（江苏专用）2017届高三数学一轮总复习 提升考能、阶段验收专练卷 理（打包6套）.zip

1提升考能、阶段验收专练卷(一)集合与常用逻辑用语、函数、导数及其应用(时间：80 分钟 满分：120 分)Ⅰ.小题提速练(限时 35 分钟)填空题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1．(2016·苏州名校联考)若集合 A＝ ， B＝{x|1≤ 3x≤ 81}，则 A∩ B＝________.{x|log2 x2－ x 1}解析：因为 A＝ {x|1≤ 3x≤ 81}＝ ＝ ，{x|30≤ 3x≤ 34} {x|0≤ x≤ 4}B＝ ＝{x|log2 x2－ x 1} {x|x2－ x2}＝ ，{x|x2}所以 A∩ B＝ ∩ ＝ ＝(2,4]．{x|0≤ x≤ 4} {x|x2} {x|2＜ x≤ 4}答案：(2,4]2．(2016·无锡调研)若 f(x)＝Error!则 f(x)的最小值是________．解析：当 x≤0 时， f(x)＝－ x，此时 f(x)min＝0；当 x0 时， f(x)＝ x2－2 x＝( x－1) 2－1，此时 f(x)min＝－1.综上，当 x∈R 时， f(x)min＝－1.答案：－13．已知函数 f(x)＝ x (m∈Z)为偶函数，且 f(3)0，解得－10 恒成立，则实数 a 的取值范围是________．f x1 － f x2x1－ x2解析：由题意分析可知条件等价于 f(x)在[3，＋∞)上单调递增，又∵ f(x)＝ x|x－ a|，∴当 a≤0 时，结论显然成立，当 a0 时， f(x)＝Error!∴ f(x)在 上(－ ∞ ，a2)单调递增，在 上单调递减，在( a，＋∞)上单调递增，∴00，函数单调递增，当 00)，故 f′( x)＝2 a(x－5)＋ .6x令 x＝1，得 f(1)＝16 a， f′(1)＝6－8 a，所以曲线 y＝ f(x)在点(1， f(1))处的切线方程为y－16 a＝(6－8 a)·(x－1)，由点(0,6)在切线上可得 6－16 a＝8 a－6，故 a＝ .12(2)由(1)知， f(x)＝ (x－5) 2＋6ln x(x0)，12f′( x)＝ x－5＋ ＝ .6x  x－ 2  x－ 3x令 f′( x)＝0，解得 x＝2 或 x＝3.当 03 时， f′( x)0，故 f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当 20 且 a≠1)的图象过点 A(0,1)， B(3,8)．(1)求实数 k， a 的值；(2)若函数 g(x)＝ ，试判断函数 g(x)的奇偶性，并说明理由．f x － 1f x ＋ 1解：(1)把 A(0,1)， B(3,8)的坐标代入 f(x)＝ k·a－ x，得Error!解得 k＝1， a＝ .12(2)g(x)是奇函数．理由如下：由(1)知 f(x)＝2 x，6所以 g(x)＝ ＝ .f x － 1f x ＋ 1 2x－ 12x＋ 1函数 g(x)的定义域为 R，又 g(－ x)＝ ＝2－ x－ 12－ x＋ 1 2x·2－ x－ 2x2x·2－ x＋ 2x＝－ ＝－ g(x)，2x－ 12x＋ 1所以函数 g(x)为奇函数．16．(本小题满分 16 分)已知函数 f(x)＝ xln x， g(x)＝(－ x2＋ ax－3)e x(a 为实数)．(1)当 a＝5 时，求函数 y＝ g(x)在 x＝1 处的切线方程；(2)求 f(x)在区间[ t， t＋2]( t0)上的最小值．解：(1)当 a＝5 时， g(x)＝(－ x2＋5 x－3)e x， g(1)＝e.又 g′( x)＝(－ x2＋3 x＋2)e x，故切线的斜率为 g′(1)＝4e.所以切线方程为： y－e＝4e( x－1)，即 y＝4e x－3e.(2)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′( x)＝ln x＋1，当 x 变化时， f′( x)， f(x)的变化情况如下表：x (0， 1e) 1e (1e， ＋ ∞ )f′( x) － 0 ＋f(x)  极小值 ①当 t≥ 时，在区间[ t， t＋2]上 f(x)为增函数，1e所以 f(x)min＝ f(t)＝ tln t.②当 0＜ t＜ 时，在区间 上 f(x)为减函数，在区间 上 f(x)为增函数，1e [t， 1e) (1e， t＋ 2]所以 f(x)min＝ f ＝－ .(1e) 1e1提升考能、阶段验收专练卷(三)数列、不等式、推理与证明(时间：80 分钟 满分：120 分)Ⅰ.小题提速练(限时 35 分钟)填空题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1．(2016·南京师大附中月考)设等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn， a2＋ a4＝6，则S5＝________.解析：由等差中项可得 a2＋ a4＝ a1＋ a5，所以 S5＝ ＝15.5 a1＋ a52答案：152．一个由正数组成的等比数列，它的前 4 项和是前 2 项和的 5 倍，则此数列的公比为________．解析：由题意知 an＞0， S4＝5 S2，显然公比 q≠1，且 q＞0，所以 ＝a1 1－ q41－ q，即 q4－5 q2＋4＝0，5a1 1－ q21－ q解得 q2＝4 或 q2＝1(舍去)，又 q＞0，所以 q＝2.答案：23．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第 n 个等式为_________________________________________________．