,证明:作BC的延长线CD,过点C作CEAB,你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?., 1=A(两直线平行,内错角相等), 2= B(两直线平行,同位角相等).,又1+2+3=1800 (平角的定义), A+B+ACB=1800 (等量代换).,分析:延长BC到D,过点C作射线CEAB,这样,就相当于把A移到了1的位置,把B移到了2的位置.,这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.,结论:三角形的内角和是180 ., CEAB,开启 智慧,你还有其他方法来证明三角
6、形内角和定理吗？,添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角, ,三角形内角和定理,三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. ABC中,A+B+C=1800.,A+B+C=1800的几种变形: A=1800 (B+C). B=1800 (A+C). C=1800 (A+B). A+B=1800-C. B+C=1800-A. A+C=1800-B.,这里的结论,以后可以直接运用.,应用篇,已知：三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。,解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,x+3x+5x=180,解得 x=20,所以三个内角度数分别为 20,60,100。,例题
7、,由三角形内角和为180得,3、如图，直线ABCD,在AB、CD外有一点P，连结PB、PD，交CD于E点。则 B、 D、 P 之间是否存在一定的大小关系？,A,B,C,P,D,E,他们是怎样的，并加以证明？,证明：因为 AB CD,（,1,（,2,所以 1 + B =1800 (两直线平行，同旁内角互补）,因为2+ P +D=1800（三角形内角和定理）,1= 2 （对顶角相等）,所以 B=P +D (等量代换）,证明：因为 AB CD,因为2+ P +D=1800（三角形内角和定理）,3、如图所示，AD、BC相交于O点，若A35， B56， D46，则C的度数是（ ）,A、 31 B、 45
8、 C、 41 D、 76,A,B,O,C,D,这种图形称、“又”字型 结论：A +B =C+D,B,练习2.如图，求A1+A2+A3+A4+A5的度数。,拓广探究,第一关,如图，求A+ B+ C+ D+ E+ F的 度数。,A,B,C,D,E,F,第二关,1,3,2,思维拓展：,1、（1）如图(甲)，在五角星图形中，求A+ B+ C+ D+ E的度数。（2）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？,A,E,第三关,相等,在ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越来越接近BC时, A就越来越大(越来越接近1800),而B和 C,越
9、来越小(越来越接近00).由此你能想到什么?,如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC时,A就越来越小(越来越接近00),而B和C则越来越大,它们的和越来越接近1800, 当把点A拉到无穷远时,便有ABAC,B和C成为同旁内角,它们的和等于1800.由此你能想到什么?,第四关,回顾与小结,本节课里你学到了什么？,1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于180 2、通过思考、探究、去总结三角形内角和的定理，并且发现要证明三角形三个内角的和等于180 需 转化为：平角或两直线平行同旁内角和等于180。,3、三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角。,教科书P180习题7.6第1、2、3、4题 ,布置作业,