解析：观察这些等式，第一个等式左边 1 个数，从 1 开始；第二个等式左边 3 个数相加，从 2 开始；第三个等式左边 5 个数相加，从 3 开始；…；第 n 个等式左边是 2n－1 个数相加，从 n 开始．等式的右边为左边 2n－1 个数的中间数的平方，故第 n 个等式为n＋( n＋1)＋( n＋2)＋…＋(3 n－2)＝(2 n－1) 2.答案： n＋( n＋1)＋( n＋2)＋…＋(3 n－2)＝(2 n－1) 24．(2016·苏州测试)若等差数列{ an}前 n 项和 Sn有最大值，且 ＜－1，则当 Sn取a11a12最大值时， n 的值为________．解析：由等差数列的前 n 项和有最大值，可知 d＜0，再由 ＜－1，知a11a122a11＞0， a12＜0，从而使 Sn取最大值的 n＝11.答案：115．若关于 x 的不等式 x2－ ax－6 a＜0 有解且解的区间长度不超过 5 个单位长度，则 a的取值范围是________．解析：由 x2－ ax－6 a＜0 有解得 a2＋24 a＞0，①由解的区间长度不超过 5 个单位长度，得 ≤5，②由①②得－25≤ a＜－24 或a2＋ 24a0＜ a≤1.答案：[－25，－24)∪(0,1]6．已知等差数列{ an}中，有 ＝ ，则在等比数列a11＋ a12＋ …＋ a2010 a1＋ a2＋ …＋ a3030{bn}中，会有类似的结论：______________________________________.解析：由等比数列的性质可知 b1b30＝ b2b29＝…＝ b11b20，∴ ＝ .10b11b12…b20 30b1b2…b30答案： ＝10b11b12…b20 30b1b2…b307．若正数 x， y 满足 4x2＋9 y2＋3 xy＝30，则 xy 的最大值是________．解析：由 x＞0， y＞0，得 4x2＋9 y2＋3 xy≥2·(2 x)·(3y)＋3 xy(当且仅当 2x＝3 y 时等号成立)，∴12 xy＋3 xy≤30，即 xy≤2，∴ xy 的最大值为 2.答案：28．(2016·南京调研)已知不等式组Error!所表示的平面区域为 D，若直线 y＝ kx－3 与平面区域 D 有公共点，则 k 的取值范围为________．解析：满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．因为直线 y＝ kx－3 过定点(0，－3)，所以当 y＝ kx－3 过点 C(1,0)时，k＝3；当 y＝ kx－3 过点 B(－1,0)时， k＝－3，所以 k≤－3 或 k≥3 时，直线 y＝ kx－3 与平面区域 D 有公共点．答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)9．(2016·苏州调研)已知数列{ an}满足 an＋1 ＝Error!若 a3＝1，则 a1的所有可能取值为________．解析：当 a2为奇数时， a3＝ a2－4＝1， a2＝5；当 a2为偶数时， a3＝ a2＝1， a2＝2；12当 a1为奇数时， a2＝ a1－2＝5， a1＝7，或 a2＝ a1－2＝2， a1＝4(舍去)；3当 a1为偶数时， a2＝ a1＝5， a1＝10，12或 a2＝ a1＝2， a1＝4.综上， a1的可能取值为 4,7,10.12答案：4,7,1010．观察下列各式： ＝2· ， ＝3· ， ＝4· ，…，若 32＋ 27 327 33＋ 326 3326 34＋ 463 3463＝ 9· ，则 m＝________.39＋ 9m 39m解析：由于 ＝2· 可改写为 ＝2· ； ＝3· 可改写32＋ 27 327 32＋ 223－ 1 3 223－ 1 33＋ 326 3326为 ＝3· ； ＝4· 可改写为 ＝4· ，由此可归33＋ 333－ 1 3 333－ 1 34＋ 463 3463 34＋ 443－ 1 3 443－ 1纳出： ＝9· 中， m＝9 3－1＝729－1＝728.39＋ 9m 39m答案：72811．已知函数 f(x)＝( ax－1)( x＋ b)，如果不等式 f(x)＞0 的解集是(－1,3)，则不等式 f(－2 x)＜0 的解集是______________．解析：由 f(x)＞0，得 ax2＋( ab－1) x－ b＞0，又其解集是(－1,3)，∴ a＜0，且Error!解得 a＝－1 或 a＝ (舍去)，13∴ a＝－1， b＝－3，∴ f(x)＝－ x2＋2 x＋3，∴ f(－2 x)＝－4 x2－4 x＋3，由－4 x2－4 x＋3＜0，得 4x2＋4 x－3＞0，解得 x＞ 或 x＜－ .12 32答案： ∪(－ ∞ ， －32) (12， ＋ ∞ )12．(2016·洛阳一测)若关于 x 的不等式 ax2－| x|＋2 a0，令 t＝| x|，则原不等式等价于 at2－ t＋2 a0 的解集为(－1,3)时，求实数 a， b 的值；(2)若对任意实数 a， f(2)0，即－3 x2＋ a(5－ a)x＋ b0，∴3 x2－ a(5－ a)x－ b0 对任意实数 a 恒成立，∴100－8(12－ b) (n≥2)，1f n＋ 1 1f n又 ＝ 及 ＝ ，1f 2 13 a12 12所以所求实数 λ 的最小值为 .131提升考能、阶段验收专练卷(二)三角函数、解三角形、平面向量与复数(时间：80 分钟 满分：120 分)Ⅰ.小题提速练(限时 35分钟)填空题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分)1．(2016·南京名校联考)已知 i是虚数单位，则 ＝________.i2 0151＋ i解析： ＝ ＝ .i2 0161＋ i 11＋ i 1－ i2答案： － i12 122．平面向量 a与 b的夹角为 ， a＝(3,0)，| b|＝2，则| a＋2 b|＝________.2π3解析：| a＋2 b|＝ a2＋ 4b2＋ 4a·b＝ ＝ .9＋ 16＋ 4×3×2×(－ 12) 13答案： 133．(2016·苏北四市调研)已知扇形 AOB(∠ AOB为圆心角)的面积为 ，半径为 2，则2π3△ ABO的面积为________．解析：由扇形的面积公式，得 ＝ ·∠ AOB·22，2π3 12解得∠ AOB＝ ，π3所以△ ABO的面积为 ×2×2×sin ＝ .12 π3 3答案： 34．已知角 α 的顶点与原点 O重合，始边与 x轴的正半轴重合，若它的终边经过点P(2,3)，则 tan ＝________.(2α ＋π4)解析：依题意，角 α 的终边经过点 P(2,3)，则 tan α ＝ ，tan 2 α ＝ ＝－ ，32 2tan α1－ tan2α 125于是 tan ＝ ＝－ .(2α ＋π4) 1＋ tan 2α1－ tan 2α 717答案：－71725．(2016·无锡调研)已知复数 z＝ (其中 i是虚数单位)在复平面内对应的点 Z落a＋ i1＋ i在第二象限，则实数 a的取值范围是________．解析：若 z＝ ＝ 在复平面内对应的点 Z落在第二象限，则Error!a＋ i1＋ i a＋ 1＋  1－ a i2解得 a0)的最小正周期为 π，则 f(x)的单调递增区(ω x－π6)间是________________________________________________________________________． 解析：因为 T＝ ＝π，所以 ω ＝2.所以函数 f(x)＝2sin .由2πω (2x－ π6)－ ＋2 kπ≤2 x－ ≤ ＋2 kπ( k∈Z)，得－ ＋ kπ≤ x≤ ＋ kπ( k∈Z)，即函数的单调π2 π6 π2 π6 π3递增区间是 (k∈Z)．[－π6＋ kπ ， π3＋ kπ ]答案： (k∈Z)[－π6＋ kπ ， π3＋ kπ ]7．(2016·常州调研)为得到函数 y＝sin 的图象，可将函数 y＝sin x的图象(x＋π3)向左平移 m个单位长度，或向右平移 n个单位长度( m， n均为正数)，则| m－ n|的最小值是________．解析：由题意可知， m＝ ＋2 k1π， k1为非负整数，π3n＝－ ＋2 k2π， k2为正整数，π3∴| m－ n|＝ ，|2π3＋ 2 k1－ k2 π |∴当 k1＝ k2时，| m－ n|min＝ .2π3答案：2π38.已知函数 f(x)＝ Asin(π x＋ φ )的部分图象如图所示，点B， C是该图象与 x轴的交点，过点 C的直线与该图象交于 D， E两点，则( ＋ )·( － )＝________.DEB解析：注意到函数 f(x)的图象关于点 C对称，因此 C是线段 DE的中点，＋ ＝2 .又 － ＝ ＋ ＝ ，且 ＝ T＝ × ＝1，因此(EB12 12 2ππ3＋ )·( － )＝2 2＝2.BDECB答案：29．在△ ABC中， N是 AC边上一点，且 ＝ ， P是 BN上的一点，若 ＝ mAN12 CAP＋ ，则实数 m的值为________．AB29 C解析：如图，因为 ＝ ，所以A12 C＝ ， ＝ m ＋ ＝ m ＋ ，因为 B， P， N三N13 PB29 23A点共线，所以 m＋ ＝1，所以 m＝ .23 13答案：1310．在△ ABC中， a， b， c分别为角 A， B， C的对边，向量 a＝(cos C， b－ c)，向3量 b＝(cos A， a)，且 a∥ b，则 tan A＝________.解析： a∥ b⇒( b－ c)cos A－ acos C＝0，3即 bcos A＝ ccos A＋ acos C，3再由正弦定理得 sin Bcos A＝sin Ccos A＋cos Csin A⇒ sin Bcos A＝sin( C＋ A)3 3＝sin B，即 cos A＝ ，33所以 sin A＝ ，tan A＝ ＝ .63 sin Acos A 2答案： 211．已知 P是△ ABC所在平面内一点，若 ＝ － ，则△ PBC与△ ABC的面P34BC23 A积的比为________．解析：如图，以 B为原点，BC所在直线为 x轴，建立平面直角坐标系，设 A(xA， yA)， P(xP， yP)， C(xC,0)，＝AP－ ，34 C23即( xP－ xA， yP－ yA)4＝ (xC,0)－ (xA， yA)，34 23故 yP－ yA＝0－ yA，所以 yP＝ yA，故 ＝ .23 13 S△ PBCS△ ABC 13答案：1312．(2016·启东模拟)在梯形 ABCD中，已知 AB∥ CD， AB＝2 CD， M， N分别为 CD， BC的中点．若 ＝ λ ＋ μ ，则 λ ＋ μ ＝________.BMN解析：法一：由 ＝ λ ＋ μ ，AA得 ＝ λ · ( ＋ )＋ μ · ( ＋ )，12 DC12 B则 ＋ ＋ ＝0，(μ2－ 1) Bλ2 (λ2＋ μ2)得 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝0，(μ2－ 1)Aλ2 λ2 μ2A12得 ＋ ＝0.(14λ ＋ 34μ － 1) (λ ＋ μ2) D又因为 ， 不共线，所以由平面向量基本定理得BError!解得 Error!所以 λ ＋ μ ＝ .45法二：如图，连结 MN并延长交 AB的延长线于 T，由已知易得 AB＝ AT，45∴ ＝ ＝ λ ＋ μ .45ATBMAN∵ T， M， N三点共线，∴ λ ＋ μ ＝ .45答案：45Ⅱ.大题规范练(限时 45分钟)解答题(本大题共 4小题，共 60分)13．(本小题满分 14分)已知复数 z1满足( z1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z2的虚部为 2，且 z1·z2是实数，求 z2.5解：∵( z1－2)(1＋i)＝1－i，∴ z1＝2－i.设 z2＝ a＋2i， a∈R， z1·z2＝(2－i)( a＋2i)＝(2 a＋2)＋(4－ a)i.∵ z1·z2∈R，∴ a＝4，∴ z2＝4＋2i.14．(本小题满分 14分)在△ ABC中，sin A＝sin B＝－cos C.(1)求角 A， B， C的大小；(2)若 BC边上的中线 AM的长为 ，求△ ABC的面积．7解：(1)由 sin A＝sin B可知 A＝ B，从而有 C＝π－2 A.又 sin A＝－cos C＝cos 2 A＝1－2sin 2A，∴2sin 2A＋sin A－1＝0，∴sin A＝－1(舍去)，或 sin A＝ .12故 A＝ B＝ ， C＝ .π6 2π3(2)设 BC＝2 x，则 AC＝2 x，在△ ACM中， AM 2＝ AC2＋ MC2－2 AC·MCcos C，∴7＝4 x2＋ x2－2·2 x·x·cos ，∴ x＝1，2π3∴△ ABC的面积 S＝ ·CA·CB·sin C12＝ ·2x·2x·sin ＝ .12 2π3 315．(本小题满分 16分)(2016·镇江调研)某同学用“五点法”画函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ ) 在某一个周期内的图象时，列表如下：(A＞ 0， ω ＞ 0， |φ |＜π2)x 2π3 x1 8π3 x2 x3ωx ＋ φ 0 π2 π 3π2 2πAsin(ωx ＋ φ ) 0 2 0 －2 0(1)求 x1， x2， x3的值及函数 f(x)的表达式；(2)将函数 f(x)的图象向左平移 π 个单位，可得到函数 g(x)的图象，求函数y＝ f(x)·g(x)在 x∈ 上的最小值．(0，5π3)6解：(1)由 ω ＋ φ ＝0， ω ＋ φ ＝π 可得 ω ＝ ， φ ＝－ .2π3 8π3 12 π3由 x1－ ＝ ， x2－ ＝ ， x3－ ＝2π 可得12 π3 π2 12 π3 3π2 12 π3x1＝ ， x2＝ ， x3＝ .5π3 11π3 14π3由 Asin ＝2，得 A＝2, ∴ f(x)＝2sin .π2 (12x－ π3)(2)由 f(x)＝2sin 的图象向左平移 π 个单位，得 g(x)(12x－ π3)＝2sin ＝2cos 的图象，(12x－ π3＋ π2) (x2－ π3)∴ y＝ f(x)·g(x)＝2×2sin cos(x2－ π3) (x2－ π3)＝2sin ，(x－2π3)∵当 x∈ 时， x－ ∈ ，(0，5π3) 2π3 (－ 2π3， π )∴当 x－ ＝－ ，即 x＝ 时， ymin＝－2.2π3 π2 π616．(本小题满分 16分)设平面向量 a＝(cos x，sin x)， b＝ ，函数 f(x)(32， 12)＝ a·b＋1.(1)求函数 f(x)的值域和函数的单调递增区间；(2)当 f(α )＝ ，且 ＜ α ＜ 时，求 sin2α ＋ 的值．95 π6 2π3 2π3解：依题意 f(x)＝ cos x＋ sin x＋1＝sin x＋ ＋1.32 12 π3(1)函数 f(x)的值域是[0,2]；令 2kπ－ ≤ x＋ ≤2 kπ＋ ，π2 π3 π2解得 2kπ－ ≤ x≤2 kπ＋ .5π6 π6所以函数 f(x)的单调增区间为 2kπ－ ，2 kπ＋ (k∈Z)．5π6 π6(2)由 f(α )＝sin ＋1＝ ，(α ＋π3) 95得 sinα ＋ ＝ .π3 457因为 ＜ α ＜ ，所以 ＜ α ＋ ＜π，π6 2π3 π2 π3所以 cosα ＋ ＝－ ，π3 35所以 sin ＝sin 2(2α ＋2π3) (α ＋ π3)＝2sin cos(α ＋π3) (α ＋ π3)＝－ .24251提升考能、阶段验收专练卷(五)解析几何(时间：80 分钟 满分：120 分)Ⅰ.小题提速练(限时 35 分钟)填空题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1．(2016·苏州检测)双曲线 － ＝1 的渐近线方程为________．x216 y29解析：由 － ＝1 知渐近线方程为 y＝± x.x216 y29 34答案： y＝± x342．(2016·常州联考)已知直线 l1： ax＋2 y＋6＝0， l2： x＋( a－1) y＋ a2－1＝0，若l1⊥ l2，则 a＝________.解析：因为直线 l1： ax＋2 y＋6＝0 与 l2： x＋( a－1) y＋ a2－1＝0 垂直，所以a·1＋2·( a－1)＝0，解得 a＝ .23答案：233．直线 ax＋ by－1＝0 的倾斜角是直线 x－ y－3 ＝0 的倾斜角的 2 倍，且它在 y 轴3 3上的截距为 1，则 a， b 的值分别为________．解析：由题设可知 ax＋ by－1＝0 的倾斜角为 120°，在 y 轴上的截距为 1，∴－ ＝－ ， ＝1，∴ a＝ ， b＝1.ab 3 1b 3答案： ，134．若直线 l1： y＝ k(x－4)与直线 l2关于点(2,1)对称，则直线 l2恒过定点________．解析：直线 l1： y＝ k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线 l1： y＝ k(x－4)与直线 l2关于点(2,1)对称，故直线 l2恒过定点(0,2)．答案：(0,2)5．已知椭圆 mx2＋4 y2＝1 的离心率为 ，则实数 m 等于________．22解析：显然 m0 且 m≠4.当 04 时，椭圆长轴在 y 轴上，则 ＝ ，解得 m＝8.14－ 1m14 22综上所述，实数 m 等于 2 或 8.答案：2 或 86．(2016·苏北四市调研)已知椭圆 C： ＋ ＝1， M， N 是坐标平面内的两点，且 Mx24 y23与 C 的焦点不重合．若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A， B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|＋| BN|＝________.解析：设 MN 的中点为 D，椭圆 C 的左、右焦点分别为F1， F2，如图，连结 DF1， DF2，因为 F1是 MA 的中点， D 是 MN 的中点，所以 F1D 是△ MAN 的中位线，| DF1|＝ |AN|，同理| DF2|＝12|BN|，所以| AN|＋| BN|＝2(| DF1|＋| DF2|)，因为 D 在椭圆上，12所以根据椭圆的定义知| DF1|＋| DF2|＝4，所以| AN|＋| BN|＝8.答案：87．在平面直角坐标系内，若圆 C： x2＋ y2－2 ax＋4 ay＋5 a2－4＝0 上所有的点均在第四象限内，则实数 a 的取值范围为________．解析：圆 C 可化为( x－ a)2＋( y＋2 a)2＝4，要使得圆 C 上所有的点均在第四象限，则圆心 C(a，－2 a)在第四象限，圆心 C 到坐标轴的距离大于半径．所以Error! 解得 a2.即实数 a 的取值范围为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)8．入射光线沿直线 x－2 y＋3＝0 射向直线 l： y＝ x，被直线 l 反射后的光线所在直线的方程是________________________________________________________________________．解析：由入射光线与反射光线所在直线关于直线 l： y＝ x 对称，把直线 x－2 y＋3＝0中的 x， y 互换，得到 2x－ y－3＝0.∴反射光线的方程为 2x－ y－3＝0.答案：2 x－ y－3＝09．过椭圆 ＋ ＝1 的中心任作一直线，交椭圆于 P， Q 两点， F 是椭圆的一个焦点，x225 y216则△ PQF 面积的最大值是________．3解析：设 P 点的纵坐标为 yP，由于椭圆 ＋ ＝1 的中心是原点 O，则 Q 点的纵坐标x225 y216为－ yP，且| yP|≤4， c＝ ＝ ＝3，a2－ b2 25－ 16则△ PQF 的面积是 |OF|(|yP|＋| yQ|)＝ c×2|yP|＝3| yP|≤3×4＝12.12 12答案：1210．已知 0b0)，点 A， B1， B2， F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点x2a2 y2b2和右焦点，若直线 AB2与直线 B1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为________．解析：如图， A(－ a,0)， B1(0，－ b)， B2(0， b)， F(c,0)，设点 M .(a2c， yM)由 kAB2＝ kAM，得 ＝ ，ba yMa2c＋ a所以 yM＝ b .(ac＋ 1)4由 kFB1＝ kFM，得 ＝ ，bc yMa2c－ c所以 yM＝ .bc(a2c－ c)从而 b ＝ ，(ac＋ 1) bc(a2c－ c)整理得 2e2＋ e－1＝0.解得 e＝ 或 e＝－1(舍去)．12答案：12Ⅱ.大题规范练(限时 45 分钟)解答题(本大题共 4 小题，共 60 分)13．(本小题满分 14 分)求下列椭圆的标准方程：(1)已知椭圆的焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的 3 倍，且经过 M(3,2)．(2)与椭圆 4x2＋9 y2＝36 有相同焦点，且过点(3，－2)．解：(1)当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1( ab0)，x2a2 y2b2又 M(3,2)在椭圆上，由题意，得Error!解得Error!所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1；x245 y25当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1( ab0)．y2a2 x2b2又 M(3,2)在椭圆上，由题意，得Error!解得Error!所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1；x2859 y285综上，椭圆的标准方程为 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1.x245 y25 x2859 y285(2)椭圆 4x2＋9 y2＝36 的焦点为(－ ，0)，( ，0)，5 5所以 c＝ ，55设所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1( ab0)，x2a2 y2b2由题意，得Error!解得Error!所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.x215 y21014．(本小题满分 14 分)平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M： ＋ ＝1 (ab0)右焦x2a2 y2b2点的直线 x＋ y－ ＝0 交 M 于 A， B 两点， P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 .312(1)求 M 的方程；(2)C， D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥ AB，求四边形 ACBD 面积的最大值．解：(1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， P(x0， y0)，则 ＋ ＝1， ＋ ＝1， ＝－1，x21a2 y21b2 x2a2 y2b2 y2－ y1x2－ x1由此可得 ＝－ ＝1.b2 x2＋ x1a2 y2＋ y1 y2－ y1x2－ x1因为 x1＋ x2＝2 x0， y1＋ y2＝2 y0， ＝ ，y0x0 12所以 a2＝2 b2.又由题意知， M 的右焦点为( ，0)，故 a2－ b2＝3.3因此 a2＝6， b2＝3.所以 M 的方程为 ＋ ＝1.x26 y23(2)由Error! 解得Error! 或Error!因此| AB|＝ .由题意可设直线 CD 的方程为 y＝ x＋ n ，463 (－ 533＜ n＜ 3)设 C(x3， y3)， D(x4， y4)．由Error! 得 3x2＋4 nx＋2 n2－6＝0.于是 x3,4＝ .－ 2n±2 9－ n23因为直线 CD 的斜率为 1，所以| CD|＝ |x4－ x3|＝ .2439－ n2由已知，四边形 ACBD 的面积S＝ |CD|·|AB|＝ .12 869 9－ n26当 n＝0 时， S 取得最大值，最大值为 .863所以四边形 ACBD 面积的最大值为 . 86315.(本小题满分 16 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 ＋x2a2＝1( ab0)的两焦点分别为 F1(－ ，0)， F2( ，0)，且经过点y2b2 3 3.(3，12)(1)求椭圆的方程及离心率；(2)设点 B， C， D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点 B 与点 D 关于原点 O 对称．设直线 CD， CB， OB， OC 的斜率分别为 k1， k2， k3， k4，且 k1k2＝ k3k4.①求 k1k2的值；②求 OB2＋ OC2的值．解：依题意， c＝ ， a2＝ b2＋3，3由 ＋ ＝1，解得 b2＝1，从而 a2＝4.3b2＋ 3 14b2故所求椭圆方程为： ＋ y2＝1.离心率 e＝ .x24 32(2)①设 B(x1， y1)， C(x2， y2)，则 D(－ x1，－ y1)，于是 k1k2＝ · ＝y2＋ y1x2＋ x1 y2－ y1x2－ x1 y2－ y21x2－ x21＝ ＝－ .(1－ x24)－ (1－ x214)x2－ x21 14②由①知， k3k4＝ k1k2＝－ ，故 x1x2＝－4 y1y2.14所以( x1x2)2＝(－4 y1y2)2，即( x1x2)2＝16 ＝16－4( x ＋ x )＋ x x ，所以 x ＋ x ＝4.(1－ x214)(1－ x24) 21 2 212 21 2又 2＝ ＋ ＝ ＋ y ＋ y ，(x214＋ y21) (x24＋ y2) x21＋ x24 21 2故 y ＋ y ＝1.21 2所以 OB2＋ OC2＝ x ＋ y ＋ x ＋ y ＝5.21 21 2 216．(本小题满分 16 分)已知椭圆 C： ＋ ＝1( a＞ b＞0)上的任意一点到它的两个焦x2a2 y2b2点(－ c,0)，( c,0)的距离之和为 2 ，且它的焦距为 2.2(1)求椭圆 C 的方程；7(2)已知直线 x－ y＋ m＝0 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B，且线段 AB 的中点不在圆x2＋ y2＝ 内，求 m 的取值范围．59解：(1)依题意可知Error!又 b2＝ a2－ c2，解得Error!则椭圆 C 的方程为 ＋ y2＝1.x22(2)联立方程Error!消去 y 整理得 3x2＋4 mx＋2 m2－2＝0.则 Δ ＝16 m2－12(2 m2－2)＝8(－ m2＋3)＞0，解得－ ＜ m＜ .①3 3设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1＋ x2＝ ，－ 4m3y1＋ y2＝ x1＋ x2＋2 m＝ ＋2 m＝ ，－ 4m3 2m3即 AB 的中点为 .(－2m3， m3)又∵ AB 的中点不在圆 x2＋ y2＝ 内，59∴ ＋ ＝ ≥ ，4m29 m29 5m29 59解得 m≤－1 或 m≥1.②由①②得，－ ＜ m≤－1 或 1≤ m＜ .3 3故 m 的取值范围为(－ ，－1]∪[1， )．3 31提升考能、阶段验收专练卷(六)概率、统计、算法(时间：80 分钟 满分：120 分)Ⅰ.小题提速练(限时 35分钟)填空题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分)1．(2015·苏北四市调研)一个频数分布表(样本容量为 30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20,60]上的频率为 0.8，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为________．解析：由题意估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为 30×0.8－4－5＝15.答案：152．一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为 x，第二次向上的点数记为 y，在直角坐标系 xOy中，以( x， y)为坐标的点落在直线 2x＋ y＝8 上的概率为________．解析：依题意，以( x， y)为坐标的点共 36个，其中落在直线 2x＋ y＝8 上的点有(1,6)，(2,4)，(3,2)，共 3个，故所求事件的概率 P＝ ＝ .336 112答案：1123．如图是依据某城市年龄在 20岁到 45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上网人数呈递减的等差数列分布，则网民年龄在[35,40)的频率为________．解析：由已知得网民年龄在[20,25)的频率为 0.01×5＝0.05，在[25,30)的频率为0.07×5＝0.35.因为年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上网人数呈递减的等差数列分布，所以其频率也呈递减的等差数列分布，又年龄在[30,45]的频率为 1－0.05－0.35＝0.6，所以年龄在[35,40)的频率为 0.2.答案：0.24．阅读下面的程序，当分别输入 a＝3， b＝5 时，输出的值 a＝________.Read a， b答案：325．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体 800名学生中抽 50名学生做牙齿健康检查．现将 800名学生从 1到 800进行编号．已知从 33～48 这 16个数中取的数是39，则在第 1小组 1～16 中随机抽到的数是________．解析：间隔数 k＝ ＝16，即每 16人抽取一个人．由于 39＝2×16＋7，所以第 1小80050组中抽取的数为 7.答案：76．(2016·辽宁五校联考)若实数 k∈[－3,3]，则 k的值使得过点 A(1,1)可以作两条直线与圆 x2＋ y2＋ kx－2 y－ k＝0 相切的概率等于________．54解析：由点 A在圆外可得 k＜0，由圆 2＋( y－1) 2＝ ＋1 可知(x＋k2) 5k＋ k24＋10，解得 k＞－1 或 k＜－4，所以－1＜ k＜0，故所求概率为 .5k＋ k24 16答案：167．如图是一个算法流程图，如果输入 x的值是 ，则输出 S的值是________．14解析：当 x＝ 时， S＝log 2 ＝－2.14 14答案：－28.如图所示的茎叶图是甲、乙两人在 4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________．解析：依题意，记题中的被污损数字为 x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋ x＋5)≤0，解得 x≥7，即此时 x的可能取值是 7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率 P＝ ＝0.3.310答案：0.39．在区域 D：( x－1) 2＋ y2≤4 内随机取一个点，则此点到点 A(1，2)的距离大于 2的概率是________．3解析：区域 D的面积为 4π，区域 D内的点到点 A(1,2)的距离不大于 2的区域的面积为2× ＝2 ，(12×22×2π3－ 12×22×sin2π3) (4π3－ 3)所求的概率为 ＝ ＋ .4π － 2(4π3－ 3)4π 13 32π答案： ＋13 32π10．如图是一个算法的流程图，若输入 x的值为 2，则输出 y的值为________．解析：当 x＝2 时， y＝3，此时| y－ x|＝|3－2|＝1≥4 不成立，故将 y的值赋给 x，即x＝3，此时 y＝7，| y－ x|＝|7－3|＝4≥4 成立，停止循环，输出 y的值为 7.答案：711．在棱长为 2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于 1的概率为________．解析：依据题意，到正方体中心的距离小于或等于 1的点构成了以半径 R＝1 的实心球，如图所示，其体积 V 球 ＝ π R3＝ π，则正方体内到正43 43方体中心的距离大于 1的点所构成图形的体积为 V′＝ V 正方体 － V 球＝8－ π，则随机取的点到正方体中心的距离大于 1的概率为 P＝ ＝ ＝1－43 V′V正 方 体 8－ 43π8.π6答案：1－π612．(2016·南通模拟)将一枚骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为 a，第4二次朝上一面的点数为 b，则函数 y＝ ax2－2 bx－1 在 上为减函数的概率是(－ ∞ ，12]________．解析：由函数 y＝ ax2－2 bx－1 在 上为减函数，可得其图象的对称轴为直线(－ ∞ ，12]x＝－ ＝ ≥ ，即 a≤2 b.列表如下：－ 2b2a ba 12ab 1 2 3 4 5 61 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)“将一枚骰子先后抛掷两次所得点数”的基本事件的个数为 36，而满足“ a≤2 b”的基本事件有 30个，故所求概率 P＝ ＝ .3036 56答案：56Ⅱ.大题规范练(限时 45分钟)解答题(本大题共 4小题，共 60分)13．(本小题满分 14分)为了解 A， B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了 8个进行测试．下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位：1 000 km).轮胎 A： 96 112 97 108 100 103 86 98轮胎 B： 108 101 94 105 96 93 97 106(1)分别计算 A， B两种轮胎行驶的最远里程的平均数；(2)分别计算 A， B两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差；(3)根据以上数据，你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定？解：(1) A轮胎行驶的最远里程的平均数为＝100；96＋ 112＋ 97＋ 108＋ 100＋ 103＋ 86＋ 988B轮胎行驶最远里程的平均数为＝100.108＋ 101＋ 94＋ 105＋ 96＋ 93＋ 97＋ 1068(2)A轮胎行驶最远里程的极差为 112－86＝26，5标准差为 s＝ 42＋ 122＋ 32＋ 82＋ 0＋ 32＋ 142＋ 228＝ ≈7.43；2212B轮胎行驶的最远里程的极差为 108－93＝15，标准差为 s＝ 82＋ 12＋ 62＋ 52＋ 42＋ 72＋ 32＋ 628＝ ≈5.43.1182(3)由于 A和 B的最远行驶里程的平均数相同，而 B轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小，所以 B轮胎性能更加稳定．14．(本小题满分 14分)某企业招聘大学毕业生，经过综合测试，录用了 14名女生和6名男生，这 20名学生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分)，记成绩不小于 80分者为 A等，小于 80分者为 B等．(1)求女生成绩的中位数及男生成绩的平均数；(2)如果用分层抽样的方法从 A等和 B等中共抽取 5人组成“创新团队” ，现从该“创新团队”中随机抽取 2人，求至少有 1人是 A等的概率．解：(1)由题中茎叶图知，女生共 14人，中间两个成绩是 75和 76，则女生成绩的中位数是 75.5.男生成绩的平均数为 ＝ (69＋76＋78＋85＋87＋91)＝81.x－ 16(2)用分层抽样的方法从 A等和 B等学生中共抽取 5人，每个人被抽中的概率是＝ ，520 14根据茎叶图知， A等有 8人， B等有 12人，所以抽取的 A等有 8× ＝2(人)， B等有1412× ＝3(人)，记抽取的 A等 2人分别为 A1， A2，抽取的 B等 3人分别为 B1， B2， B3，从14这 5人中抽取 2人的所有可能的结果为( A1， A2)，( A1， B1)，( A1， B2)，( A1， B3)，( A2， B1)，(A2， B2)，( A2， B3)，( B1， B2)，( B1， B3)，( B2， B3)，共 10种，其中至少有 1人是 A等的结果为( A1， A2)，( A1， B1)，( A1， B2)，( A1， B3)，( A2， B1)，( A2， B2)，( A2， B3)，共 7种，所以至少有 1人是 A等的概率为 .71015．(本小题满分 16分)为了考察某厂工人的生产技能情况，随机抽查了该厂 n名工人6某天的产量(单位：件)，整理后得到如图所示的频率分布直方图(产量的分组区间分别为， ， ， ， )，其中产量在 的工人有 6名．[10， 15)[15， 20)[20， 25)[25， 30) [30， 35] [20， 25)(1)在抽出的 n名工人中，求这一天产量不小于 25件的工人人数；(2)若在这 n名工人中，从产量小于 20件的工人中选取 2名工人进行培训，求这 2名工人不在同一分组的概率．解：(1)由题意得，产量为 的频率为 0.06×5＝0.3，[20， 25)∴ n＝ ＝20，60.3∴这一天产量不小于 25件的工人人数为(0.05＋0.03)×5×20＝8.(2)由题意得，产量在 的工人人数为 20×0.02×5＝2，记他们分别是 A， B，[10， 15)产量在 的工人人数为[15， 20)20×0.04×5＝4，记他们分别是 a， b， c， d，则从产量小于 20件的工人中选取 2名工人的结果为：( A， B)，( A， a)，( A， b)，(A， c)，( A， d)，( B， a)，( B， b)，( B， c)，( B， d)，( a， b)，( a， c)，( a， d)，( b， c)，(b， d)，( c， d)共 15种，其中 2名工人不在同一分组的结果为：( A， a)，( A， b)，( A， c)，(A， d)，( B， a)，( B， b)，( B， c)，( B， d)，共 8种，∴所求概率为 P＝ .81516．(本小题满分 16分)已知图 2中的实线围成的部分是长方体(图 1)的平面展开图，其中四边形 ABCD是边长为 1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是 .14(1)从正方形 ABCD的四条边及两条对角线共 6条线段中任取 2条线段(每条线段被取到的可能性相等)，求其中一条线段长度是另一条线段长度的 倍的概率；2(2)求此长方体的体积．解：(1)记事件 M：从 6条线段中任取 2条线段，其中一条线段长度是另一条线段长度7的 倍．从 6条线段中任取 2条线段，有 15种等可能的取法： AB和 BC， AB和 AC， AB和2CD， AB和 AD， AB和 BD， BC和 CD， BC和 BD， BC和 AC， BC和 AD， CD和 AC， CD和 AD， CD和 BD， AD和 AC， AD和 BD， AC和 BD.其中事件 M包含 8种结果： AB和 AC， AB和 BD， BC和 AC， BC和 BD， CD和 AC， CD和BD， AD和 AC， AD和 BD.所以 P(M)＝ ，815故其中一条线段长度是另一条线段长度的 倍的概率为 .2815(2)记事件 N：向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内．设长方体的高为 h，则图 2中虚线围成的矩形长为 2＋2 h，宽为 1＋2 h，面积为(2＋2 h)(1＋2 h)，长方体的平面展开图的面积为 2＋4 h.由几何概型的概率公式知 P(N)＝ ＝ ，解得 h＝3，2＋ 4h 2＋ 2h  1＋ 2h 14所以长方体的体积是 V＝1×1×3＝3.